模糊数学第一讲2010.3.16

模糊数学与灰色系统分析方法及应用,Email：tmxk_1985,1.1模糊数学导论,两类自然现象的描述：A.1+1=2B.水的温度达到100摄氏度就会沸腾C.光的速度是30万公里/秒D.某人是个高个子（身高多少为高个子）E.今天下的是中雨（雨量多少为中雨）F.包头气候干燥（什么样的气候是干燥的气候）G.创维电视机质量很好（怎么样的质量才是好）,模糊数学与概率论（随机现象）区别：随机现象的不确定性是指事件本身的定义和范畴是确定的情况下，事件发生的结果是不确定的。如骰子下落出现的点数是16，这是确定的，但是具体是几点我们不知道，带有随机性。,模糊现象的不确定性是指事件发生的结果是确定的，而事件本身的定义和范畴是不确定的。如人的身高是可以度量的，但是这个高度是否属于高个子是不确定的，带有模糊性。,模糊数学的发展与应用：模糊（Fuzzy）数学理论是由美国加利福利亚大学控制理论专家扎德（L.A.Zadeh）教授于1965年提出，至今已经在原有的基础上派生出了模糊拓扑、模糊图论、模糊概率、模糊逻辑等分支学科。我国模糊数学的研究与应用也取得了很好的成绩，很多的成果处于世界领先水平。并创办了模糊数学、模糊系统与数学等学术期刊。至今，模糊理论已经在军事、医疗、地矿、生物、天气预报、信息处理、人工智能等领域展开了应用。但是该领域的理论系统体系还远远没有成熟，具有巨大的发展空间。,1.2模糊集合的概念,描述普通集合可以用特征函数，,特征函数是论域U到0，1上的映射，又可写成：,它确定了集合有哪些元素，所以称之为集合A的特征函数。,显然有,定义：论域U到0,1的任一映射都确定了U上的一个模糊集：,其中称为的隶属函数，称为x的隶属度。,隶属度表示x属于的程度：A.越接近0，表示x属于的程度越小；B.越接近1，表示x属于的程度越大；C.越接近0.5，表示x属于的程度越模糊。,U上的全体模糊子集构成的集合类，记为F(U)，显然有,其中P(U)是U的幂集。（由论域U的所有子集所组成的集合称为U的幂集，记为）,模糊集合的表示：A.向量表示法,B.扎德（Zadeh）记号表示法,C.序偶表示法,D.无限集的表示,那么,扎德表示：,b,c,d,e,例1：表示“圆糊糊的物体”,a,向量表示：,序偶表示：,例2：以年龄为论域U=0,100,两个模糊子集和，表示“年老”和“年轻”，隶属函数为：,则模糊子集和可以表示为：,0.5,1,25,50,100,年龄,1.3模糊子集的基本运算：,1.包含2.真包含3.相等4.并运算5.交运算6.逆运算7.若，则8.若，则,模糊集合的并、交、补集合,1.交换律2.结合律3.分配律4.对偶律(德.摩根)5.复原律,模糊子集的基本运算性质：,6.幂等律,7.同一律,8.吸收律,例3：设论域U=a,b,c,d,e是一个5人组成的集合，表示“高个子”的集合，表示“胖子”的集合，,则“或高或胖”,则“又高又胖”,则“不高”,1.4隶属函数的确定方法,例证法：该方法主要是通过从模糊集合中已知的有限个元素的隶属度来估计其隶属函数的方法。例如是高山的集合，然后选择具有代表性的高度值，通过各种方法确定其隶属度（如2000米海拔隶属度为0.3，3000米海拔隶属度为0.5，4000米海拔隶属度为0.8等等）。以此类推就可以估算出隶属度函数的离散形式。,该方法直观而简单，适用于隶属函数简单并且集合元素较少的情形。,2.相对比较法,建立模糊集合的相对比较级建立相对矩阵，取矩阵中每行的最小值作为每行对应元素的的隶属度，即,例4：定义为“好好学习”，是论域U=小明（a），小王（b），小李（c）上的模糊集合。,1.通过调查两两比较得到相对比较级如下：2.建立相对矩阵3.计算隶属函数,3.对比比较法,建立模糊集合的相对比较级建立相对矩阵通过以下方法确定各个元素的隶属度：,1.通过比较两两比较数据库之间性能的好坏，建立相对矩阵如下：2.通过公式计算每一个元素的隶属度：,例5：定义为“数据库性能好”，是论域U=Oracle(a)，DB2(b)，SOLServer(c)，Mysql(d)上的模糊集合。确定隶属函数过程如下,4.模糊统计法,该方法就是通过反复做随机实验。当实验的次数趋向于无穷大的时候，事件属于该集合的次数就趋于一个稳定值，该值和定义次数之比就是事物的隶属度。该方法与统计中确定事物概率的思想是相似的。,例6：设是“年轻人”的模糊集合，通过社会调查得出“27岁”的统计结果如下：,从以上统计结果可以发现，“27岁”对模糊集合“年轻人”的隶属度大致集中在0.78左右。于是可以认为，以此类推，可以得出模糊集合中的所有元素的隶属度。,5.概率论方法,例7：设U=(0,3)代表身高的变化区段，=“矮个子”，=“中等个”，=“高个子”。是和的分界点。是和的分界点。首先可以借助概率统计的方法确定和的分布：。对于任意可以建立如下的隶属函数：,1.5常用模糊集合的隶属函数,1.三角形隶属函数,a,1,b,c,0,2.降半梯形隶属函数,a,1,b,0,3.升半梯形分布,a,1,b,0,4.梯形分布,a,1,b,0,c,d,例8：河水污染可以通过水中酚的含量来确定水质等级：,对于一级和二级水，可以通过三角形隶属函数来确定，三级水可以借助升半梯形隶属函数确定。这里我们主要借助MATLAB模糊工具箱建立隶属度函数（membershipfunction）。,一级和二级水的MATLAB语句：,X=0:0.0001:0.01;Y1=trimf(X,0,0.001,0.002);subplot(121),plot(X,Y1);Y2=trimf(X,0.001,0.002,0.01);subplot(122),plot(X,Y2);,三级水的MATLAB语句：,X=0:0.0001:0.015;Z1=trapmf(X,0.002,0.01,0.1,0.2);subplot(121),plot(X,Z1);,MATLAB中的有关隶属度函数语法,1.高斯型隶属函数：y=gaussmf（x，sig，c）其中：sig=std（x）c=mean（x）分别表示x的方差和均值,x表示论域范围。高斯型隶属函数的运用需要检验数据是否服从正态分布：h=lillietest（x），若h=0，则表明数据是正态分布的。,2.三角形隶属函数,y=trimf(x,a,b,c)x表示论域范围，abc，隶属函数要求在x=b点的隶属度为1，在x=a，x=c点点隶属度为0。,3.梯形隶属函数,y=trapmf(x,a,b,c,d)x表示论域范围，a,b,c,d用于指定梯形隶属函数的的形状，要求,4.Z型隶属函数,y=zmf（x，a，b）Z型函数是基于样条插值的函数，a，b分别表示插值的起点和终点。ab时，曲线为01上的阶梯函数，跳跃点是（a+b）/2。,5.S型隶属函数,y=smf（x，a，b）S型函数是基于样条插值的函数，a，b分别表示插值的起点和终点。ab时，曲线为01上的阶梯函数，跳跃点是（a+b）/2。对于相同输入参数的S型和Z型隶属函数，其函数图像是对称的。,A=0:0.1:10;Y=