第一章 随机事件及其概率ppt课件

教材：概率论与数理统计袁荫棠编中国人民大学出版社,参考书：概率论与数理统计盛骤、谢式千、潘承毅等编高等教育出版社,序言,?,概率论是研究什么的？,随机现象：不确定性与统计规律性,概率论研究和揭示随机现象量的统计规律性的科学,在自然界和人类社会中存在着两类不同的现象：确定性现象：在一定条件下事先可以断言必然会发生某种结果的现象；,不确定性现象（随机现象）：在一定条件下，可能出现这种结果，也可能出现那种结果。事先不能预言会出现哪种结果的现象。,第一章随机事件及其概率,随机事件概率概率的加法法则条件概率与乘法法则独立实验概型,1.1随机事件一、随机试验(简称“试验”),对随机现象进行观测称为随机试验随机试验的特点：1.可在相同条件下重复进行；（必然性）2.每次试验的结果具有多种可能性,但在试验之前可以明确试验的所有可能结果;（可示性）3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。（偶然性）随机试验可表为E,二、随机事件,每次实验中，可能发生也可能不发生，而在大量实验中具有某种规律性的事件称为随机事件。简称为事件通常用大写的拉丁字母A、B、C等表示基本事件：不能分解成其它事件组合的最简单的随机事件复合事件：由基本事件复合而成的事件,必然事件、不可能事件,必然事件（）：每次试验中一定发生的事件不可能事件（）：每次试验中一定不发生的事件,三、样本空间：,1、由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,也记为.2、样本空间：实验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为；3、样本点:试验的每一个结果或样本空间的元素称为一个样本点,记为.,四、事件之间的关系,事件的包含,如果事件A发生必然导致事件B发生,即属于A的每一个样本点都属于B,则称事件B包含事件A或称事件A含于事件B,记作BA或AB,等价的说法是如果B不发生则A也不会发生.对于任何事件A有A,事件的相等,如果事件A包含事件B,事件B也包含事件A,称事件A与B相等.即A与B中的样本点完全相同.记作A=B,事件的并(和),两个事件A,B中至少有一个发生,即A或B,是一个事件,称为事件A与B的并(和).它是属于A或B的所有样本点构成的集合.记作A+B或AB,易知A+=A+=A,n个事件A1,A2,An中至少有一个发生,是一个事件,称为事件的和,记作A1+A2+An或A1A2An可列个事件的和表示可列个事件中至少有一个事件发生,记作,事件的交(积),两个事件A与B同时发生,即A且B,是一个事件,称为事件A与B的交.它是由既属于A又属于B的所有公共样本点构成的集合.记作AB或AB,易知A=AA=,对立事件,事件非A称为A的对立事件(或逆事件).它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成的集合.记作,显然,事件的差,事件A发生而事件B不发生,是一个事件,称为事件A与B的差.它是由属于A但不属于B的那些样本点构成的集合.记作AB,易知,互不相容事件,如果事件A与B不能同时发生,即AB=,称事件A与B互不相容(或称互斥).互不相容事件A与B没有公共的样本点.显然,基本事件间是互不相容的,对立事件一定互不相容,但互不相容事件未必对立,完备事件组,若事件A1,A2,An为两两互不相容事件,并且A1+A2+An=,称构成一个完备事件组或构成一个划分.,最常用的完备事件组是某事件A与它的逆,五、事件的运算,1、交换律：ABBA，ABBA2、结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)3、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)4、对偶(DeMorgan)律：,例1掷一颗骰子的试验，观察出现的点数,事件A表示奇数点,事件B表示点数小于5,C表示小于5的偶数点.用集合的列举表示法表示下列事件:,解:,=1,2,3,4,5,6A=1,3,5B=1,2,3,4C=2,4A+B=1,2,3,4,5AB=5BA=2,4AB=1,3AC=C-A=2,4,写出其样本空间；三次都取到了合格品；三次中至少有一次取到合格品；三次中恰有两次取到合格品；三次中至多有一次取到合格品。,A1A2A3A1+A2+A31A2A3+A12A3+A1A2323+13+12,例2、从一批产品中每次取出一个产品进行检验（每次取出的产品不放回），事件Ai表示第i次取到合格品（i1,2,3）。试用事件的运算符号表示下列事件：,例3一名射手连续向某个目标射击三次,事件Ai表示该射手第i次射击时击中目标(i=1,2,3).试用文字叙述下列事件:,解:,例4如果x表示一个沿数轴做随机运动的质点的位置是说明下列各事件的关系,A=x|x20B=x|x3C=x|x0,则P(AB)P(A)P(B|A).(1.10)若P(B)0,则P(AB)P(B)P(A|B).式(1.10)就称为事件A、B的概率乘法公式。,式(1.10)还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB).一般地，有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1).(1.11),例3、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率为80%，求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率。,根据乘法法则：P(AB)=P(A)P(B/A)=0.70.95=0.665P(B)=P()P(B/)=0.30.8=0.24,若用A、分别表示甲乙两厂的产品，B表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。解：P(A)=70%P()=30%P(B/A)95%P(B/)=80%,例4：10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回）甲先、乙次、丙最后。求甲抽到难签，甲乙都抽到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签，以及甲乙丙都抽到难签的概率,解：设事件A、B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签,三、全概率公式与贝叶斯公式,例5、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率为80%，求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率。求从市场上买到一个灯泡是合格灯泡的概率。试判断该合格灯泡是甲厂生产的概率,P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B/A)+P()P(B/)=0.665+0.24=0.905P(A/B)=P(AB)/P(B)=0.665/0.9050.7348,若用A、分别表示甲乙两厂的产品，B表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。解：P(A)=70%P()=30%P(AB)=0.665P(B/A)95%P(B/)=80%P(B)=0.24,定义:事件组A1，A2，An(n可为)，称为样本空间的一个划分，若满足：,A1,A2,An,B,定理1.1(p17)设A1，,An是的一个划分，构成一个完备事件组,且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B有,式(1.12)就称为全概率公式。,例6：12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3个用完后放回去，求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率。,解：设事件Ai、Bi、Ci分别表示第一、二、三次比赛时取到i个新球（i0、1、2、3）则且B0、B1、B2、B3构成一个完备事件组,根据全概率公式：,有,定理2(p18)设A1，,An是的一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件B，有,式(1.13)就称为贝叶斯公式。,例7假定某工厂甲乙丙3个车间生产同一种螺钉,产量依次占全厂的45%,35%,20%.如果各车间的次品率依次为4%,2%,5%.现在从待出厂产品中检查出1个次品,试判断它是由甲车间生产的概率,解设事件B表示产品为次品,A1,A2,A3分别表示产品为甲,乙,丙车间生产的,显然,A1,A2,A3构成一完备事件组.依题意,有P(A1)=45%P(A2)=35%P(A3)=20%P(B|A1)=4%P(B|A2)=2%P(B|A3)=5%,则由贝叶斯公式得,定义1.4(P20)如果事件A发生的可能性不受事件B发生与否的影响，即P(A/B)=P(A),则称事件A对于事件B独立。若A对于B独立，则B对于A也一定独立，称事件A与事件B相互独立。,1.5独立试验概型,(一)事件的独立性,定义1.5如果n(n2)个事件A1,A2,An中任何一个事件发生的可能性都不受其他一个或几个事件发生与否的影响，则称A1,A2,An相互独立,关于独立性的几个结论如下：,2.以下四个命题等价：,1.事件A与B相互独立的充分必要条件是P(AB)=P(A)P(B),3.若事件A1,A2,An相互独立，则有,注意:互斥与独立的区别,4.在用途上有区别：互斥通常用于概率的加法运算,独立通常用于概率的乘法运算。,1.互斥的概念是事件本身的属性；独立的概念是事件的概率属性。,2.两事件互斥,即A与B不能同时发生；AB独立是指A与B的概率互不影响.P(A/B)=P(A),3.若0P(A)1,0P(B)1,互斥一定不独立；独立一定不互斥。,例1甲、乙、丙三部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内他们不需要工人照管的概率分别为0.9，0.8及0.85。求在这段时间内有机床需要工人照管的概率；机床因无人照管而停工的概率。,解:设A=“机床甲不需要工人照管”;B=“机床乙不需要工人照管”;C=“机床丙不需要工人照管”;根据题意,A、B、C相互独立，并且P(A)=0.9P(B)=0.8P(C)=0.85,求机床因无人照管而停工的概率。,即求至少有两台机床同时需要照管的概率,例2若例1中的3部机床性能相同，设P(A)P(B)P(C)0.8，求这段时间内恰有一部机床需要照管的概率；恰有两部机床需要照管的概率；,解：设Di“恰有i部机床需要照管”则P(D1)=P(D2),例3如图所示,开关电路中开关a,b,c,d开或关的概率都是0.5,且各开关是否关闭相互独立.求灯亮的概率以及若已见灯亮,开关a与b同时关闭的概率,解令事件A,B,C,D分别表示开关a,b,c,d关闭,E表示灯亮,则E=AB+C+D,P(E)=P(AB+C+D)=P(AB)+P(C)+P(D)-P(ABC)-P(ABD)-P(CD)+P(ABCD)=P(A)P(B)+P(C)+P(D)-P(A)P(B)P(C)-P(A)P(B)P(D)-P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)=0.52+0.5+0.5-0.53-0.53-0.52+0.54=0.8125P(AB|E)=P(ABE)/P(E)而ABE,故ABE=AB,因此,(二)独立试验序列概型,在概率论中，把在相同条件下重复进行试验的数学模型称为独立试验序列概型。进行n次试验，若任何一次试验中各结果发生的可能性都不受其他各次试验结果发生情况的影响，称这n次试验是相互独立的。,例4一批产品的废品率为0.1，每次抽取一个，观察后放回去，下次再取一个，共重复3次，3次中恰有两次取到废品的概率,解：设B2“3次中恰有两次取到废品”Ai“第i次取到废品”(i=1,2,3)则A1A2A3，1A2A3,A12A3,A1A23,A123,1A23,12A3,123P(B2)=P(1A2A3+A12A3+A1A23)=P(1A2A3)+P(A12A3)+P(A1A23)=0.90.10.1+0.10.90.1+0.10.10.9,例5例4中废品率若为p(0p1),重复抽取n次，求恰有k次取到废品的概率,解：设Bk“n次中恰有k次取到废品”则,上面例子的共同特点是,在每次试验中某事件A或者发生或者不发生,假设每次试验的结果与其它各次试验结果无关,即在每次试验中A出现的概率都是p(0p1),这样的一系列重复试验(比如n次),称为n重贝努里试验.因此,n重贝努里试验共有两个关键参数,一个是每次试验A发生的概率,一个是试验次数n.注意A并非n重试验的样本空间的事件,它只是一次试验中的事件