正余弦定理应用举例

,1.2正余弦定理应用举例,复习、请回答下列问题：,复习.下列解三角形问题,分别属于那种类型？根据哪个定理可以先求什么元素？,第4小题A变更为A=150o呢？_,余弦定理先求出A,或先求出B,C,正弦定理先求出b,正弦定理先求出B(60o或120o),无解,余弦定理先求出a,.,.,要测量不可到达的两点间的距离,可用哪些方法?,.,方案一:构造直角三角形,C,若能测得AC的长及BAC,那么AB即可求出,此方案有缺限吗?,.,例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=510,ACB=750.求A、B两点的距离(精确到0.1m),练习1海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，那么B岛和C岛间的距离是。,A,C,B,解：应用正弦定理，C=45BC/sin60=10/sin45BC=10sin60/sin45,.,例2、如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。,.,.,A,B,.,.,D,C,基线,练习2、为了测定河对岸两点A、B间的距离，在岸边选定1公里长的基线CD，并测得ACD=90o，BCD=60o，BDC=75o，ADC=30o，求A、B两点的距离.,A,B,C,D,A,B,C,D,1公里,分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三角形，与AB联系的三角形有ABC和ABD，利用其一可求AB。,ACD=90o，BCD=60o，BDC=75o，ADC=30o，,略解：RtACD中，AD=1/cos30oBCD中，1/sin45=BD/sin60，可求BD。由余弦定理在ABD中可求AB。,解斜三角形,练习：海中有岛A，已知A岛周围8海里内有暗礁，今有一货轮由西向东航行，望见A岛在北偏东75，航行20海里后，见此岛在北偏东30，如货轮不改变航向继续前进，问有无触礁危险。,B,C,解：在ABC中ACB=120ABC=15由正弦定理得：,由BC=20,可求AC得AM=8.978,无触礁危险,.,如何测量地球与月亮之间的距离?,背景资料,早在1671年,两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离,利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角,测量计算出,的大小和两地之间的距离,从而算出了地球与月球之间的距离约为385400km.,.,例3:如图:甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？,.,1、分析题意，弄清已知和所求；2、根据提意，画出示意图；3、将实际问题转化为数学问题，写出已知所求；4、正确运用正、余弦定理。,小结：求解三角形应用题的一般步骤：,.,实际问题,.,几个概念：,仰角：目标视线在水平线上方的叫仰角;俯角：目标视线在水平线下方的叫俯角；方位角：北方向线顺时针方向到目标方向线的夹角。,N,方位角60度,水平线,目标方向线,视线,视线,仰角,俯角,方向角是指从指定方向线到目标方向线的水平角,如北偏东30度,南偏西45度.,.,C,D,.,例4.如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C，D两处，测得烟囱的仰角分别是=3512和=4928，CD间的距离是11.12m已知测角仪器高1.52m，求烟囱的高,.,.,练习4、如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是,，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。,图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？,想一想,.,实例讲解,分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。,解：,答：烟囱的高为29.9m.,.,例5、如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角,在塔底C处测得A处的俯角已知铁塔BC部分的高为27.3m,求出山高CD(精确到1m),.,如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D现测得,并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB,.,例6、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北150的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北250的方向上,仰角为80,求此山的高度CD.,.,例7、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东750的方向航行67.5nmile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东320的方向航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.10,距离精确到0.01nmile),.,练习7、如图，某渔轮在航得中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，测出该渔轮在方位角为，距离为10nmile的处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以nmile/h的速度向小岛靠拢我海军舰艇立即以nmile/h的速度前去营救求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1,时间精确到min）,方位角：指从正北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角,.,解：设舰艇收到信号后xh在处靠拢渔轮，则21x，x，又AC=10,ACB=45+(180105)=120.,由余弦定理，得：,化简得：,解得：x=（h）=40(min)(负值舍去）,.,由正弦定理，得,所以21.8，方位角为45+21.8=66.8,答：舰艇应沿着方位角66.8的方向航行，经过min就可靠近渔轮,.,练习:,一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东150相距20km处,随后货轮按北偏西300的方向航行,半小时后,又测得灯塔在货轮的北偏东450的方向上,求货轮的速度.,.,练习：,勘探队员朝一座山行进，在前后两处观察山顶的仰角分别是29度和38度，两个观察点之间距离是200m,求山的高度。,.,练习：3.5m长的木棒斜靠在石堤旁，棒的一端离堤足1.2m的地面上，另一端沿堤上2.8m的地方，求地对地面的倾斜角。,.,引例在ABC中,已知a,b及C,求ABC的面积.,D,结论:三角形的面积公式:,.,例8、在ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm2),(1)已知a=4,c=6,B=300;(2)已知B=450,C=750,b=;(3)已知a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm.,.,例9、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2),.,例10.在ABC中,求证:,.,1.已知ABC中,B=300,