2011届高考数学总复习直通车课件-基本初等函数(I)

数学直通车-基本初等函数（I）,知识体系,第一节一次函数、二次函数,基础梳理,1.一次函数的性质与图象(1)函数叫做一次函数.它的定义域为R,值域为R.(2)一次函数具有如下一些主要性质:函数值的改变量与自变量的改变量的比值等于常数k;当k0时,一次函数是;当k0时,抛物线开口向上,函数在处取;在区间上是减函数,在上是增函数;当a0时,与x轴两交点的横坐标分别是方程a的的两根;当=0时,与x轴切于一点;当0)在m,n上的最值问题.(1)hm,n时,=k,=maxf(m),f(n)；(2)hm,n时,当hn时,f(x)在m,n上单调递减,=,=.,递增,f(m),f(m),f(n),f(n),典例分析,题型一一次函数性质的应用,【例1】一次函数y=(m+2)x+2m-1是增函数,且它的图象与y轴的交点在x轴的下方,求实数m的取值范围.,分析当k0时，y=kx+b(k0)为增函数,其图象与y轴的交点为(0,b).,解y=(m+2)x+2m-1是增函数,m+20.又函数y=(m+2)x+2m-1的图象与y轴的交点在x轴下方,2m-10.由、解得-2m0时,函数图象是上升的;k0时,交于x轴上方;b=0时,交于原点;b0时,交于x轴下方.b又叫做直线y=kx+b在y轴上的截距.,举一反三,1.已知函数y=(2m-1)x+1-3m,m为何值时：(1)这个函数为一次函数?(2)函数值y随x的增大而减小?(3)这个函数图象与直线y=x+1的交点在x轴上?,解析:(1)当m时,这个函数为一次函数.(2)根据一次函数的性质,可知当2m-10,即m0)在区间m,n上求最值的方法:先判断是否在区间m,n内.(1)若m,n,则最小值为f()=,最大值为f(m)、f(n)中较大者(m,n)中与距离较远的一个为最大值);,(2)若m,n,当n时,f(x)在m,n上是单调递减函数,则最小值为f(n),最大值为f(m).,举一反三,4.（2010唐山综测)已知函数f(x)=-2ax+3-1(a0,0x1)，求函数f(x)的最大值和最小值.,解析：f(x)=-2ax+3-1=+2-1,由a0知，当a1时，由于f(x)在0,1上是减函数，故f(x)的最大值为f(0)=3-1,最小值为f(1)=3-2a;当0a1时，f(x)的最小值为f(a)=2-1,f(x)的最大值为f(0),f(1)中的较大者.若f(0)f(1)，则3-13-2a,解得a，所以当0a时，f(x)的最大值为f(1)=3-2a;当a1时，f(x)的最大值为f(0)=3-1.,题型五二次方程根的分布问题,【例5】（12分）已知函数f(x)=m+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧,求实数m的取值范围.,分析本题涉及二次方程根的分布问题,很容易联想到根与系数的关系，可根据韦达定理去解决.,解(1)当m=0时,f(x)=-3x+1,直线与x轴的交点为,在原点右侧,符合题意.2(2)当m0时,因为f(0)=1,所以抛物线过点(0,1).3若m0,f(x)的开口向上,如图2所示.图1图2要使交点在原点右侧,当且仅当8解得m1或m9,0m3,即00时，h(a)单调增加，当0a时，即f(0)f(1)-f(0).,方法二:(1)同方法一.(2)f(0)f(1)-f(0)=f(0)g(1)=2,由(1)知0a,.又,于是即，f(0)f(1)-f(0)0);(a0,m,nN*,且n1);(a0,m,nN*,且n1).,3.有理指数幂的运算性质设a0,b0,则(r,sQ);(r,sQ);(rQ).,4.指数函数的定义形如的函数叫做指数函数,a的n次方根,a,y=(a0,且a1),5.指数函数的图象与性质,y1,0y1,0b0,求的值.,分析有理指数幂的运算应注意“化小数为分数”、“化根式为分数指数幂”的原则.,解(1)原式=(2)原式=,(3)由条件知a+b=6,ab=4,又ab0,所以,学后反思(1)当条件给出小数或根式形式时,一般要化小数为分数,化根式为分数指数幂.(2)对于计算结果,如果条件用分数指数幂给出,结果一般也用分数指数幂的形式给出;如果条件用根式形式给出,结果也往往采用根式形式.(3)结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.总之应符合化简结果的要求.,举一反三,1.计算:(1)(2)(3)若=3,求的值.,解析：(1)原式=(2)原式=(3)因为=3,所以则所以所以,题型二指数函数的图象的应用,【例2】已知函数y=,(1)作出函数的图象;(2)指出该函数的单调递增区间;(3)求函数的值域.,分析本题要考虑去绝对值符号,把函数解析式写成分段函数的形式,再作出图象,然后根据图象寻求其单调递增区间和值域.,解(1)由函数解析式可得其图象分成两部分:一部分是y=(x-2)的图象,由下列变换可得到:另一部分y=(x-2)的图象,由下列变换可得到:如图为函数y=的图象.(2)由图象观察知函数在(-,-2上是增函数.(3)由图象观察知,x=-2时,函数y=有最大值,最大值为1,没有最小值,故其值域为(0,1.,学后反思（1）本例也可以不考虑去掉绝对值符号,而是直接用图象变换（平移、伸缩、对称）作出,作法如下:(2),举一反三,2.如图是指数函数：y=;y=;y=;y=的图象，则a、b、c、d与1的关系是()A.ab1cdB.ba1dcC.1abcdD.ab11ab.,答案:B,解(1)x0，函数定义域为xR|x0，x0，0，y=1.故函数的值域为(0,1)(1,+).(2)因为+10恒成立,所以定义域为R.又因为y=,而01,所以-10,解得01与0a1时,令t=,则y=,t,易知y=在上单调递增.当t=a,即=a时,=14,a=3(a=-5舍去).(2)当01时两函数图象有两个交点;当01.,答案:(1,+),11.（2009江西)设函数f(x)=.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若k0,求不等式f(x)+k(1-x)f(x)0的解集.,解析：（1）f(x)=由f(x)=0，得x=1.因为当x1时，f(x)0;所以f(x)的单调增区间是1,+);单调减区间是(-,0),(0,1.,(2)由f(x)+k(1-x)f(x)=得(x-1)(kx-1)1时，解集是.,12.定义域为R的函数f(x)=是奇函数.(1)求a,b的值;(2)若对任意的tR,不等式f(-2t)+f(2-k)0,从而判别式=4+12k1.因为底数21,所以3-2t-k0，即上式对一切tR均成立,从而判别式=4+12k0,且a1,M0,N0,那么(1);(2);(3).,3.换底公式及常见结论(1)换底公式:(2)常见结论(其中a,b,c0且a,b,c1):,1,-1,4.对数函数的定义:一般地,函数叫做对数函数,它的定义域为,值域为.,(0,+),R,5.对数函数的图象与性质,R,（0，1）,y0,y0,a1)与对数函数y=(a0,a1,x0),它们的图象关于直线对称.,互为反函数,y=x,典例分析,题型一对数的运算,【例1】求下列各式的值.(1)(2)已知lgx+lgy=2lg(x-2y),求的值.,分析关于对数运算的题目,往往需要利用对数的运算性质、对数恒等式、换底公式等进行变形和求解.,解(1)原式=(2)由题意可得x0,y0,且x2y.又lgx+lgy=2lg(x-2y),xy=,即-5xy+4=0,解得x=4y(或x=y舍去).=4,=4.,学后反思(1)熟练掌握对数的运算性质、换底公式、对数恒等式是进行化简、求值的关键,应用时务必要创造出适合公式或性质应用的条件.(2)解(2)时要注意隐含在题目中的条件:x2y0,否则将导致的值出错.,举一反三,1.计算,求值.(1);(2)已知其中a0,a1,求的值.,解析:(1)原式=(2)根据对数的运算法则,原等式可化成整理得配方得,xy=3,x=2y,题型二对数概念及运算性质的综合应用,【例2】若a,b,c是均不为零的实数,且.求证:.,分析本题应利用对数与指数式的互化,将问题转化为对数的运算.,证明设=k(k0,且k1),学后反思本题主要考查了两点:(1)应用对数概念进行指数式与对数式的互化;.(2)换底公式的应用:(a0,a1,N0,N1).,举一反三,2.设x,y,zR+,且(1)比较3x,4y,6z的大小;(2)求证:.,解析：(1)令=k,则k1,k1,同理,4y-6z0.3xn;（2）对于m0,n0,若1,则mn.,解方法一:00,0,当a1时,0,综上可知,.方法二01.又1，,4.比较与(m1)的大小.,【例5】(12分)已知函数（1）求的定义域、值域；（2）判断的单调性，并给予证明；（3）解不等式,题型四对数函数性质的综合运用,分析利用函数的性质,结合指数、对数函数知识进行求解.,解（1）为使函数有意义,需满足a-0，即a，又a1，x1.故函数定义域为(-,1).2又由，f(x)1即函数的值域为(,1).4,学后反思(1)含参数的对数问题必须要注意对底数“1”还是“0,得-1x3,则在(-1,1上单调递增,在(1,3)上单调递减在(-1,1上单调递增,在(1,3)上单调递减.,错解分析方法一忽视了函数本身的定义域,导致出错;方法二忽略了求复合函数的单调区间及值域问题时,应从内层函数与外层函数两方面结合来考虑.,正解先求函数的定义域,由,解得函数的定义域是(-1,3).设(-1x0,a1)(1)求f(x)的定义域;(2)当a1时，求使f(x)0的x的取值范围.,解析：（1）若使f(x)有意义，则,解得-11,解得0x1.故x的取值范围为(0,1),12.设a,bR,且a2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)=是奇函数.(1)求b的取值范围;(2)讨论函数f(x)的单调性.,解析：(1)f(x)=(-bxb)是奇函数等价于:对任意x(-b,b)都有式即为,得,即,此式对任意x(-b,b)都成立相当于.因为a2,所以a=-2,代入式,得,即,此式对任意x(-b,b)都成立相当于-bb,所以b的取值范围为(0,).,(2)设任意的,(-b,b),且,由b(0,),得-b1,即|x|1,x1或xg(x);令,得=1,即x=1时,f(x)=g(x);令,得1,|x|1,即-1x1且x0时,f(x)g(x).,学后反思(1)求幂函数解析式的一般步骤:设出幂函数的一般形式y=(为常数);根据已知条件求出的值;写出幂函数的解析式.(2)本题的第(2)问方法一采用了数形结合的思想,借助图象求出不等式和方程的解.方法二用分类讨论的思想,解不等式求x的取值范围,但必须要注意g(x)的定义域为x|x0,故f(x)g(x)的解集为x|-1x1,01,0,因此(3)由于指数函数y=在R上是减函数,所以又由于幂函数y=在(0,+)上是增函数,所以故有,学后反思比较幂值的大小,常用以下几种类型:(1)同底不同指,可以利用指数函数单调性进行比较;(2)同指不同底,可以利用幂函数单调性进行比较;(3)既不同底又不同指,常常找到一个中间值,通过比较两个幂值与中间值的大小来确定两幂值的大小.,举一反三,3.当0ab1时,下列不等式正确的是()A.B.C.D.,解析：由0ab1,可知ab,0a1,01-b1-a1,答案：D,题型四幂函数的综合应用,【例4】(12分)已知对任意的(0,+)且,幂函数f(x)=(pZ)满足,并且对任意的xR,f(x)-f(-x)=0.(1)求p的值,并写出相应的函数f(x)的解析式;(2)对于(1)中求得的函数f(x),设函数g(x)=-qf(x)+(2q-1)+1,问是否存在实数q(q0,解得-1p3-2a0或3-2aa+10或a+103-2a,解得a-1或.,10.给定一组函数解析式:y=;y=;y=;y=y=;y=;y=,如图所示为一组函数图象,请把图象对应的解析式的号码填在相应图象下面的横线上,考点演练,解析：所给函数都是幂函数,都符合y=.A、C、E三个图象在第一象限是减函数,则1,故为y=x32,填.,答案：,11.(2010开封调研）已知函数f(x)=，且f(4)=-.(1)求m的值;(2)判断f(x)在(0,+)上的单调性，并给予证明.,解析：（1）f(4)=-,m=1.(2)f(x)=-x在(0,+)上单调递减，证明如下：任取,则.,.,即f(x)=-x在(0,+)上单调递减.,12.若f(x)=(nZ)的图象在0,+)上单调递增,解不等式.,解析:由已知得0,解得-1x+3,解得x3或x3或-3x3或x3或-3x-1.,第五节函数与方程,基础热身,1.函数零点的定义:对于函数y=f(x)(xD),我们把使j叫做函数y=f(x)(xD)的零点.即:函数y=f(x)的零点就是,亦即,f(x)=0成立的,实数x,方程f(x)=0的实数根,函数y=f(x)的,图象与x轴交点的横坐标,2.方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象有交点函数y=f(x).,与x轴,有零点,3.函数零点的求法:代数法:求方程f(x)=0的实数根;几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.,4.函数零点的判断一般地,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c(a,b),使得,这个c也就是f(x)=0的根.我们把这一结论称为零点存在性定理.,f(a)f(b)0)的图象与零点的关系,a0时依此类推.,无交点,两个零点,一个零点,无零点,6.二分法的定义:对于在区间a,b上连续不断且f(a)f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间,使区间的两个端点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.,一分为二,逐步逼近零点,7.给定精确度,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:(1)确定区间a,b,验证f(a)f(b)0,给定精确度;(2)求区间(a,b)的中点c;(3)计算f(c),若f(c)0,则c就是函数的零点;若f(a)f(c)0,则令b=c(此时零点(a,c);若f(c)f(b)0,则令a=c(此时零点(c,b);(4)判断是否达到精确度,即若|a-b|,则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)(4).,=,典例分析,题型一求函数的零点,【例1】求下列函数的零点.(1)f(x)=4x-3;(2)f(x)=-+2x+3;(3)f(x)=-3x+2;(4)f(x)=x-+2.,分析根据函数零点与方程根之间的关系,求函数的零点,就是求相应方程的实数根.,解(1)由4x-3=0,得x=,即f(x)=4x-3的零点是.(2)由-+2x+3=0,得-2x-3=0,解得=-1,=3,即f(x)=-+2x+3的零点为-1,3.(3)由-3x+2=+2-2-4x+x+2=(x+2)-2x(x+2)+(x+2)=(x+2)=0,得=1,=-2.所以f(x)=-3x+2有两个零点1,-2,其中1是二重零点.(4)由x-+2=0,=1,=-3,即函数f(x)=x-+2的两个零点分别为1,-3.,学后反思求函数的零点就是求相应方程的根,一般可用因式分解或求根公式等方法求出方程的根,即得到函数的零点.,1.求下列函数的零点.(1)f(x)=-1;(2)f(x)=,解析：(1)由-1=0,得x=1,所以f(x)=-1的零点是1.(2)由,得=-1,所以f(x)=的零点是-1,这是一个二重零点.,题型二用二分法求方程的近似解,【例2】求函数f(x)=+2-3x-6的一个为正数的零点(误差不超过0.1).,分析由于要求的是函数的一个正数零点,因此可以考虑确定一个包含正数的闭区间m,n,且f(m)f(n)0,所以可取区间1,2作为计算的初始区间(当然选取(0,2)也是可以的).,解f(1)=-60,存在x(1,2),使f(x)=0.用二分法逐次计算,列表如下:,|1.734375-1.71875|0.1，所求的正数零点是1.734375或1.71875.,学后反思用二分法求函数零点的近似值,首先要选好计算的初始区间,这个区间既要包含所求的根,又要使其长度尽量小;其次要依据给定的精确度,及时检验所得区间端点的近似值(精确到给定的精确度)是否相等,以决定是停止计算还是继续计算.,举一反三,2.判断函数y=-x-1在区间1,1.5内有无零点,如果有,求出一个近似零点(精确到0.1).,解析：因为f(1)=-10,且函数y=-x-1的图象是连续的曲线,所以它在区间1,1.5内有零点.取区间1,1.5的中点=1.25,由f(1.25)-0.30,得f(1.25)f(1.5)0,得f(1.25)f(1.375)0,所以零点在区间1.25,1.375内;同理可得，函数零点在区间1.3125,1.375内;函数零点在区间1.3125,1.34375内.由于|1.3125-1.34375|0.1，所以函数y=-x-1在区间1,1.5内的一个近似零点为1.3125或1.34375.,题型三根的存在性定理的应用,【例3】若方程a-x-1=0在(0,1)内恰有一解,求a的取值范围.,分析方程在(0,1)内恰有一解,即函数f(x)=a-x-1在(0,1)内恰有一个零点.,解由题意,设f(x)=a-x-1,则f(x)在(0,1)内恰有一个零点,所以f(0)f(1)2.,学后反思(1)对于函数y=f(x),只要有f(a)f(b)0,则y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)本题属于简单的方程根的分布问题.,举一反三,3.若关于x的方程3-5x+a=0的两根一个大于1,另一个小于1,则a的取值范围是.,解析：设f(x)=3-5x+a,则f(1)0,即-2+a0,a0,对任意bR恒成立,8所以-4(4a)0,10即-a0,所以00).此方程有大于零的根,故等价于,故m2e.(2)若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.作出g(x)=x+(x0)的图象如图.,f(x)=-+2ex+m-1=-+m-1+,其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+,故当m-1+2e,即m-+2e+1时,g(x)与f(x)有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.m的取值范围是(-+2e+1,+).,易错警示,【例】判断函数y=-2+x零点的个数.,错解分析函数的最高次数为n，函数的零点并不一定有n个.有的零点可能是二重零点，三重零点等等.,正解y=x，这里有两个相等的零点1，而它们算一个零点，函数y=-2+x有两个零点.,错解从直观的角度判断函数最高次项为三次，所以有三个零点.,考点演练,10.已知是方程x+lgx=3的根,是方程的根,则.,答案:3,解析:整理两个方程为lgx=3-x,=3-x,则为函数y=lgx与直线y=3-x的交点的横坐标,为函数y=与直线y=3-x的交点的横坐标.而y=lgx与y=的图象关于直线y=x对称,所以两交点也关于直线y=x对称.如图设A(a,b),则B(b,a),由这两点都在直线y=3-x上,b=3-a,a=3-b,a+b=3,即.,11.已知二次函数(1)若且,求函数的点；(2)若且，证明方程必有一实数根在区间内.,解析（1）则得a=-1，b=2，又f(0)=c=1，令f(0)=0，解得，函数f(x)的零点是或,12.(2008上海)已知函数f(x)=.(1)若f(x)=2,求x的值;(2)若f(2t)+mf(t)0对于t1,2恒成立,求实数m的取值范围.,解析：由已知得f(x)=(1)若f(x)=2,则,即=0,解得,又0,x=,(2)由题意得0对t1,2恒成立,即-10,m-(1+).t1,2,1+5,17,-(1+)-17,-5,即m-5.m的取值范围是-5,+).,第六节函数模型及其应用,基础梳理,1.常见的几种函数模型(1)一次函数型(2)反比例函数型(3)二次函数型(4)指数函数型(x0)(增长率问题);(5)对数函数型(m0,m1,N0);(6)幂函数型(n0);(7)分段函数型.,y=kx+b(k0),y=a+bx+c(a0),2.对于指数函数y=(a1),幂函数(n0),对数函数y=(a1),总会存在一个,当时,有,3.解答函数应用题的步骤：,典例分析,题型一一次函数与分段函数模型,【例1】电信局为了配合客户不同需要,设有A、B两种优惠方案,这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(注:图中MNCD).试问:(1)若通话时间为2小时,按方案A、B各付话费多少元?(2)方案B从500分钟以后,每分钟收费多少元?(3)通话时间在什么范围内,方案B才会比方案A优惠?,分析由图可知,两种方案都因时间段的不同导致收费不同,因此,需分段列式.,解由图可知,两种方案都是由线性函数组成的分段函数,不妨用待定系数法,结合图形,先求出函数解析式,再根据题意解题.由图知M(60,98),N(500,230),C(500,168),MNCD.设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为,则(1)通话2小时两种方案的话费分别为116元、168元.(2)当x500时,(元)，方案B从500分钟以后,每分钟收费0.3元.(3)由图知,当0x60时,500时,显然分钟,即通话时间为分钟以上时,方案B才会比方案A优惠.,学后反思（1）现实生活中很多问题都是用分段函数表示的,如出租车费用、个人所得税、话费等,分段函数是刻画现实问题的重要模型.（2）分段函数是同一个函数，它在不同阶段的变化规律不同，要注意各段变量的范围,特别是端点值,尤要注意.,举一反三,1.（创新题）一家报亭从报社买进晚报的价格是每份0.12元，卖出的价格是每份0.20元，卖不掉的报纸还可以以每份0.04元的价格退回报社，在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但要求每天从报社买进的份数必须相同,该报亭应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算一个月最多可赚多少元？,解析：设报亭每天从报社买进x份(250x400)，则每月可销售（20 x+10250）份，退回报社有10(x-250)份.又知卖出的报纸每份可获得利润0.08元，退回的报纸每份亏损0.08元.依题意，每月获得的利润为f(x)=0.08(20 x+10250)-0.0810(x-250)=0.8x+400.f(x)在区间250,400上是增函数,当x=400时，f(x)取得最大值，最大值为720.所以每天报亭应买进400份，每月所获得的最大利润为720元.,解（1）故x的取值范围为(2)当140a280时，当a为偶数时，