二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题

一、f(x)Pm(x)ex型,二、f(x)=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型,12.9二阶常系数非齐次线性微分方程,上页,下页,铃,结束,返回,首页,方程ypyqyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程其中p、q是常数二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和yY(x)y*(x),提示,=Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)ex,Q(x)+2Q(x)+2Q(x)ex+pQ(x)+Q(x)ex+qQ(x)ex,一、f(x)Pm(x)ex型,y*Q(x)ex,设方程ypyqyPm(x)ex特解形式为,下页,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)(),则得,Q(x)exQ(x)exqQ(x)ex,y*py*qy*,提示,此时2pq0要使()式成立Q(x)应设为m次多项式Qm(x)b0 xmb1xm1bm1xbm,(1)如果不是特征方程r2prq0的根则,y*Qm(x)ex,下页,一、f(x)Pm(x)ex型,y*Q(x)ex,设方程ypyqyPm(x)ex特解形式为,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)(),则得,提示,此时2pq0但2p0要使()式成立Q(x)应设为m1次多项式Q(x)xQm(x)其中Qm(x)b0 xmb1xm1bm1xbm,(2)如果是特征方程r2prq0的单根,则,y*xQm(x)ex,下页,(1)如果不是特征方程r2prq0的根则,y*Qm(x)ex,一、f(x)Pm(x)ex型,y*Q(x)ex,设方程ypyqyPm(x)ex特解形式为,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)(),则得,提示:,此时2pq02p0要使()式成立Q(x)应设为m2次多项式Q(x)x2Qm(x)其中Qm(x)b0 xmb1xm1bm1xbm,(3)如果是特征方程r2prq0的重根,则,y*x2Qm(x)ex,下页,(2)如果是特征方程r2prq0的单根,则,y*xQm(x)ex,(1)如果不是特征方程r2prq0的根则,y*Qm(x)ex,一、f(x)Pm(x)ex型,y*Q(x)ex,设方程ypyqyPm(x)ex特解形式为,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)(),则得,结论,二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyPm(x)ex有形如y*xkQm(x)ex的特解其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2,下页,提示,因为f(x)Pm(x)ex3x10不是特征方程的根所以非齐次方程的特解应设为y*b0 xb1把它代入所给方程得,例1求微分方程y2y3y3x1的一个特解,解,齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30,b0 xb12b0 xb13b0 xb1,3b0 x2b03b1,2b03b0 x3b1,3b0 x2b03b13x1,提示,3b032b03b11,特解形式,例2求微分方程y5y6yxe2x的通解,解,齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r60,其根为r12r23,提示,齐次方程y5y6y0的通解为YC1e2xC2e3x,因为f(x)Pm(x)exxe2x2是特征方程的单根所以非齐次方程的特解应设为y*x(b0 xb1)e2x把它代入所给方程得,2b0 x2b0b1x,提示,2b012b0b10,特解形式,首页,例2求微分方程y5y6yxe2x的通解,解,齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r60,其根为r12r23,2b0 x2b0b1x,因此所给方程的通解为,因为f(x)Pm(x)exxe2x2是特征方程的单根所以非齐次方程的特解应设为y*x(b0 xb1)e2x把它代入所给方程得,特解形式,二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyexPl(x)cosxPn(x)sinx有形如y*xkexR(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx的特解其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式mmaxln而k按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1,二、f(x)=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx型,下页,结论,解,结束,特解形式,例3求微分方程yyxcos2x的一个特解,因为f(x)exPl(x)cosxPn(x)sinxxcos2xi2i不是特征方程的根所以