2020版高中数学人教A版必修4 导学案 《简单的三角恒等变换》（含答案解析）.doc

3.2 简单的三角恒等变换学习目标1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.知识点一半角公式思考1我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2替换，结果怎样？答案为：结果是cos =2cos2- 1=1- 2sin2=cos2- sin2.思考2根据上述结果，试用sin ，cos 表示sin ，cos ，tan .答案为：cos2=，cos = ，同理sin = ，tan = .思考3利用tan =和倍角公式又能得到tan 与sin ，cos 怎样的关系？答案为： tan=，tan =.梳理知识点二辅助角公式思考1asin xbcos x化简的步骤有哪些？答案为：(1)提常数，提出得到.(2)定角度，确定一个角满足：cos =，sin =(或sin =，cos =).一般为特殊角，则得到(cos sin xsin cos x)(或(sin sin xcos cos x).(3)化简、逆用公式得asin xbcos x=sin(x)(或asin xbcos x=cos(x- ).思考2在上述化简过程中，如何确定所在的象限？答案为：所在的象限由a和b的符号确定.梳理辅助角公式：asin xbcos x=sin(x).(其中tan =)类型一应用半角公式求值例1.已知sin =，3，求cos和tan .反思与感悟(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论.(2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤：先化简所求的式子；观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手).跟踪训练1.已知sin =- ，且，求sin ，cos 和tan .类型二三角恒等式的证明例2.求证：=.反思与感悟证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.跟踪训练2证明：=tan .类型三利用辅助角公式研究函数性质例3.已知函数f(x)=sin2sin2 (xR).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.反思与感悟(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.跟踪训练3已知函数f(x)=coscos，g(x)=sin 2x- .(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)=f(x)- g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值时x的集合.类型四三角函数在实际问题中的应用例4.如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ、CR正好落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.反思与感悟此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，有利于表示所需线段，其次要确定角的范围.跟踪训练4.某工人要从一块圆心角为45的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的最大面积(如图).1.若cos =，(0，)，则cos 的值为()A. B.- C. D.2.已知tan=3，则cos 等于()A. B.- C. D.- 3.函数f(x)=sin2xsin xcos x在区间上的最大值是()A.1 B.2 C. D.34.函数f(x)=sin x- cos x，x的最小值为 .5.化简：.(180360)1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.2.辅助角公式asin xbcos x=sin(x)，其中满足： 与点(a，b)同象限；tan =(或sin =，cos =).3.研究形如f(x)=asin xbcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a，b应熟练掌握，例如sin xcos x=sin；sin xcos x=2sin等.课时作业一、选择题1.若cos =- ，是第三象限角，则等于()A.- B. C.2 D.- 22.若tan =2tan ，则等于()A.1 B.2 C.3 D.43.已知1800，aR)，且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是，则的值为()A. B.- C.- D.6.设a=cos 6- sin 6，b=2sin 13cos 13，c= ，则有()A.cba B.abc C.acb D.bca7.已知sin =，cos =()，则tan等于()A.- B.5 C.- 5或 D.- 或5二、填空题8.设56，cos=a，则sin 的值为 .9.sin220sin 80sin 40的值为 .10.函数f(x)=sin(2x- )- 2sin2x的最小正周期是 .三、解答题11.已知sinsin =- ，- 0，求cos 的值.12.求证：tan - tan =.13.已知cos 2=，(1)求tan 的值； (2)求的值.四、探究与拓展14.已知AB=，那么cos2Acos2B的最大值是 ，最小值是 .15.已知函数f(x)=sinsin x- cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性.答案解析例1.解：sin =，且3，cos =- =- .由cos =2cos2- 1，得cos2=.，cos =- =- .tan =2.跟踪训练1.解：sin =- ，cos =- .又，sin = = =，cos =- =- =- ，tan =- 4.例2.证明：要证原式，可以证明=.左边=tan 2，右边=tan 2，左边=右边，原式得证.跟踪训练2证明；左边=tan =右边，原等式成立.例3.解：(1)f(x)=sin(2x- )2sin2=sin21- cos=21=2sin1=2sin1，f(x)的最小正周期为T=.(2)当f(x)取得最大值时，sin=1，有2x- =2k，即x=k (kZ)，所求x的集合为x|x=k，kZ.跟踪训练3解：(1)f(x)=cos2x- sin2x=- =cos 2x- ，f(x)的最小正周期为T=.(2)h(x)=f(x)- g(x)=cos 2x- sin 2x=cos，当2x=2k(kZ)时，h(x)有最大值.此时x的取值集合为.例4.解：如图连接AP，设PAB=(090)，延长RP交AB于M，则AM=90cos ，MP=90sin .所以PQ=MB=100- 90cos ，PR=MR- MP=100- 90sin .所以S矩形PQCR=PQPR=(100- 90cos )(100- 90sin )=10 000- 9 000(sin cos )8 100sin cos .令t=sin cos (1t)，则sin cos =.所以S矩形PQCR=10 000- 9 000t8 100=(t- )2950.故当t=时，S矩形PQCR有最小值950 m2；当t=时，S矩形PQCR有最大值(14 050- 9 000) m2.跟踪训练4.解：连接OC，设COB=，则00，cos =.2.答案为：B；解析：cos =- .3.答案为：C；解析：f(x)=sin 2x=sin，x，2x- ，sin，f(x)max=1=，故选C.4.答案为：- 1；解析：f(x)=sin，x.- x- ，f(x)min=sin=- 1.5.解：原式=.因为180360，所以90180，所以cos 0，所以原式=cos .课时作业1.答案为：A解析：是第三象限角，cos =- ，sin =- ，=- .2.答案为：C；解析：=3.3.答案为：C4.答案为：B；解析：用降幂公式进行求解.5.答案为：A；解析：f(x)=cos 2xsin 2xa=sina，依题意得 2=.6.答案为：C；解析：a=sin 30cos 6- cos 30sin 6=sin(30- 6)=sin 24，b=2sin 13cos 13=sin 26，c=sin 25，y=sin x在0，上是单调递增的，acb.7.答案为：B；解析：由sin2cos2=1，得()2()2=1，解得m=0或8，当m=0时，sin 0，不符合.m=0舍去，故m=8，sin =，cos =- ，tan =5.8.答案为：- ；解析：sin2=，(5，6)，sin =- =- .9.答案为：；解析：原式=sin220sin(6020)sin(60- 20)=sin220(sin 60cos 20cos 60sin 20)(sin 60cos 20- cos 60sin 20)=sin220sin260cos220- cos260sin220=sin220cos220- sin220=sin220cos220=.10.答案为：；解析：f(x)=sin 2x- cos 2x- (1- cos 2x)=sin 2xcos 2x- =sin(2x)- ，T=.11.解：sinsin =sin cos cos sin sin =sin cos =- .sin cos =- ，sin=- .- 0，- ，cos=.cos =cos=coscos sinsin =.12.证明：左边=tan - tan =- =右边.原等式得证.13.解：(1)因为cos 2=，所以=，所以=，解得tan =，因为，所以tan =- .(2)因为，tan =- ，所以sin =，cos =- ，所以=- 4.14.答案为：，；解析：AB=，cos2Acos2B=(1cos 2A1cos 2B)=1(cos 2Acos 2B)=1cos(AB)cos(A- B)=1coscos(A- B)=1- cos(A- B)