高三数学第二篇第二节函数的单调性课件理北师大

第二节函数的单调性,1.函数的单调性(1)单调函数的定义,(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，叫做f(x)的单调区间2.函数的值域(1)在函数yf(x)中，与自变量x的值相对应的y值叫做函数值、叫做函数的值域,增函数,减函数,区间D,函数值的集合,(2)基本初等函数的值域ykxb(k0)的值域是.yax2bxc(a0)的值域是：当a0时，值域为；当a0时，值域为y(k0)的值域是yax(a0且a1)的值域是ylogax(a0且a1)的值域是.ysinx，ycosx的值域是ytanx的值域是.,R,y|y0,(0，),R,1,1,R,3函数的最值,1.单调区间与函数定义域有何关系？提示：单调区间是定义域的子区间.2.最值与函数的值域有何关系？提示：函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在.,1如果函数f(x)x22(a1)x2在区间(，4上是减函数，则实数a的取值范围是()A3，)B(，3C(，5D3，)【解析】f(x)x22(a1)x2的对称轴为x1a，f(x)在(，1a上是减函数，要使f(x)在区间(，4上是减函数，则只需1a4，即a3.【答案】B,2函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则()【答案】D,【解析】使y(2k1)xb在(，)上是减函数，则2k10，即k,3函数y的定义域为a，b，值域为0,2，则区间a，b的长ba的最小值是(),【解析】数形结合如右图，要使值域为0,2，(b-a)min=,【答案】B,4设x1，x2为yf(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：(x1x2)f(x1)f(x2)0(x1x2)f(x1)f(x2)0；其中能推出函数yf(x)为增函数的命题为_【解析】依据增函数的定义可知，对于，当自变量增大时，相对应的函数值也增大，所以可推出函数yf(x)为增函数【答案】,5函数y的值域为_【答案】(，1)(1，),【解析】由函数的图象得y1或y1，值域为(，1)(1，),函数单调性的判定,试讨论函数f(x)，x(1,1)的单调性(其中a0)【思路点拨】可根据定义，先设1x1x21，然后作差、变形、定号、判断；也可以求f(x)的导函数，然后判断f(x)与零的大小关系,【自主探究】方法一：根据单调性的定义求解设1x1x21，1x1x21，|x1|1，|x2|1，x2x10，x1210，x2210，|x1x2|1，即1x1x21，x1x210.因此，当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数为减函数当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时函数为增函数,方法二：f(x)即f(x)0，此时f(x)在(1,1)上为减函数同理，当a0时，f(x)在(1,1)上为增函数综上可知，a0时，f(x)在(1,1)上为减函数；a0时，f(x)在(1,1)上为增函数,【方法点评】1.用定义证明函数单调性的一般步骤(1)取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2.(2)作差：即f(x2)f(x1)(或f(x1)f(x2)，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形(3)定号：根据给定的区间和x2x1的符号，确定差f(x2)f(x1)(或f(x1)f(x2)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论(4)判断：根据定义得出结论,2求函数的单调性或单调区间的方法(1)利用已知函数的单调性(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间,【特别提醒】函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数y在(，0)和(0，)内都是单调递减的，但不能说它的整个定义域即(，0)(0，)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0，)，不能用“”,【解析】方法一：(定义法)由于函数的定义域为x|xR且x0，且f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数，因此可先讨论在(0，)上的单调性设0x1x2，则,1讨论函数f(x)x(a0)的单调性,方法二：(导数法)由于函数的定义域为x|xR且x0，且f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数，因此可先讨论在,函数的值域与最值,求下列函数的值域，并指出函数有无最值：【思路点拨】(1)消去分子上的变量；(2)对12x换元；(3)利用式子的几何意义,【自主探究】函数有最大值为1，无最小值,(3)数形结合法或图象法原函数式可化为此式可以看作点(2,0)和(cosx，sinx)连线的斜率而点(cosx，sinx)的轨迹方程为x2y21，在坐标系中作出圆x2y21和点(2,0)如图所示，由图可看出，当过(2,0)的直线,与圆相切时，斜率分别取得最大值和最小值，由直线与圆的位置关系知识：可设直线方程为y=k(x-2)，即kx-y-2k=0，,【方法点评】函数的值域与最值是相互关联的，求出了函数的值域也就有了函数的最值，当然只知道函数有一个最值是无法得出函数的值域的在求最值时常采用的方法是：(1)二次函数型配方法；(2)利用函数的单调性；(3)数形结合等,2求下列函数的值域：,【解析】(1)函数的定义域是x|xR且x2，如图所示，函数的值域为y|yR且y3,函数单调性的应用,(2009年江苏南京检测)已知函数f(x)(xR，且x2)(1)求f(x)的单调区间；(2)若函数g(x)x22ax与函数f(x)在x0,1上有相同的值域，求a的值；(3)设a1，函数h(x)x33a2x5a，x0,1，若对于任意x0,1，总存在x00,1，使得h(x0)f(x)成立，求a的取值范围【思路点拨】(1)利用函数单调性定义证明，也可以利用导函数来证明(2)由f(x)在0,1上的单调性可求其值域再列式求a.(3)根据单调性求值域再列不等式求解,【自主探究】令x2t，由于yt4在(，2)，(2，)内单调递增，在(2,0)，(0,2)内单调递减，容易求得f(x)的单调递增区间为(，0)，(4，)；单调递减区间为(0,2)，(2,4),(2)f(x)在x0,1上单调递减，其值域为1,0，即x0,1时，g(x)1,0g(0)0为最大值，最小值只能为g(1)或g(a)，综上得a1.,(3)设h(x)的值域为A，由题意知1,0A.以下首先证明h(x)的单调性：设0x1x21，h(x1)h(x2)x13x233a2(x1x2)(x1x2)(x12x1x2x223a2)0(a13a23，x12x1x2x223)，h(x)在0,1上单调递减a的取值范围是2，),【方法点评】本题主要考查函数单调区间的求解以及函数单调性的应用，其中解决第(3)问的关键是根据题意，将问题转化为集合之间的包含关系，从而建立参数不等式进行求解,3(2009年临沂模拟)已知f(x)是定义在区间1,1上的奇函数，且f(1)1，若m，n1,1，mn0时，有0.(1)解不等式f(x)f(1x)(2)若f(x)t22at1对所有x1,1，a1,1恒成立，求实数t的取值范围,【解析】(1)任取x1，x21,1，且x2x1，则f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)所以f(x2)f(x1)，所以f(x)是增函数,(2)由于f(x)为增函数，所以f(x)的最大值为f(1)1，所以f(x)t22at1对x1,1，a1,1恒成立t22at11对任意a1,1恒成立，即t22at0对任意a1,1恒成立令g(a)t22at2tat2，解得t2或t0或t2.,1(2009年辽宁高考)已知偶函数f(x)在区间0，)单调递增，则满足f(2x1)的x的取值范围是()【答案】A,【解析】f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在0，)上递增，,故选A.,2(2009年福建高考)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是()Af(x)Bf(x)(x1)2Cf(x)exDf(x)ln(x1)【解析】对任意的x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上为减函数故选A.【答案】A,3(2009年广东高考)函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是()A(，2)B(0,3)C(1,4)D(2，)【解析】f(x)(x3)ex，f(x)ex(x2)0，x2.f(x)的单调递增区间为(2，)，故选D.【答案】D,4(2009年陕西高考)定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x20，)(x1x2)，有0，则()Af(3)f(2)f(1)Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3)Df(3)f(1)f(2)【答案】A,【解析】由已知0，得f(x)在x0，)上单调递减，由偶函数性质得f(3)f(2)f(1)，故选A.此类题能用数形结合更好,5(2009年湖南高考)设函数yf(x)在(，)内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK(x)取函数f(x)2xex，若对任意的x(，)，恒有fK(x)f(x)，则()AK的最大值为2BK的最小值为2CK的最大值为1DK的最小值为1【解析】依题意，不存在x，使f(x)K，故Kf(x)恒成立f(x)1ex，当x0时，f(x)0；当x0，f(x)0，即f(x)在(，0)上是增函数，(0，)上是减函数，当x0时，f(x)取得最大值f(0)2011，故K1.即K的最小值为1.【答案】D,1讨论函数的单调性，应先确定函数的定义域，单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义域中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值替代2求函数值域的常用方法有：(1)分析观察法有的函数并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域(2)配方法二次函数若能转化为形如：F(x)af(x)2bf(x)c型的函数的值域，均可用配方法，但要注意f(x)的取值范围,(3)不等式法利用基本不等式ab2，可求某些函数的值域，但要注意“一正、二定、三相等”的条件(4)判别式法把函数转化为关于x的二次方程F(x，y)0，通过方程有实根，判别式0，从而求得原函数的值域，形如y(a1，a2不同时为零)的函数值域常用此法求得(5)利用函数的单调性求值域如果能确定函数在定义域内的单调性，则可