2015年高中数学步步高大一轮复习讲义（文科）第一章

精品文档 你我共享1.2命题及其关系、充分条件与必要条件1命题的概念可以判断真假、用文字或符号表述的语句，叫作命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2 四种命题及相互关系3 四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系4 充分条件与必要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果pq，qp，则p是q的充要条件1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“x22x31”是真命题B逆命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是增函数”是假命题C逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是减函数”是真命题D逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题思维启迪(1)可化简复数z，再利用复数的知识判断命题真假；(2)利用四种命题的定义判断四种命题形式是否正确，可利用四种命题的关系判断命题是否为真答案(1)C(2)D解析(1)z1i，所以|z|，p1为假命题；z2(1i)2(1i)22i，p2为真命题，1i，p3为假命题；p4为真命题故选C.(2)命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1”是真命题，所以其逆否命题“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数”是真命题思维升华(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；(3)判断一个命题为假命题可举反例(1)命题“若，则cos ”的逆命题是()A若，则cos B若，则cos C若cos ，则D若cos ，则(2)命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是()A若xy是偶数，则x与y不都是偶数B若xy是偶数，则x与y都不是偶数C若xy不是偶数，则x与y不都是偶数D若xy不是偶数，则x与y都不是偶数答案(1)C(2)C解析(1)命题“若，则cos ”的逆命题是“若cos ，则”(2)由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“xy是偶数”的否定表达是“xy不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若xy不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.题型二充要条件的判定例2已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是()Ap：m2或m6；q：yx2mxm3有两个不同的零点Bp：1；q：yf(x)是偶函数Cp：cos cos ；q：tan tan Dp：ABA；q：AU，BU，UBUA思维启迪首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断答案D解析对于A，由yx2mxm3有两个不同的零点，可得m24(m3)0，从而可得m6.所以p是q的必要不充分条件；对于B，由1f(x)f(x)yf(x)是偶函数，但由yf(x)是偶函数不能推出1，例如函数f(x)0，所以p是q的充分不必要条件；对于C，当cos cos 0时，不存在tan tan ，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于D，由ABA，知AB，所以UBUA；反之，由UBUA，知AB，即ABA.所以pq.综上所述，p是q的充分必要条件的是D.思维升华充要条件的三种判断方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy1”是“x1或y1”的何种条件，即可转化为判断“x1且y1”是“xy1”的何种条件(1)(2012福建)已知向量a(x1,2)，b(2,1)，则ab的充要条件是()Ax Bx1Cx5 Dx0(2)设集合AxR|x20，BxR|x0，则“xAB”是“xC”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案(1)D(2)C解析(1)a(x1,2)，b(2,1)，ab2(x1)212x.又abab0，2x0，x0.(2)因为Ax|x20x|x2(2，)，Bx|x0x|x2(，0)(2，)即ABC.故“xAB”是“xC”的充要条件. 题型三充分条件与必要条件的应用例3(1)函数f(x)有且只有一个零点的充分不必要条件是()Aa0 B0aC.a1(2)设p：|4x3|1，q：x2(2a1)xa(a1)0，若非p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A. B.C(，0 D(，0)思维启迪(1)根据图像交点先求得f(x)有一个零点的充要条件，再利用“以小推大”(集合间关系)判定；(2)考虑条件所对应集合间的包含关系答案(1)A(2)A解析(1)因为函数f(x)过点(1,0)，所以函数f(x)有且只有一个零点函数y2xa(x0)没有零点函数y2x(x0)与直线ya无公共点由数形结合，可得a0或a1.观察选项，根据集合间关系a|a1，答案选A.(2)p：|4x3|114x31，x1；q：x2(2a1)xa(a1)0(xa)x(a1)0，axa1.由题意知p是q的充分不必要条件，故有或，则0a.思维升华充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验(1)若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则a的最大值为_(2)已知命题p：实数m满足m212a20)，命题q：实数m满足方程1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为_答案(1)1(2)解析(1)由x21，得x1.又“x21”是“xa”的必要不充分条件，知由“x1”，反之不成立，所以a1，即a的最大值为1.(2)由a0，m27am12a20，得3am4a，即命题p：3am0.由1表示焦点在y轴上的椭圆，可得2mm10，解得1m，即命题q：1my，则x|y|”的逆命题B命题“若x1，则x21”的否命题C命题“若x1，则x2x20”的否命题D命题“若x20，则x1”的逆否命题答案A解析对于A，其逆命题：若x|y|，则xy，是真命题，这是因为x|y|，必有xy；对于B，否命题：若x1，则x21，是假命题如x5，x2251；对于C，其否命题：若x1，则x2x20，因为x2时，x2x20，所以是假命题；对于D，若x20，则x0或x1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.3 已知集合Mx|0x1，集合Nx|2x0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是_答案3,0解析ax22ax30恒成立，当a0时，30成立；当a0时，得，解得3a0，故3a0.10“若ab，则ac2bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是_答案2解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题11“x”是“向量a(x2,1)与向量b(2,2x)共线”的_条件答案充分不必要解析若a(x2,1)与b(2,2x)共线，则有(x2)(2x)2，解得x，所以“x”是“向量a(x2,1)与向量b(2,2x)共线”的充分不必要条件12若xm1是x22x30的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_答案0,2解析由已知易得x|x22x30x|xm1，又x|x22x30x|x3，或，0m2.B组专项能力提升(时间：15分钟)1 若集合Ax|2x3，Bx|(x2)(xa)0，则“a1”是“AB”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析当a1时，Bx|2x1，满足AB；反之，若AB，只需a2即可，故“a1”是“AB”的充分不必要条件2 命题“函数yf(x)的导函数为f(x)ex(其中e为自然对数的底数，k为实数)，且f(x)在R上不是单调函数”是真命题，则实数k的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析当k1时，f(x)ex1213，则f(x)在R上单调递增，不满足题意，应排除A；当k时，f(x)ex2123，所以f(x)在R上单调递增，不满足题意，应排除B；当k1时，f(x)ex121211，则f(x)在R上单调递增，不满足题意，应排除D.选C.3 “m”是“一元二次方程x2xm0有实数解”的_条件答案充分不必要解析x2xm0有实数解等价于14m0，即m，mm，反之不成立故“m”是“一元二次方程x2xm0有实数解”的充分不必要条件4 已知集合A，Bx|1xm1，xR，若xB成立的一个充分不必要的条件是xA，则实数m的取值范围是_答案(2，)解析Ax|1x3，即m2.5 下列四个结论中：“0”是“a0”的充分不必要条件；在ABC中，“AB2AC2BC2”是“ABC为直角三角形”的充要条件；若a，bR，则“a2b20”是“a，b全不为零”的充要条件；若a，bR，则“a2b20”是“a，b不全为零”的充要条件正确的是_答案解析由0可以推出a0，但是由a0不一定推出0成立，所以正确由AB2AC2BC2可以推出ABC是直角三角形，但是由ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以不正确由a2