二阶常系数齐次线性微分方程

.,第五节二阶常系数齐次线性微分方程,这是一类有专门的求解方法微分方程,定义形如ypyqyf(x)的方程称为二阶常系数线性微分方程其中p,q是常数,f(x)称为自由项.,特别地,当f(x)=0时,ypyqy0称为二阶常系数线性齐次微分方程否则称为线性非齐次微分方程.,.,证毕,是方程,的两个解,也是该方程,证:,代入方程左边,得,定理.(叠加原理),的解.,.,定理表明,二阶线性齐次微分方程任何两个解y1(x),y2(x)的线性组合,那么,是不是方程的通解呢？,仍是方程的解.,.,例.对于二阶常系数线性齐次微分方程,容易验证:,也是它的解.但这个解中只含有一个任意常数C,显然它不是所给方程的通解.,由定理知,都是它的解.,.,问题:方程的两个特解y1(x),y2(x)满足什么条件时,的通解？,由例7-12的分析可知,如果方程的两个特解y1(x),y2(x)之间不是常数倍的关系,那么它们线性组合得到的解,就必定是方程的通解.,才是方程,.,定义设y1(x)与y2(x)是定义在某区间内的两个函数,如果存在不为零的常数k(或存在不全为零的常数k1,k2),使得对于该区间内的一切x,有,成立,则称函数y1(x)与y2(x)在该区间内线性相关,否则称y1(x)与y2(x)线性无关.,思考:,中有一个恒为0,则,必线性,相关,.,定理.(二阶齐次线性方程通解的结构),是二阶线性齐次方程的两个,线性无关的特解,则,数)是该方程的通解.,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,.,将yerx代入方程ypyqy0得(r2prq)erx0,分析考虑到当y,y,y为同类函数时有可能使ypyqy恒等于零而函数erx具有这种性质所以猜想erx是方程的解,二阶齐次线性方程通解的求法,由此可见只要r满足代数方程r2prq0函数yerx就是微分方程的解,r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程.,特征方程的求根公式为,.,(1)当,时,方程有两个相异实根,则微分方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,设r1,r2是特征方程的两个根.,(2)当,时,特征方程有两相等实根,则微分方程有一个特解,.,设另一特解为,(u(x)待定).,是特征方程的重根,取u=x,得,因此原方程的通解为,得:,代入原微分方程,.,(3)当,时,方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理,得原方程线性无关特解:,因此原方程的通解为,.,实根,特征根,通解,(1)写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0(2)求出特征方程的两个根r1,r2,求y+py+qy=0的通解的步骤:,(3)根据特征方程根的不同情况,写出微分方程的通解.,.,因此微分方程的通解为yC1exC2e3x,例1求微分方程y2y3y0的通解,解:,微分方程的特征方程为,r22r30,特征方程有两个不等的实根r11r23,即(r1)(r3)0,.,例2求解初值问题,解:特征方程,特征根为,因此原方程的通解为,由初始条件得,于是所求初值问题的解为,.,例3求微分方