2016年全国统一高考文科数学模拟试卷(新课标I)含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标 I） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6，集合 A=1， 2， 4， B=1， 3， 5，则下列 中阴影部分表示集合 3， 5的是（ ） A B C D 2若数据 ， 平均数为 =5，方差 2=2，则数据 3， 3， 3， ，3 的平均数和方差分别为（ ） A 5， 2 B 16， 2 C 16， 18 D 16， 9 3 “m 3”是 “曲线 m 2） 为双曲线 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 4中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “三 百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地，请问第二天走了（ ） A 24 里 B 48 里 C 96 里 D 192 里 5已知双曲线 C 的渐近线方程为 3x 2y=0，且焦点在 x 轴上，焦点到渐近线的距离为 6，则该双曲线的方程为（ ） A B C D 6设曲线 y= a R）上任一点（ x， y）处切线斜率为 g（ x），则函数 y=x）的部分图象可以为（ ） A B CD 7执行如图的程序，若输出的值为 2，则输入的值构成的集合是（ ） 第 2 页（共 20 页） A 2 B 1， 2， 1， 2 C 1， 1 D 2， 2 8圆 x2+2x+6y+5a=0 关于直线 y=x+2b 成轴对称图形，则 a b 的取值范围是（ ） A（ ， 4） B（ ， 0） C（ 4， +） D（ 4， +） 9如图，在平面四边形 ， ， ， ， 20， 5，则 ） A B C D 10若 x， y 满足 ，则 z=y 2|x|的最大值为（ ） A 8 B 4 C 1 D 2 11某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体的外接球的体积是（ ） A 12 B 48 C 4 D 32 第 3 页（共 20 页） 12已知函数 f（ x） =|2x+1+ |在 ， 3上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ） A 0， 1 B 1， 1 C 1， 2 D（ ， 2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13设 （ i 为虚数单位），则 =_ 14已知向量 ，且 ，则 =_ 15已知抛物线 x 上一点 P 到焦点 F 的距离为 5，则 面积为 _ 16函数 f（ x） = ， 内满足 的 n 的最大值是_ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物 A（下简称 A 作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了 500 处 A 作 物种植点，其生长状况如表： 生长指数 2 1 0 1 地域 南区 空气质量好 45 54 26 35 空气质量差 7 16 12 5 北区 空气质量好 70 105 20 25 空气质量差 19 38 18 5 其中生长指数的含义是： 2 代表 “生长良好 ”， 1 代表 “生长基本良好 ”， 0 代表 “不良好，但仍有收成 ”， 1 代表 “不良好，绝收 ” （ ）估计该市空气质量差的 A 作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例； （ ）能否有 99%的把握认为 “该市 A 作物的种植点是否绝收与所在地域有关 ”？ （ ） 根据（ ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市 A 作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由 附： P（ k） k 18如图，四棱柱 底面 平行四边形，且 ， ， 0， E 为 中点， 平面 （ 1）证明：平面 平面 （ 2）若 1E，试求异面直线 成角的余弦值 第 4 页（共 20 页） 19已知数列 前 n 项和为 ， =（ +1） （ n N*， 2），且 33 成等差数列 （ ）求数列 通项公式； （ ）若数列 足 ，求数列 前 n 项和 20已知圆 M：（ x+1） 2+，圆 N：（ x 1） 2+，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C （ I）求 C 的方程 （ ）若直线 y=k（ x 1）与曲线 C 交于 R， S 两点，问是否在 x 轴上存在一点 T，使得当k 变动时总 有 存在，请说明理由 21已知函数 f（ x） = （其中 k R， e 是自然对数的底数）， f（ x）为 f（ x）导函数 （ ）若 k=2 时，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）若 f（ 1） =0，试证明：对任意 x 0， f（ x） 恒成立 选修 4何证明与选讲 22如图，在 O 中，弦 直径 点 M，弦的延长线交 延长线于点 E， M、N 分别是 中点 （ ）求证： E=E； （ ）若 ，求 E 的大小 选修 4标系与参数方程 23在平面直角坐标系 ，曲线 C：（ x 2） 2+（ y 3） 2=1，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 = （ p R） （ 1）求曲线 C 的参数方程及直线 l 的直角坐标方程； （ 2）设曲线 C 与直线 l 相交于点 A、 B，若点 P 为曲线 C 上一动点（异于点 A、 B），求 积的最大值 选修 4等式选讲 24已知 f（ x） =|x 3|， g（ x） =|x k|（其中 k 2） （ ）若 k=4，求 f（ x） +g（ x） 9 的解集； （ ）若 x 1， 2，不等式 f（ x） g（ x） k x 恒成立，求实数 k 的值 第 5 页（共 20 页） 2016 年全国统一高考数学模拟试卷（文科）（新课标 I） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6，集合 A=1， 2， 4， B=1， 3， 5，则下列 中阴影部分表示集合 3， 5的是（ ） A B C D 【考点】 表达集合的关系及运算 【分析】 结合已知条件即可求解观察 ，得出图中阴影部分表示的集合， 【解答】 解： 全集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6，集合 A=1， 2， 4， （ A） =3， 5， 6， B=1， 3， 5， B（ A） =3， 5 故选： B 2若数据 ， 平均数为 =5，方差 2=2，则数据 3， 3， 3， ，3 的平均数和方差分别为（ ） A 5， 2 B 16， 2 C 16， 18 D 16， 9 【考点】 极差、方差与标准差 【分析】 由平均数和方差的性质得数据 3， 3， 3， ， 3 的平均数为 ，方差为 322 【解答】 解： ， 平均数为 5， =5， +1=3 5+1=16， ， 方差为 2， 3， 3， 3， ， 3 的方差是 32 2=18 故选： C 3 “m 3”是 “曲线 m 2） 为双曲线 ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合双曲线的定义进行判断即可 【解答】 解：若曲线 m 2） 为双曲线， 第 6 页（共 20 页） 则对应的标准方程为 ， 则 0，即 m（ m 2） 0， 解得 m 2 或 m 0， 故 “m 3”是 “曲线 m 2） 为双曲线 ”的充分不必要条件， 故选： A 4中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地，请问第二天走了（ ） A 24 里 B 48 里 C 96 里 D 192 里 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 由题意可知此人每天走的步数构成 为公比的等比数列，由求和公式可得首项，可得答案 【解答】 解：由题意可知此人每天走的步数构成 为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得 =378， 解得 92， 第此人二天走 192 =96 步 故选： C 5已知双曲线 C 的渐近线方程为 3x 2y=0，且焦点在 x 轴上，焦点到渐近线的距离为 6，则 该双曲线的方程为（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设双曲线的方程为 =1（ a， b 0），求得渐近线方程，由题意可得 = ，运用点到直线的距离公式，解方程可得 a=4， b=6，进而得到双曲线的方程 【解答】 解：设双曲线的方程为 =1（ a， b 0）， 第 7 页（共 20 页） 可得渐近线方程为 y= x， 由题意可得 = ， 设一个焦点为（ c， 0），可得 =6， 可得 c=2 ，即 a2+2， 解得 a=4， b=9， 则双曲线的方程为 =1 故选： D 6设曲线 y= a R）上任一点（ x， y）处切线斜率为 g（ x） ，则函数 y=x）的部分图象可以为（ ） A B CD 【考点】 函数的图象；利用导数研究函数的单调性 【分析】 求导 y= 而可得 y=x） = 而判断 【解答】 解： y= y= 由导数的几何意义知， g（ x） = 故 y=x） = 故函数 y=x）是偶函数， 故排除 A， D； 又 当 x=0 时， y=0， 故排除 C， 故选 B 7执行如图的程序，若输出的值为 2，则输入的值构成的集合是（ ） 第 8 页（共 20 页） A 2 B 1， 2， 1， 2 C 1， 1 D 2， 2 【考点】 程序框图 【分析】 由框图知程序功能是计算并输出 y= 的值，由题意分类讨论即可得解 【解答】 解：由框图知程序功能是计算并输出 y= 的值， 当 x 0 时，令 x=2，解得 x=2 或 1（舍去）； 当 x 0 时，令 x2+x=2，解 得 x= 2 或 1（舍去）； 故输入的值构成的集合是： 2， 2 故选： D 8圆 x2+2x+6y+5a=0 关于直线 y=x+2b 成轴对称图形，则 a b 的取值范围是（ ） A（ ， 4） B（ ， 0） C（ 4， +） D（ 4， +） 【考点】 直线与圆相交的性质 【分析】 由题意知，圆心在直线上，解出 b，再利用圆的半径大于 0，解出 a 2，从而利用不等式的性质求出 a b 的取值范围 【解答】 解： 圆 x2+2x+6y+5a=0 关于直线 y=x+2b 成轴对称图形， 圆心（ 1， 3）在直 线 y=x+2b 上， 故 3=1+2b， b= 2 对于 圆 x2+2x+6y+5a=0，有 4+36 20a 0， a 2， a b=a+2 4， 故选 A 9如图，在平面四边形 ， ， ， ， 20， 5，则 ） 第 9 页（共 20 页） A B C D 【考点】 解三角形 【分析】 分别过 C， D 作 垂线 通过计算可得四边形 矩形，于是F=F 【解答】 解：过 D 作 E，过 C 作 长线于 F， 则 0 = ， ） = 四边形 矩形 F=F = ， ） = + = 故选： A 10若 x， y 满足 ，则 z=y 2|x|的最大值为（ ） A 8 B 4 C 1 D 2 【考点】 简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，分类化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， 第 10 页（共 20 页） 当 x 0 时，可行域为四边形 其内部区域， A 点是目标函数取得最大值的点； 当 x 0 时，可行域为三角形 其内部区域， A 点是目标函数取得最大值的点 z=y 2|x|的最大值为 2 故选： D 11某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为 2 的等腰直角三角形，侧视图是边长为 2 的正方形，则此四面体的外接球的体积是（ ） A 12 B 48 C 4 D 32 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体为棱锥，其中 平面 四面体的外接球为正方体的外接 球，正方体的对角线长为 2 ，外接球的半径为 ，即可求出此四面体的外接球的体积 【解答】 解：由三视图知该几何体为棱锥 S 中 平面 四面体的外接球为正方体的外接球，正方体的对角线长为 2 ，外接球的半径为 所以四面体的外接球的体积 =4 故选： C 第 11 页（共 20 页） 12已知函数 f（ x） =|2x+1+ |在 ， 3上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ） A 0， 1 B 1， 1 C 1， 2 D（ ， 2 【考点】 函数单调性的判断与证明 【分析】 为去绝对值号，讨论 a：（ 1） a 0 时，根据指 数函数和增函数的定义便可判断函数在 ， 3上单调递增，从而需满足 g（ ） 0，这样可得到 1 a 0；（ 2） a=0 时，显然满足条件；（ 3） a 0 时，得到 f（ x） = ，并可判断 x= 时取等号，从而需满足 ，可解出该不等式，最后便可得出实数 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1）当 a 0 时，函数 在 上单调递增； ； 1 a 0； （ 2）当 a=0 时， f（ x） =2x+1 在 上单调递增； （ 3）当 a 0 时， ，当且仅当 ，即 x= 时等号成立； 要使 f（ x）在 上单调递增，则 ； 即 0 a 1； 综上得，实数 a 的取值范围为 1， 1 故选 B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13设 （ i 为虚数单位），则 = 2 i 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 直接由复数求模公式化简复数 z，则答案可求 第 12 页（共 20 页） 【解答】 解：由 = ， 则 =2 i 故答案为： 2 i 14已知向量 ，且 ，则 = 5 【考点】 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【分析】 根据平面向量的坐标运算与数量积运算，求出 x 的值，再求 的值 【解答】 解：向量 ， 且 ， =x 2=0， 解得 x=2， 2 =（ 3， 4）； = =5 故答案为： 5 15已知抛物线 x 上一点 P 到焦点 F 的距离为 5，则 面积为 2 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 利用抛物线的定义，求出 P 的坐标，然后求出三角形的面积 【解答】 解：由抛物线定义， |=5，所以 ， |4， 所 以， 面积 S= = 故答案为： 2 16函数 f（ x） = ， 内满足 的 n 的最大值是 4 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由题意可得，本题即求函数 f（ x） = y=图象的交点个数，但不含原点，数形结合得出结论 【解答】 解：满足 的 x 的个数 n， 即为函数 f（ x） = y=图象的交点个数， 但不含原点，如图所示，存在 k （ ， 0）， 使得 n 取到最大值 4， 故答案为： 4 第 13 页（共 20 页） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17某市根据地理位置划分成了南北两区，为调查该市的一种经济作物 A（下简称 A 作物）的生长状况，用简单随机抽样方法从该市调查了 500 处 A 作物种植点，其生长状况如表： 生长指数 2 1 0 1 地域 南区 空气质量好 45 54 26 35 空气质量差 7 16 12 5 北区 空气质量好 70 105 20 25 空气质量差 19 38 18 5 其中生长指数的含义是： 2 代表 “生长良好 ”， 1 代表 “生长基本良好 ”， 0 代表 “不良好，但仍有收成 ”， 1 代表 “不良好，绝收 ” （ ）估计该市空气质量差的 A 作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例； （ ）能否有 99%的把握认为 “该市 A 作物的种植点是否绝收与所在地域有关 ”？ （ ）根据（ ）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该市 A 作物的种植点中，绝收种植点的比例？并说明理由 附： P（ k） k 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ I）根据表格数据计算； （ 用独立检验方法列联表计算 较大小得出结论； （ 据绝收比例可以看出采用分层抽样比较合理 【解答】 解：（ 1）调查的 500 处种植点中共有 120 处空气质量差，其中不绝收的共有 110处， 空气质量差的 A 作物种植点中，不绝收的种植点所占的比例 （ 2）列联表如下： 收 绝 收 合计 南区 160 40 200 北区 270 30 300 合计 430 70 500 有 99%的把握认为 “该市 A 作物的种植点是否绝收与所在地域有关 “ （ 3）由（ 2）的结论可知该市 A 作物的种植点是否绝收与所在地域有关， 第 14 页（共 20 页） 因此在调查时，先确定该市南北种植比例，再把种植区分南北两层采用分层抽样比采用简单随机抽样方法好 18如图，四棱柱 底面 平行 四边形，且 ， ， 0， E 为 中点， 平面 （ 1）证明：平面 平面 （ 2）若 1E，试求异面直线 成角的余弦值 【考点】 平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角 【分析】 （ 1）根据题意，得 正三角形， 0，等腰 =30，所以 0，得到 合 平面 而得到平面 平面平面 （ 2）取 中点 F，连接 接 出 得 其补角）是异面直线 成的角利用勾股定理和三角形中位线定理，算出 边的长，再用余弦定理可算出异面直线 成角的余弦值 【解答】 解：（ 1）依题意， C= B= 正三角形， 0， 又 ， =30 80 0，即 平面 平面 ， E=A， 平面 面 平面 平面 （ 2）取 中点 F，连接 接 ， 中位线， B= 四边形 平行四边形，可得 可得 其补角）是异面直线 成的角 ， =， B=1 ，由此可得 ， F= = ， 第 15 页（共 20 页） = ，即异面直线 成角的余弦值为 19已知数列 前 n 项和为 ， =（ +1） （ n N*， 2），且 33 成等差数列 （ ）求数列 通项公式 ； （ ）若数列 足 ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；数列递推式 【分析】 （ ）讨论可判断出数列 以 1 为首项， +2 为公比的等比数列，从而结合8a1+3 可得 2 4+4=0，从而解得； （ ）化简可得 ，从而可得 + + + ， + + + ，利用错位相减法求其前 n 项和即可 【解答】 解：（ ） =（ +1） ， 当 n 2 时， +1） 1+1， +1） 即 =（ +2） 又 2， 数列 以 1 为首项， +2 为公比的等比数列， 故 +2， +2） 2， 343 成等差数列， 8a1+3， 代入化简可得， 2 4+4=0， 故 =2， 故 n 1； （ ） =n， ， 故 + + + ， + + + ， 第 16 页（共 20 页） 故 + + + = （ 1 ） ， 故 20已知圆 M：（ x+1） 2+，圆 N：（ x 1） 2+，动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C （ I）求 C 的方程 （ ）若直线 y=k（ x 1）与曲线 C 交于 R， S 两点，问是否在 x 轴上存在一点 T，使得当k 变动时总有 存在，请说明理由 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 （ ）求出圆 M 和圆 N 的圆心及半径，设圆 P 的圆心为 P（ x， y），半径为 R由圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切，得到曲线 C 是以 M， N 为左右焦点，长半轴长为 2，短半轴为 的椭圆（左顶点除外），由此能 求出 C 的方程 （ ）假设存在 T（ t， 0）满足 立 得（ 3+412=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出存在 T（ 4， 0），使得当 k 变化时，总有 【解答】 解：（ ）圆 M：（ x+1） 2+ 的圆心为 M（ 1， 0），半径 ， 圆 N 的圆心 N（ 1， 0），半径 设圆 P 的圆心为 P（ x， y），半径为 R 圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切， |R+r1+R=r1+ 由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M， N 为左右焦点，长半轴长为 2，短半轴为 的椭圆（左顶点除外）， C 的方程为 （ ）假设存在 T（ t， 0）满足 R（ S（ 联立 得（ 3+4812=0， 由韦达定理有 ，其中 0 恒成立， 由 题意 斜率存在）， 故 ，即 ， 第 17 页（共 20 页） 由 R， S 两点在直线 y=k（ x 1）上，故 y1=k（ 1）， y2=k（ 1）， 代入 得， 即有 2 t+1）（ x1+2t=0 将 代入 即有： ， 要使得 与 k 的取值无关，当且仅当 “t=4“时成 立， 综上所述存在 T（ 4， 0），使得当 k 变化时，总有 21已知函数 f（ x） = （其中 k R， e 是自然对数的底数）， f（ x）为 f（ x）导函数 （ ）若 k=2 时，求曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ ）若 f（ 1） =0，试证明：对任意 x 0， f（ x） 恒成立 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ）求出 函数的导数，计算 f（ 1）， f（ 1），代入切线方程即可； （ ）求出 k 的值，令 g（ x） =（ x2+x） f（ x），问题等价于 ，根据函数的单调性证明即可 【解答】 解：（ ）由 得 ， x （ 0， +）， 所以曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线斜率为： ， 而 f（ 1） = ，故切线方程是： y = （ x 1）， 即： x+3=0； （ ）证明：若 f（ 1） =0，解得： k=1，令 g（ x） =（ x2+x） f（ x）， 所以 ， x （ 0， +）， 因此，对任意 x 0， g（ x） e 2+1，等价于 ， 由 h（ x） =1 x x （ 0， ）， 得 h（ x） = 2， x （ 0， +）， 因此，当 x （ 0， e 2）时， h（ x） 0， h（ x）单调递增； x （ e 2， +）时， h（ x） 0， h（ x）单调递减， 所以 h（ x）的最大值为 h（ e 2） =e 2+1，故 1 x e 2+1， 设 （ x） = x+1）， （ x） =1， 所以 x （ 0， +）时， （ x） 0， （ x）单调递增， 第 18 页（共 20 页） （ x） （ 0） =0，故 x （ 0， +）时， （ x） = x+1） 0，即 ， 所以 因此，对任意 x 0， 恒成立 选修 4何证明与选讲 22如图，在 O 中，弦 直径 点 M，弦的延长线交 延长线于点 E， M、N 分别是 中点 （ ）求证： E=E； （ ）若 ，求 E 的大小 【考点】 相似三角形的性 质；与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）通过证明 可推出结果 （ 2）利用（ 1）的结论，设 OE=x，求解 x，然后在直角三角形中求解即可 【解答】 （ 1）证明： M、 N 分别是 中点 0，又 E= E， ， E=E （ 2）设 OE=x，（ x 0）， = ， ， ， 又 ， x