1.5.1曲边梯形的面积(教学用)ppt课件

1.5.1曲边梯形的面积,1,在过去的学习中，我们已经知道正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面“直边图形”的面积；物理中，我们知道了匀速直线运动的时间、速度与路程的关系等等。在数学和物理中，我们还经常会遇到计算平面曲线围成的平面“曲边图形”的面积、变速直线运动物体位移、变力做功的问题。如何解决这些问题呢？能否把求“曲边图形”面积转化为求“直边图形”面积？能否利用匀速直线运动的知识解决变速直线运动的问题？为此，我们需要学习新的数学知识定积分。,课题引入,2,在学习过的函数中，许多函数例如=，=2,=等的图像都是某个区间I上的一条连续不断的曲线。一般地，如果函数y=f(x)在某个区间I上的图是一条连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的连续函数。,如不加说明，下面研究的都是连续的函数。,3,思考？,新课探究,图1.51中，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y=f(x)的一段，我们把由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？,4,图1.52中的图形可以看成是直线x=0,x=1,y=0和曲线=所围成的曲边梯形。,思考？图1.52中的曲边梯形与我们熟悉的“直边图形”的主要区别是什么？能否将求这个曲边梯形面积S的问题转化为求“直边图形”面积问题？,5,可以发现，图1.52中的曲边梯形与“直边图形”的主要区别是：前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段。,在过去的学习中，我们曾经用多边形逼近圆的方法，利用多边形面积求出圆的面积。这种“以直代曲”的思想启发我们，是否也能用直边形（比如矩形）逼近曲边梯形的方法，求图1.52中阴影部分面积呢？,6,7,8,2近似代替记=2.如图1.53，当n很大，即很小时，在区间1,上，可以认为函数=2的函数值变化很小，近似等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点1处的函数值(1).,9,从图形上看，就是用平行轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边（图1.54）。这样，在区间1,上，用小矩形的面积近似代，即在局部小范围内“以直代曲”，则有=1=121(=1,2,),10,11,12,13,探究？,14,一般地，对如图1.51所示的曲边梯形，我们也可以采用分割近似代替求和取极限的方法求出其面积。,15,第三步：求和。,第二步：近似代替，“以直代曲”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值,求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,第四步：取极限。,第一步：分割。在区间a,b中插入n-1个分点，将它们等分成n个小区间,=,区间,的长度=。,16,例弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k是常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功。,解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x,则所做的功W=Fx，本题F是克服弹簧拉力的变力，是移动距离x的函数，F(x)=kx，,将0，bn等分，记x=，,分点依次为x0=0，x1=，x2=,，xn1=，xn=b，,17,当n很大时，在分段xi，xi+1所用的力约为kxi，所做的功Wkxix=,则从0到b所做的总功W近似地等于,当n+时，上式右端趋近于,18,于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为,以上两个实际问题，一个是求曲边梯形的面积，一个是求变力所做的功，虽然实际意义不同，但解决问题的方法和步骤是完全相同的