现代控制理论第2章

自动控制理论（一）,蓝艇宁波大学信息科学与工程学院lanting,Z-变换,离散系统的数学模型,离散系统的稳定性与稳态误差,离散系统的动态性能分析,第七章线性离散系统的分析,离散系统的基本概念,Contents,离散系统的基本概念,离散系统控制系统中有一个或若干个部件的输出信号是脉冲串或是数字（数码），信号在时间上是离散的。离散系统类型采样控制系统（或脉冲控制系统）：离散信号是脉冲序列（时间离散、数值连续）数字控制系统（或计算机控制系统）：离散信号是数字序列（时间离散、数值量化）,离散系统的基本概念,炉温采样控制系统,离散系统的基本概念,采样控制系统典型结构图,脉冲控制系统的特点：系统结构简单、投资少，适合于要求不高的场合。,离散系统的基本概念,数字控制系统,离散系统的基本概念,数字（计算机）控制系统典型原理图计算机控制系统的优点：控制计算由程序实现，便于修改，容易实现复杂的控制律；抗干扰性强；一机多用，利用率高；便于联网，实现生产过程的自动化和宏观管理。计算机控制系统的缺点：采样点间信息丢失，与相同条件下的连续系统相比，性能会有所下降；需附加A/D,D/A转换装置。,离散系统的基本概念,A/D过程,字长足够认为e*(kt)=e(kt),采样时间上离散,量化数值上离散,tT认为采样瞬时完成,理想采样过程,离散系统的基本概念,计算过程描述D/A过程,零阶保持器(ZOH),离散系统的基本概念,数字（计算机）控制系统,离散系统的基本概念,离散系统的研究方法用Z变换法建立离散系统的数学模型后进行分析、综合。用离散系统的状态空间分析法（一阶差分方程组）对系统进行分析、设计。,信号的采样与保持,采样过程连续信号采样器离散信号把连续信号变换为脉冲序列的装置称为采样器，又叫采样开关。,信号的采样与保持,理想采样序列采样信号的Laplace变换,信号的采样与保持,例设，求的L变换,例设为常数，求的L变换,信号的采样与保持,香农采样定理信号完全复现的必要条件如果采样器的输入信号具有有限带宽，具有最高频率为的分量，采样周期应满足以下条件：,理想滤波器,采样开关,信号的采样与保持,信号保持将数字信号转换复原成连续信号的过程称信号复现。该装置称为保持器或复现滤波器。零阶保持器,当给零阶保持器输入一个理想单位脉冲，则脉冲响应（输出）,脉冲过渡函数：,幅值为1，持续时间为T,信号的采样与保持,零阶保持器的频率特性,零阶保持器的特性：（1）低通特性（2）相角迟后特性（3）时间迟后特性（平均迟后时间T/2）,Z变换,Z变换的定义：,令z=eTs,则=e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+,称E(z)为e*(t)的Z变换,记作Ze*(t)=E(z),或Ze(t)=E(z),Z变换,Z变换方法级数求和法将Z变换的定义式展开：E(z)=e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+e(nT)z-n+对于常用函数Z变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。部分分式法先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换E(s)；将E(s)展开成部分分式之和的形式；求拉氏反变换，再求Z变换E(z)。,Z变换,典型信号的Z变换单位脉冲函数e(t)=(t)单位阶跃函数e(t)=1(t)单位理想脉冲序列e(t)=T(t),Z变换,单位斜坡信号e(t)=t,Z变换,指数函数e(t)=e-at(a为实常数这是一个公比为(e-aTz-1)的等比级数，当|e-aTz-1|1时，级数收敛，则可写成闭合形式,Z变换,正弦信号e(t)=sint,Z变换,解：进行部分分式展开，有,再取拉氏反变换,所以,Z变换,设,解.,求E(z)=?,Z变换,常见函数的z变换,Z变换的性质,线性定理实位移定理延迟定理,证：,Z变换的性质,超前定理,证：,Z变换的性质,复位移定理,证：,例,Z变换的性质,z域微分定理若e(t)的z变换为E(z)，则z域尺度定理若e(t)的z变换为E(z)，则zane(t)=E(z/a),a为常数,Z变换的性质,初值定理,证：,例,Z变换的性质,终值定理,证：,例,Z变换的性质,卷积定理,设：,则：,Z反变换,幂级数法（长除法）查表法（部分分式展开法）留数法（反演积分法）,以的形式展开,Z反变换,解法I:,(长除法),Z反变换,解法II:(查表法部分分式展开法),Z反变换,解法III:(留数法反演积分法),离散系统的数学模型,线性常系数差分方程及其解法差分定义e(kT)简记为e(k),前向差分,1阶前向差分,2阶前向差分,n阶前向差分,后向差分,1阶后向差分,2阶后向差分,n阶后向差分,离散系统的数学模型,差分方程差分方程的解法：迭代法、Z变换法,n阶线性定常离散系统(前向)差分方程,离散系统输入输出变量及其各阶差分的等式,n阶线性定常离散系统(后向)差分方程,离散系统的数学模型,解,例已知连续系统微分方程：现将其离散化，采用采样控制方式(T=1)，求相应的前向差分方程并解之。,离散系统的数学模型,解,差分方程解法I迭代法,离散系统的数学模型,解,差分方程解法IIz变换法,离散系统的数学模型,复域数学模型脉冲传递函数定义：零初始条件下离散系统输出z变换对输入z变换之比。,卷积公式,单位脉冲响应序列的z变换,离散系统的数学模型,例求以下差分方程所示系统的脉冲传递函数。,由实数位移定理：,例,离散系统的数学模型,例：离散系统结构图如图所示(T=1),试确定系统的脉冲传递函数。,解,离散系统的数学模型,采样L变换的两个重要性质：采样函数的L变换具有周期性,离散系统的数学模型,开环系统脉冲传递函数,串联形式（1）,离散系统的数学模型,开环系统脉冲传递函数,串联形式（2）,连续对象的输出：,其中：,离散系统的数学模型,对输出的离散化：,注意：一般,离散系统的数学模型,带有零阶保持器的开环脉冲传递函数,离散化后：,离散系统的数学模型,闭环系统脉冲传递函数,连续输出信号的L变换,离散系统的数学模型,对应的Z变换为,闭环系统的输出对于输入的脉冲传递函数：,系统误差对于输入的脉冲传递函数：,闭环系统的特征方程：,开环脉冲传递函数：,离散系统的数学模型,应当注意：离散系统的闭环脉冲传递函数不能从对应的连续系统传递函数的Z变换直接得到。,闭环系统中，具有两个不同以上采样开关时的闭环脉冲传递函数：,离散系统的数学模型,离散系统的数学模型,对应的闭环系统脉冲传递函数,离散系统的数学模型,闭环系统中采样开关的位置，有可能不能获得闭环脉冲传递函数：,系统输出,离散系统的数学模型,Z变换的局限性：Z变换的推导是建立在理想采样序列的基础上。而实际采样脉冲序列具有一定的宽度，只有当脉冲宽度与系统最大时间常数相比很小时，Z变换才能成立。C(z)只能反映c(t)在采样时刻的数值，不能反映c(t)在采样间隔中的信息。用Z变换方法分析离散系统，要求连续部分的传递函数的分母阶次比分子的阶次至少高2次，这时用Z变换方法得到的结果是正确的。,离散系统的稳定性,离散系统的稳定性的分析方法：线性连续系统在s平面上分析稳定性离散线性系统在z平面上的稳定性。s域到z域的映射关系,离散系统的稳定性,离散系统的稳定性,离散系统的稳定性定义：若离散系统在有界输入序列的作用下，其输出序列也是有界，则称该离散系统是稳定的。线性定常连续系统稳定的充要条件：系统齐次方程的解是收敛的，或者系统特征方程根均具有负实部，或者系统传递函数的极点严格均在左半s平面。离散系统稳定的充要条件：从离散系统的差分方程的齐次解的收敛性，或者从z域中离散系统的特征方程的根的研究得到结论。,离散系统的稳定性,离散系统稳定的充要条件（时域）,设：系统差分方程,系统齐次方程,设通解：,系统特征方程：,离散系统的稳定性,设特征方程具有各不相同的特征根：,通解：,系统稳定的充分必要条件：,相应的线性定常离散系统是稳定的。,离散系统的稳定性,离散系统稳定的充要条件（z域）,对于典型的离散系统结构的闭环脉冲传递函数为,系统特征方程,离散系统的稳定性,设特征方程的根（闭环极点）各不相同,由s平面到z平面的映射关系s平面的左半平面对应的稳定区域：z平面上单位圆的内部；s平面的右半平面对应的不稳定区域：z平面上单位圆的外部；s平面的虚轴对应的临界稳定：z平面上单位圆周。,系统稳定的充分必要条件：离散特征方程的全部特征根都在单位圆内，即,离散系统的稳定性,例：设典型离散系统,采样周期T=1(s)，试分析系统的闭环稳定性。,解：开环脉冲传递函数,特征方程,结论：闭环系统不稳定。,离散系统的稳定性判据,连续系统的代数稳定判据劳斯-胡尔维茨稳定判据判定：特征方程的根是否都在左半s平面？离散系统的稳定性判定：特征方程的根是否都在z平面的单位圆内？将劳斯-胡尔维茨判据用于离散系统的稳定性判定，首先要将z平面上的稳定域单位圆内新平面上的左半平面（z域w域）,离散系统的稳定性判据,w变换及w域的劳斯稳定判裾,w变换,设,w虚轴,z单位圆,对应w平面,离散系统的稳定性判据,Z平面单位圆内,Z平面单位圆外,w平面左半平面,w平面右半平面,劳斯稳定判据在离散系统中的应用：将离散系统在z域的特征方程变换为w域的特征方程，然后应用劳斯判据。,离散系统的稳定性判据,例已知离散系统特征方程，判定系统稳定性。,系统不稳定,离散系统的稳定性判据,例：设闭环离散系统如图所示，T=0.1(s)，试求系统稳定时K的极限值。,离散系统的稳定性判据,进一步整理后，w域的特征方程：,劳斯表,由劳斯稳定判据,使系统闭环稳定的取值范围,极限增益,离散系统的稳定性判据,Jury（朱利）稳定判据,Jury稳定判据是根据离散系统的z域特征方程的系数，直接判别特征根是否严格位于z平面上的单位圆内。,设离散系统的阶闭环特征方程,利用特征方程的系数，构造、列Jury矩阵。,Jury矩阵的第一行系数：,Jury矩阵的第二行系数：,离散系统的稳定性判据,第三行系数第四行系数,第五行系数第六行系数,第七行系数第八行系数,最后行系数,离散系统的稳定性判据,Jury稳定判据,特征方程的根，全部严格位于z平面上单位圆内的充要条件是：,以及下列（n-1）个约束成立：,若上述条件均满足，系统稳定。,离散系统的稳定性判据,*推论1：特征方程的根全部在单位圆内的一个充分条件是,*推论2：具有系数的特征方程，其多项式为首一多项式,的根全部都在单位圆内的充分条件是,离散系统的稳定性判据,例设一离散时间单位反馈系统，采样周期T=1（s），其开环脉冲传递函数,试用Jury稳定判据确定系统的K值范围。,解：闭环特征方程,对于二阶系统应用Jury稳定判据，只要用到下面3个约束条件：,离散系统的稳定性判据,综合（1）、（2）、（3）,离散系统的稳定性判据,采样周期与开环增益对稳定性的影响连续系统的稳定性取决于：开环增益、闭环极点、传输延迟等。离散系统的稳定性：以上因素，再加上采样周期T。,例：设带有零阶保持器的离散系统如图所示,离散系统的稳定性判据,由Jury稳定判据或w域的劳斯稳定判据,离散系统的稳定性判据,w域的特征方程,离散系统的稳定性判据,采样周期与开环增益对稳定性的影响：当采样周期一定时，加大开环增益会使得系统的稳定性变差；当开环增益一定时，采样周期越长，丢失的信息就越多，对系统的稳定性和动态性能不利。在保证系统稳定的前提下，采样周期越小，允许的开环增益范围就扩大，否则就缩小。,离散系统的稳态误差,求连续系统稳态误差的方法：L变换的终值定理；静态误差系数法。,离散系统的稳态误差,例：已知离散系统结构图,K=10,T=0.2求r(t)=1(t),t,t2/2时系统的e()。,解,离散系统的稳态误差,系统稳定,Jury:,T=0.2,K=10,离散系统的稳态误差,静态误差系数法离散系统的型别根据开环脉冲传递函数G(z)中z=1的极点个数来确定。适用于系统稳定,r(t)作用,对误差采样的线性离散系统。,离散系统的稳态误差,设,离散系统的稳态误差,静态位置误差系数,静态速度误差系数,静态加速度误差系数,离散系统的稳态误差,离散系统的稳态误差,解,例：稳定离散系统的结构图如图所示，已知r(t)=2t,试讨论有或没有ZOH时的e()。,无ZOH时,有ZOH时,与T有关,与T无关,离散系统的稳态误差,例：已知系统结构图(T=0.25),r(t)=21(t)+t,使e()0.5,求K范围。,解,离散系统的稳态误差,判定稳定性,Jury:,例：已知系统结构图(T=0.25),r(t)=21(t)+t,使e()0.5,求K范围。,离散系统的动态性能分析,离散系统的时间响应类似于连续系统，一般假设在单位阶跃信号输入时，分析系统的动态性能。若采用幂级数展开，就可以直接得到输出信号的脉冲序列离散系统的动态性能和稳态性能。,离散系统的动态性能分析,例系统结构图如图所示,T=K=1,求系统动态指标(%,ts)。,解,用长除法求系统单位阶跃响应序列h(k),离散系统的动态性能分析,采样器和保持器对动态性能的影响连续系统经过采样以后，系统的动态特性将会发生变化；引入保持器以后，将会改变闭环系统的零极点。,离散系统的动态性能分析,例系