内蒙古呼伦贝尔高三数学总复习《综合法、分析法与反证法》课件

第二十三讲综合法、分析法与反证法,走进高考第一关考点关,回归教材,1.常用的直接证明方法有综合法与分析法.2.综合法是从原因推导到结果的思维方法,而分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法,具体地说,综合法是从已知条件出发,经过逐步的推理,最后达到待证结论,分析法是从待证结论出发,一步一步寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.3.反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等.,考点训练,1.(2009湖南卷)如图,D,E,F分别是ABC的边AB,BC,CA的中点,则(),答案:A,2.(2009陕西卷)设曲线y=xn+1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,则x1x255xn等于(),答案:B,3.(2009福建卷)设m,n是平面内的两条不同直线;l1,l2是平面内的两条相交直线,则的一个充分而不必要条件是()A.m且l1B.ml1且nl2C.m且nD.m且nl2,答案:B,解析:根据面面平行的判定定理及充要条件的定义,可判断B为的充分不必要条件.,4.(2009安徽一模)设a,b,c(-,0),则()A.都不大于-2B.都不小于-2C.至少有一个不大于-2D.至少有一个不小于-2,答案:C,解析:-6,三者不能都大于-2.,5.(2009广东三模)已知m,n是两条不同直线,、是三个不同平面,下列命题中正确的是()A.若m,n,则mnB.若,则C.若m,m,则D.若m,n,则mn,答案:D,解析:由定理“垂直同一平面的两条直线平行”知,应选D.,解读高考第二关热点关,题型一综合法,点评:综合法是一种由因导果的证明方法,它的思维特点是:从已知入手,应用公理、定理、性质等进行严格推理,得到待证的结果,用综合法证明不等式常用的重要不等式有:.,变式1:已知a,b,c0,求证:2(a3+b3+c3)a2b+ab2+b2c+bc2+a2c+ac2.,分析:不等式的a,b,c为对称的,且两边为和与积的关系,故先从均值定理入手,再根据不等式性质推导出要证明的结论.,证明:因为a2+b22ab,所以(a2+b2)(a+b)2ab(a+b),所以a3+b3+a2b+ab22ab(a+b)=2a2b+2ab2所以a3+b3a2b+ab2,同理:b3+c3b2c+bc2,a3+c3a2c+ac2,将三式相加得:2(a3+b3+c3)a2b+ab2+bc2+b2c+a2c+ac2.,题型二分析法,证明:本题含有绝对值号,可用分析法证明.ab,ab=0.要证,只需证:|a|+|b|a-b|,平方得:|a|2+|b|2+2|a|b|2(|a|2+|b|2-2ab),即(|a|-|b|)20,显然成立.故原不等式得证.,点评:本题从要证明的结论出发,探求使结论成立的充分条件,最后找到恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或是要证命题的已知条件时,命题得证.这正是分析法证明问题的一般思路.一般地,含有根号、绝对值的等式或不等式,若从正面不易推导时,可以考虑用分析法.,分析:所给条件简单,所证结论复杂,一般采用分析法.,题型三反证法,分析:本题结论以“至少”形式出现,从正面思考有多种形式,不易入手,故可用反证法加以证明.,点评:(1)当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时,宜用反证法来证.反证法关键是在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是与已知条件矛盾,与假设矛盾,与定义、公理、定理矛盾,与事实矛盾等方面.反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具,是数学证明中的一件有力武器.(2)利用反证法证明问题时,要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明定理;否则,将出现循环论证的错误.,变式3:a,b,c为实数,且a=b+c+1,证明:两个一元二次方程x2+x+b=0,x2+ax+c=0中至少有一个方程有两个不相等的实数根.,分析:本题若直接分析要分两种情况讨论,要证明两次,过程比较繁锁,可以从结论的对立面分析,即两个方程都没有两个不等的实数根,用反证法进行证明.,证明:假设两个方程都没有两个不等的实数根,则1=1-4b0,2=a2-4c0,1+2=1-4b+a2-4c0.a=b+c+1,b+c=a-1.1-4(a-1)+a20,即a2-4a+50.但是a2-4a+5=(a-2)2+10,故矛盾.所以假设不成立,原命题正确,即两个方程中至少有一个方程有两个不相等的实数根.,笑对高考第三关技巧关,1.综合法、反证法在几何中的应用解有关立体几何问题的通法是:结合立体几何图形,通过必要的辅助线,把立体几何问题通过点、线、面的位置关系转化为平面几何问题来解决.,例1(2009辽宁高考题)如图,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.(1)若CD=2,平面ABCD平面DCEF,求MN的长;(2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.,分析:本题主要考查了立体几何中点、线、面的位置关系及其长度问题,同时考查了反证法在立体几何中的应用等.,解:(1)取CD的中点G,连接MG,NG.因为ABCD,DCEF为正方形,且边长为2,所以MGCD,MG=2,NG=.因为平面ABCD平面DCEF,所以MG平面DCEF.可得MGNG.,(2)证明:假设直线ME与BN共面,则AB平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知,两正方形ABCD和DCEF不共面,故AB平面DCEF.又ABCD,所以AB平面DCEF,而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,所以ABEN,又ABCDEF,所以ENEF,这与ENEF=E矛盾,故假设不成立.所以ME与BN不共面,它们是异面直线.,2.证明数列问题,分析:本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式以及一些基本运算能力,考查证明不等式的基本方法.,考向精测,(2009江苏高考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是A1B,A1C的中点,点D在B1C1上,A1DB1C.求证:(1)EF平面ABC;(2)平面A1FD平面BB1C1C.,分析:本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系,考查空间想象能力、推理论证能力.(与题图一样),证明:(1)由E,F分别是A1B,A1C的中点知EFBC,因为EF平面ABC,BC平面ABC,所以EF平面ABC.(2)由三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱知CC1平面A1B1C1,又A1D平面A1B1C1,故CC1A1D.,又因为A1DB1C,CC1B1C=C,CC1,B1C平面BB1C1C,故A1D平面BB1C1C.又A1D平面A1FD,所以平面A1FD平面BB1C1C.,课时作业(二十三)综合法、分析法与反证法,一、选择题,1.用反证法证明:若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0有有理根,那么a,b,c中至少有一个偶数时,下列假设正确的是()A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数C.假设a,b,c至少有一个偶数D.假设a,b,c至多有两个偶数,答案:B,2.若a,b,c0,且ab+bc+ca=1,则下列不等式中正确的是()A.a2+b2+c22B.(a+b+c)23C.1a+1b+1c2D.a+b+c,答案:B,解析:a2+b22ab,b2+c22bc,c2+a22ca,2(a2+b2+c2)2(ab+bc+ca),a2+b2+c2ab+bc+ca,(a+b+c)23(ab+bc+ca),(a+b+c)23.B正确,其它均错.,3.下列四个命题中,正确的是()A.a,bR,则|a|-|b|a+b|B.a,bR,则|a-b|a|+|b|C.若实数a,b满足|a-b|=|a|+|b|,则ab0D.若实数a,b满足|a|-|b|0,y0,且,则xy的最小值为()A.4B.8C.16D.24,答案:C,二、填空题,答案:AB,7.应用反证法推出矛盾的推导过程中,要把下列哪些作为条件使用_.假设;原命题的条件;公理、定理、定义等;原结论.,答案:,答案:xy,答案:,解析:利用不等式的性质可证得是真命题.,三、解答题,11.已知a,b,c(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同时大于.,12.已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR),当实数p,q满足p+q=1时,试证明:pf(x)+qf(y)f(px+qy)对任意x,y都成立的充要条件是0p1.,证明:pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-