2012届通州区高三重点热点专项检测

2012届通州区高三重点热点专项检测数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在相应位置上1已知集合，若，则锐角 2若 , ，且为 纯 虚 数，则 实 数 的 值为 3某校高三年级学生年龄分布在17岁、18岁、19岁的人数分别为500、400、200，现通过分层抽样从上述学生中抽取一个样本容量为的样本，已知每位学生被抽到的概率都为，则 开始输入结束输出4命题p：函数在上单调递增，命题q：中，是的充要条件，则是 命题（填“真”“假”）5平面向量与的夹角为， 则 6执行如图的程序框图，若输出，则整数的 最小值是 7设，若，则实数 的取值范围是 8将函数的图像向左平移至少 个单位，可得一个偶函数的图像 9设函数，若成等差数列（公差不为零），则 10设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列四个命题： 若ab，a，b，则b； 若a，a，则；若a，则a或a； 若ab，a，b，则其中正确命题的序号有 11在中，是的平分线，且，则实数的取值范围 是 12设函数最大值为，则的最小值为 13已知，：与：交于不同两点，且，则实数的值为 14已知等比数列满足，且对任意正整数，仍是该数列中的某一项，则公比的取值集合为 二、解答题：本大题共六小题，共计90分请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分） 已知向量与互相垂直，其中 （1）求和的值； （2）若，求的值16（本小题满分14分）PABCDEG已知矩形所在平面，为线段上一点，为线段 的中点 （1）当E为PD的中点时，求证：； （2）当时，求证：BG/平面AEC17（本小题满分14分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元1000万元的投资收 益现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%现有两个奖励方案的函数模型：（1）；（2）试问这两个函数模型是否符合该公司要求，并说明理由18（本小题满分16分）已知椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长 （1）求椭圆的方程； （2）设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆 于另一点，证明直线与轴相交于定点；（3）在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值范围19（本小题满分16分） 函数，其中为常数 （1）证明：对任意，函数图像恒过定点； （2）当时，不等式在上有解，求实数的取值范围； （3）若对任意时，函数在定义域上恒单调递增，求的最小值20（本小题满分16分） 数列中，且 （1）求及的通项公式； （2）设是中的任意一项，是否存在，使成等比 数列？如存在，试分别写出和关于的一个表达式，并给出证明； （3）证明：对一切，2012届高三重点热点专项检测数学附加题21本题包括高考A，B，C，D四个选题中的B，C 两个小题，每小题10分，共20分把答案写在答题卡相应的位置上解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤B选修41：矩阵与变换已知二阶矩阵A有特征值及对应的一个特征向量和特征值及对应的一个特征向量，试求矩阵AC选修44：极坐标与参数方程将参数方程为参数化为普通方程22【必做题】本题满分10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤由数字1，2，3，4组成五位数，从中任取一个（1）求取出的数满足条件：“对任意的正整数，至少存在另一个正整数，且，使得”的概率；（2）记为组成该数的相同数字的个数的最大值，求的概率分布列和数学期望23【必做题】本题满分10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤求证：对于任意的正整数，必可表示成的形式，其中.2012届高三重点热点专项检测数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1 2 3220 4真 5 68 7或8 92 10 11 12 13 14二、解答题：本大题共6小题，共90分15解：（1），又，且， 6分（2），又， 10分 14分16（1）过点E作于Q，连结，则，所以，又，则易得平面ABCD，又，又，平面ECQ，. 7分（2）取PE的中点F，连接GF，BF，G为PC的中点，GF/CE，又平面ACE，平面ACE，GF/平面ACE，连接BD交AC与点O，连接OEE为DF的中点，BF/OE，又平面ACE，平面ACEBF/平面ACE，平面BGF/平面AEC.又，BG/平面AEC 14分17解：设奖励函数模型为yf(x)，由题意可知该公司对函数模型应满足下列条件：当x10，1000时，f(x)是增函数；f(x)9恒成立；恒成立 对于函数模型：当x10，1000时，f(x)是增函数，则所以f(x)9恒成立 3分 因为函数在10，1000上是减函数，所以从而不恒成立故该函数模型不符合公司要求 7分 对于函数模型f(x)4lgx3：当x10，1000时，f(x)是增函数，则 所以f(x)9恒成立 9分 设g(x)4lgx3，则.当x10时，所以g(x)在10，1000上是减函数，从而g(x)g(10)10，所以4lgx30，即4lgx3，所以恒成立故该函数模型符合公司要求 14分18解：（1）由题意知， 解得，故椭圆的方程为 4分（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为由 得 设点，则直线的方程为令，得将，代入，整理，得 由得 ，代入整理，得所以直线与轴相交于定点 10分（3）当过点直线的斜率存在时，设直线的方程为，由 得 ， 则因为，所以所以当过点直线的斜率不存在时，其方程为解得，此时所以的取值范围是 16分19解：（1）令，得，且，函数图像恒过定点 2分（2）当时， ，即，令，得x(0，1) 1（1，）0f(x) 极小值，在）上有解，即，实数b的取值范围为9分（3），即，令，由题意可知，对任意，在恒成立，即在恒成立，令，得（舍）或列表如下：x(0，)（，）0h(x)极小值，解得m的最小值为 16分20解：（1），故 1分时， ，为常数列 4分，所以又也满足上式，的通项公式为 6分（2）当，时满足成等比数列证明如下：，显然成等比数列 10分（3）证明：时， 12分当时， 15分又时，对一切， 16分附加题参考答案21B解：设矩阵，其中，因为是矩阵A的属于的特征向量，则有 ， 又因为是矩阵A的属于的特征向量，则有 ， 6分由得 8分解得因此， 10分21C解：，将式平方得，将（2）式代入（3）式得， 8分所以所求的普通方程为. 10分22解：（1）由数字1,2,3,4组成的五位数共有个数，满足条件的数分为两类：只有一个数组成共有4个；由两个数字组成，共有个，所求的概率为.