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二重积分的变量变换公式用极坐标计算二重积分,4二重积分的变量变换,1,2020/4/30,满足,一阶偏导数连续;,雅可比行列式,(3)变换,定理21.13,变换:,是一一对应的,一、二重积分的变量变换公式,2,2020/4/30,则,3,2020/4/30,证:根据定理条件可知变换T可逆.,用平行于坐标轴的,直线分割区域,任取其中一个小矩,形,其顶点为,通过变换T,在xoy面上得到一个四边,形,其对应顶点为,则,4,2020/4/30,同理得,当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四,边形,故其面积近似为,5,2020/4/30,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式:,例如,直角坐标转化为极坐标时,6,2020/4/30,例1.计算,其中D是x=0,y=0,x+y=1所围区域.,解,则,令,7,2020/4/30,8,2020/4/30,例2.求抛物线y2=mx,y2=nx和直线,所围区域D的面积.,解,令,9,2020/4/30,当积分区域是圆域或圆域的一部分,或者被积函数含有x2+y2时，采用极坐标变换往往能简化二重积分的计算.此时,二、用极坐标计算二重积分,10,2020/4/30,则,(ii)若原点在D内，则,(i)若原点在D外，,11,2020/4/30,(iii)若原点在D的边界上，,(iv)若区域D可表示为,则,12,2020/4/30,例3.计算,其中,13,2020/4/30,例4.求球体,被圆柱面,所截得的(含在柱面内的)立体的体积.,解,由对称性可知,14,2020/4/30,例5.计算,其中,解,的原函数不是初等函数,故本题无法用直角,由于,坐标计算.,作极坐标系变换，有,15,2020/4/30,例
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