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平面向量的数量积,浙江省安吉县昌硕高中,定义：,一般地，实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作，它的长度和方向规定如下：(1)|=|(2)当0时,的方向与方向相同；当0时,的方向与方向相反；特别地，当=0或=时,=.,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算。对于任意的向量以及任意实数恒有,已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则AOB=（0180）叫做向量a与b的夹角。,O,B,A,向量的夹角,我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）,F,S,力F所做的功W可用下式计算W=|F|S|cos其中是F与S的夹角,从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。,定义,注意：向量的数量积是一个数量。,叫做向量在方向上（或向量在方向上）的投影。,思考：,重要性质:,特别地,解：ab=|a|b|cos=54cos120=54（-1/2）=10,例1已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角=120，求ab。,例2已知a=(1,1),b=(2,0),求ab。,解：|a|=2,|b|=2,=45ab=|a|b|cos=22cos45=2,ab的几何意义：,练习：,1若a=0，则对任一向量b，有ab=0,2若a0，则对任一非零向量b,有ab0,3若a0，ab=0，则b=0,4若ab=0，则ab中至少有一个为0,5若a0，ab=bc，则a=c,6若ab=ac,则bc,当且仅当a=0时成立,7对任意向量a有,二、平面向量的数量积的运算律：,数量积的运算律：,注：,则(a+b)c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=ac+bc.,O,N,M,a+b,b,a,c,向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3),例3：求证：,（1）(ab)2a22abb2；,（2）(ab)(ab)a2b2.,证明：（1）(ab)2(ab)(ab),(ab)a(ab)b,aabaabbb,a22abb2.,证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba2b2.,例4、,的夹角为,变式：求,变式：当且仅当k为何值时，垂直,思考：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。,如图所示，已知O，AB为直径，C为O上任意一点。求证ACB=90,分析：要证ACB=90，只
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