62-定积分在几何学上的应用

1,究竟哪些量可用定积分来计算呢.,曲边梯形的面积-,?,定积分的定义,特点:,(1)所求量I与a,b有关;,(2)I在a,b上具有可加性.,第一节定积分的微元法(元素法）,第六章定积分的应用,2,积分式四步曲:,“分割、,关键在于如何写出,方法,简化步骤,被积表达式.,-微元。,近似、,求和、,取极限”,3,一、平面图形的面积,启示,一般曲线围成区域的面积？,第二节定积分的几何应用,4,1.直角坐标系中图形的面积,5,解,两曲线的交点,面积元素,选为积分变量,6,解,两曲线的交点,选为积分变量,7,(2),由曲线,和直线,所围区域,面积A.,面积元素,8,解,两曲线的交点,选为积分变量,9,例4,解,画草图,求两曲线交点坐标,解方程组:,交点,面积元素,法一,选为积分变量,?,以确定积分限,10,法二,选y为积分变量,法三,?,11,上连续,与直线,曲线,所围平面图形面积,?,12,例5,解,两曲线交点:,图形关于y轴对称,13,解,两曲线的交点,画草图,练习,14,解,曲线的参数方程:,由对称性,作变量代换,例6,不易积分.,15,解,面积,练习,作变量代换,16,面积元素,2.极坐标下平面图形的面积,所围曲边扇形面积A.,曲边扇形,17,解,由对称性,例7,求双纽线,所围平面图形的面积.,18,解,利用对称性：,19,解,求交点,由对称性,2,例9,20,练习,解,利用对称性：,21,答案,所围成的面积最小.,练习,22,圆柱,圆锥,圆台,二、体积,旋转体,这直线叫做旋转轴,由一个平面图形绕,这平面内一条直线,旋转一周而成的立体,1.旋转体的体积,23,旋转体的体积,采用元素法,连续曲线,直线,及x轴所围曲边梯形,绕x轴旋转一周，,旋转体体积？,积分变量x,体积元素,(1),24,解,体积元素,例1,取积分变量为x,25,连续曲线,及y轴所围曲边梯形,绕y轴旋转一周,旋转体体积？,(2),直线,体积元素,旋转体的体积,26,解,体积元素,求星形线,绕y轴旋转,例2,构成旋转体的体积.,对称性,参数方程,用换元法,27,解,例3,摆线,与x轴所围图形分别绕x轴、y轴旋转，体积？,绕x轴旋转的旋转体体积,变量代换,28,练习,解,两曲线交点：,29,解,R,例4,对称性,四分之一圆面积,30,2.平行截面面积为已知的立体的体积,立体体积,表示过点x,且垂直于x轴的,截面面积,为x的已知连续函数.,采用元素法,体积元素,31,解,底圆方程,例5,一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,计算这平面截圆柱体所得,立体的体积.,垂直于x轴的截面为直角三角形.,底,高,截面面积,立体体积,选取积分变量x.,32,作垂直于y轴的截面-,长,宽,矩形,截面面积,选择y作积分变量?,截面面积函数?,思考,33,解,底圆方程:,截面面积,立体体积,垂直于x轴的截面为等腰三角形,例6,求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.,34,练习,(1)D1绕x轴旋转,体积V1;,D2绕y轴旋转,体积V2;,(2)问当a为何值时,V1+V2取得最大值?,解,(1),(2),(唯一驻点),35,过原点作y=lnx的切线,与y=lnx及x轴围成平面图形D.,(1)求D的面积A;,(2)D绕x=e旋转一周,旋转体体积V?,解