典型方程和定解条件的推导1.ppt

第一章一些典型方程和定解条件的推导,1.1基本方程（泛定方程）的建立,物理模型（现象、过程）,数学形式表述（偏微分方程并求解）,目的：掌握基本分析方法，培养归纳、综合、抽象、猜测、试探、演绎的科学素质。,步骤：（1）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系；（2）在系统内部，任取一微元，利用物理规律，分析其与相邻部分间的作用；（3）忽略次要因素，抓住主要矛盾；（4）化简整理，得到偏微分方程。,数学物理方程与特殊函数,不含初始条件不含边界条件,物理状态描述:设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，除受到重力外，不受其它外力影响，在铅直平面内作横向、微小振动。,平衡位置,任意截取一小段，并抽象性夸大。,弦的振动：虽然经典，但极具启发性。,数学物理方程与特殊函数,一.均匀弦的横振动方程的建立,X,1、建立坐标系选定微元,u,o,ds,M,N,M,N,x,x+dx,2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）,T,T,3、忽略与近似,4、整理化简,T、T微元两端所受张力细弦的线密度（单位长度内的质量g重力加速度,数学物理方程与特殊函数,X,1、建立坐标系选定微元,u,o,ds,M,N,M,N,x,x+dx,2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）,T,T,数学物理方程与特殊函数,(1),(2),3、忽略与近似,(1),(2),ds,M,N,M,N,T,T,u,o,x,x+dx,对于小振动：,所以有：,3、忽略与近似,(1),(2),对于小振动：,所以有：,于是（1）式变为：,（2）式变为：,一般说来，将g略去。,3、忽略与近似,于是（1）式变为：,（2）式变为：,一般说来，将g略去，得,考虑到角度很小，近似地与u无关：,于是左下角式变为：,3、忽略与近似,上式实际上可以明确表示为：,这里表示：自变量由x增加到x+dx时，函数的增量。既然dx很小，这个这个增量不妨用微分带代替。,令，于是有：,一维波动方程,二.传输线方程(电报方程)的建立,物理状态描述:对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出：同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视，因而同一支路中电流呈现瞬态变化。现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体,每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以R、L、C、G表示。,1、建立坐标系选定微元,2、微元的电路方程,数学物理方程与特殊函数,P电路的节点,时刻t电路中的瞬时电流,数学物理方程与特殊函数,电容元件：,电感元件：,换路定理:,在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。,电路准备知识,二.传输线方程(电报方程)的建立,与同学们商榷的几个问题：（P4-5）（1）设某时刻t，输入与输出端的对应关系是否合理?（2）电流作为初始条件，在流经电感时是否要变化？（3）按照图示，电容与电导两端的电压如何界定（注意P5.-1.5式）？,1、建立坐标系选定微元,2、微元的电路方程,数学物理方程与特殊函数,P电路的节点？,时刻t电路中的瞬时电流,“另外,由基尔霍夫第一定律,流入节点的电流应等于流出该节点的电流,即,梁昆淼先生的做法：,“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容，电漏分别记以R，L，C，G。于是,亦即,亦即,将作用于第一式,作用于第二式,两结果相减,就消去了而得的方程,同理,消去,得到的方程,二.传输线方程(电报方程)的建立,设如图传输线是分布参数电路，即传输线上电阻R、电感L、电容C和电导G是按单位长度计算其对应的物理量，并且在x+dx范围之内的所有元件无论布局如何，均认为其长度为dx.,数学物理方程与特殊函数,设某时刻t，对应关系如下：左端：；右端:,输入端,输出端,数学物理方程与特殊函数,由基尔霍夫电压定律:,由基尔霍夫电流定律:,电容上的电流：,电感上的电压：,流入,流出,数学物理方程与特殊函数,由基尔霍夫电压定律:,由基尔霍夫电流定律:,电容上的电流：,电感上的电压：,，整理后得到：,，略去高阶无穷小量得：,由基尔霍夫电压定律:,由基尔霍夫电流定律:,(1.4),(1.5),联立上述两个方程（代入消元法），注意假定与都对是二次连续可微的，即可得到：,数学物理方程与特殊函数,例3.电磁场方程,基本电磁场量场的物质方程Maxwell方程,电场强度磁场强度电感应强度磁感应强度,介质的介电常数导磁率导电率,传导电流的面密度电荷的体密度,Vectordifferenceoperator,目标:利用上述关系,分别解出、。,由,将代入上式，得,对上式两边求旋度，得,再将代入上式，得,这是一个关于磁场强度的二阶微分方程,为进一步化简，利用Hamilton算子的运算性质,磁场强度、磁感应强度的散度为零。,如法炮制，可得关于电场强度的方程,如果介质不导电（=0），上述方程简化为：,三维波动方程,目标:建立关于电位u的方程由电感应强度与电场强度的定义知：,（电荷体密度）,而电场强度与电位之间的关系，由下式确定,由此可得：,这个非齐次方程称为泊松（Poisson）方程,若静电场是无源的，即，上式又可写成,这个齐次方程称为拉普拉斯（Laplace）方程,例4.热传导方程,物理模型:均匀且各向同性的导热体,在传热过程中所满足的微分方程.,研究对象:热场中任一闭曲面S,体积为V,热场,V(体积),S(闭曲面),t时刻,V内任一点M(x,y,z)处的温度为u(x,y,z,t).,M,ds,物理规律:由热学的(Fourier)实验可知:dt时间之内,流经面元ds的热量dQ,与时间dt成正比；曲面面积ds成正比；温度u沿曲面法方向的方向导数成正比。,数学表述为：,M,ds,V(体积),S(闭曲面),热场,数学表述为：,k=k(x,y,z).物体的传热系数,各向均匀且同性时为常数.“-”号,表示热量流动的方向,与温度梯度的正方向(gradu)相反.,必然等于V内各点所吸收的热量(热量守恒),问题:上面数学表述中的“-”，为何不见了？上式中的，在热学中的意义？,数学处理：由于S为闭曲面，假设u(x,y,z)具有一阶连续偏导数,那么依据奥斯特罗格拉德斯基公式,因此有：,由于t1,t2以及区域V的任意性,且被积函数为连续,因此有,若令:,那么上述方程可写为,三维热传导方程,讨论:,(1).若V内有热源,强度为F(x,y,z,t),则热传导方程为,其中,(2).若导热体为一根细杆,则,(3).若导热体为一薄片,则,(4).若热场为一稳恒场(温度趋于平衡状态),则,与之对应有,稳恒温度场内的温度满足Laplace方程.,(5).在