随机过程的线性变换.ppt

1,第三章随机过程的线性变换,3.1变换的基本概念及基本定理,3.3限带过程,3.4随机序列通过离散线性系统分析,3.5最佳线性滤波器,3.6线性系统输出端随机过程的概率分布,3.2随机过程通过线性系统分析,2,学习目标：1、理解线性变换的定义；2、理解线性变换的两个基本定理；3、掌握线性系统分析的冲激响应法和频谱法；4、理解噪声等效通能带的概念；5、掌握最佳线性滤波器的原理；,第三章随机过程的线性变换,3,3.1变换的基本概念及基本定理,1.变换的基本概念,（1）变换的定义定义：给定一个随机信号，我们按照某种法则，对它的每一个样本函数，都指定一个对应函数，于是，我们就得到了一个新的随机信号，记为T就叫做从随机信号到的变换。,T,4,（2）线性变换其中、为随机变量，、为随机过程。对于线性变换若有则称线性变换L是线性时不变的。,5,定理1：设即算子L、E可以交换次序。,则,2.线性变换的基本定理,证明：,6,两边均对n取极限无穷大，则有,7,定理2：,证明：,8,9,对于线性时不变系统，若X(t)是严平稳的，则Y(t)是严平稳；若X(t)是广义平稳的，则Y(t)是广义平稳的。,输出的均值和相关函数可以分别由输入的均值和相关函数确定。,输出的k阶矩可以由输入的相应阶矩来确定,3.线性变换的性质,10,(1)随机变量的极限定义：设随机变量X和Xn(n=1,2,)均有二阶矩，若有则称随机变量序列Xn依均方收敛于随机变量X，或称变量X是序列Xn依均方收敛意义下的极限，记为：l.i.m即Limitinmeansquare,4.随机过程的导数与积分,11,(2)随机过程的极限定义：设随机过程X(t)和X都有二阶矩，当tt0时若有则称随机过程X(t)在tt0依均方收敛于随机变量X，或称变量X是过程X(t)在tt0时依均方收敛意义下的极限，记为：,12,（3）随机过程的连续性定义：若随机过程X(t)满足即则称随机过程X(t)在t=t0处连续。性质：若在处二元连续，则X(t)在t0处连续；,13,若X(t)是平稳随机过程，如果在处连续，则随机过程X(t)在任意时刻均方连续；若随机过程X(t)均方连续，则其均值函数亦连续，即有极限运算与均值运算符可以交换次序，即交换次序后极限含义不同。,14,（4）随机过程的导数定义：若随机过程X(t)存在极限则称此极限为随机过程X(t)的导数，记为X(t)或即随机过程的导数亦是随机过程。,15,可导充要条件：相关函数在自变量时，存在二阶混合偏导数；若信号平稳，相关函数当自变量时，二阶导数存在。,16,例1:随机过程X(t)的相关函数为判断X(t)是否均方连续、均方可导。,例2:随机过程X(t)的相关函数为判断X(t)是否均方连续、均方可导。,17,导数统计特性：，即,18,若X(t)为平稳可导信号，则,19,随机过程及其导数过程关系示意图,20,(5)随机过程的积分定义：设随机过程X(t)，把区间a,b划分成n等份，若有则称Y为X(t)在区间a,b上的均方积分，记为也可以写成如下形式：,21,积分统计特性均值方差,22,1.冲激响应法,h(t),X(t),Y(t),若X(t)平稳,均值,系统的输出,3.2随机信号通过线性系统分析,23,互相关函数,若X(t)平稳,24,当输入X(t)为白噪声，系统的输出,系统h(t),X(t),互相关函数测量,系统辨识结构图,25,自相关函数,若X(t)平稳,26,输入输出相关函数关系图,平稳情况,27,例：假设有微分方程描述的线性系统如下：,解：首先确定h(t),28,29,30,2.频谱法,稳态分析,31,输入输出相关函数关系图,32,(1)若输入X(t)平稳，h(t)在(-，+)存在，则输出Y(t)平稳，且与X(t)联合平稳；(2)对于物理可实现系统，即当t0时，h(t)=0，且假定输入X(t)平稳。若输入从-加入(双侧随机信号),3.平稳性讨论,33,结论：输出平稳，若X(t)遍历，则Y(t)遍历,34,若输入从t=0时加入，(单侧随机信号),结论：输出不平稳,35,例1如图所示的RC电路，输入为零均值的平稳随机过程,且相关函数为求输出Y(t)的自相关函数。,36,解：RC电路的冲激响应为,(1)冲激响应法,37,38,(2)频谱法,X(t)的功率谱为,39,求上式的傅里叶反变换,40,3.3限带过程,白噪声,理想低通滤波器,理想带通滤波器,理想低通过程,理想带通过程,1.低通过程,相关函数在零点足够光滑,41,理想低通过程,42,理想带通过程,43,44,3.噪声等效通能带,白噪声通过线性系统后输出的物理谱等效成一定频带内均匀的物理谱，这个频带称为噪声等效通能带。,45,对低通系统,46,功率谱为N0/2的白噪声通过线性系统，输出的平均功率为,47,功率谱为N0/2的白噪声通过线性系统，输出的平均功率为,Powertransferfunction,48,例,49,输出过程的相关时间,50,3.4随机序列通过离散时间线性时不变系统,51,52,53,54,对于平稳随机序列,55,单位延迟,a,X(n)X(n-1),W(n),举例：一阶AR模型,X(n)=aX(n-1)+W(n),AutoregressiveModel,其中，W(n)为平稳白噪声，方差为。求一阶AR过程的自相关函数和功率谱。,56,57,系统稳定的条件：|a|1,系统稳定的条件,58,系统的传递函数,59,输出的均值为零,当m0时，,60,功率谱分析,功率谱为,推广到N阶AR模型,61,62,举例：一阶MA模型,Xn=b0Wn+b1Wn-1,系统是稳定的，因果的。,系统的冲激响应是有限长度的,MovingAverageModel,63,系统的传递函数,取b0=1,b1=1,低通滤波器,64,取b0=1,b1=-1,高通滤波器,65,均值为零，相关函数为,66,相关函数是有限长度的，,67,功率谱分析,68,M阶MA过程,X(n)=b0W(n)+b1W(n-1)+bMW(n-M),冲激响应,该滤波器也称为横向滤波器（TransversalFilter)，滤波器一定是稳定的和因果的（Stableandcausal）,69,M阶MA过程的均值仍为零,70,由相关函数的偶函数性质可以得到m0的值。,71,ARMA模型,a0Xn+a1Xn-1+aNXn-N=b0Wn+b1Wn-1+.+bNWn-M,系统的传递函数,系统稳定的条件：所有极点应该在单位圆之内，|pk|1，这也是渐近平稳的条件。,功率谱：,72,例设有ARMA(2,2)模型，X(n)+1.4X(n-1)+0.5X(n-2)=W(n)-0.2W(n-1)-0.1W(n-2)其中W(n)是零均值单位方差的平稳白噪声，求该过程的自相关函数和功率谱。,解系统的传递函数为,73,我们根据输出信噪比最大的准则,推导线性滤波器具有的传递函数H().设线性滤波器输入信号为:n(t)为平稳随机噪声,均值为零,功率谱为Gn().,3.5最佳线性滤波器,1.输出信噪比最大的线性滤波器,74,令y(t)表示线性滤波器输出信号:,令H()为线性滤波器传递函数,则:,输入噪声功率为:,75,定义某时刻t=t0时滤波器输出端的信噪比d0为:,输出噪声功率为:,76,利用如下许瓦兹不等式:,当且仅当下式满足时取等号,令,c为常数.,77,代入许瓦兹不等式得:,即:,当且仅当滤波器传递函数为下式时取等号:,78,最大输出信噪比为:,输出信号波形为:,当t=t0时,输出信号值最大,是波形s0(t)的尖峰.,79,滤波器分析:,幅频特性为:,相频特性为:,80,最佳线性滤波器为:,假定:,2.匹配滤波器及其性质,匹配滤波器,81,匹配滤波器冲激响应:,即匹配滤波器的冲激响应为信号的共轭镜像.对于实信号,有:,h(t)与s(t)对于t0/2点呈偶对称关系.,82,t,t0/2,s(t)h(t),h(t),s(-t),t0,0,s(t),实信号及其匹配滤波器的冲激响应,83,匹配滤波器性质:输出信噪比dm与信号s(t)波形无关;,可见,在同样强度白噪声时,输出最大信噪比只与信号能量有关,而与信号波形无关,即已是最佳滤波.,其中,84,t0时刻应当选在信号s(t)结束之后;,物理可实现的滤波器满足:,85,匹配滤波器对信号的幅度和时延具有适应性;,a及是未知的参量或随机变量.,86,匹配滤波器的幅频特性与输入信号的幅频特性相同，相频特性等与输入信号的反相相频特性，并附有一附加的相位项。,匹配滤波器对信号的频移不具有适应性;,87,例1:单个矩形脉冲信号的匹配滤波器脉冲信号求其匹配滤波器的传输函数及输出信号波形.,t,a,0,s(t),88,矩形脉冲信号匹配滤波器实现框图,89,将H()分解：,3.白化滤波处理广义匹配滤波器：,90,可求出H2()：,令得：,91,白化滤波器,s(t)+n(t,),匹配滤波器,s,(t)+n,(t,),