概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案

1概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案1写出下列随机试验的样本空间1记录一个小班一次数学考试的平均分数以百分制记分；2一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球；3某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；4在单位圆内任意取一点，记录它的坐标解1100,2,1；2345,235,234,145,135,134,125,124,123；3,2,1；4|,22YXYX2在10,2,1，432，A，5,4,3B，7,6,5C，具体写出下列各式1BA；2BA；3BA；4BCA；5CBA解1,9,101,5,6,7,8A，5BA；210,9,8,7,6,5,4,3,1BA；3法110,9,8,7,6,2,1B，10,9,8,7,6,1BA，5,4,3,2BA；法25,4,3,2BABABA；45BC，10,9,8,7,6,4,3,2,1BC，4,3,2BCA，10,9,8,7,6,5,1BCA；257,6,5,4,3,2CBA，1,8,9,10CBA3设20|XX，121|XXA，2341|XXB，具体写出下列各式1BA；2BA；3AB；4BA解1BBA，223,410|XXXBBA；2BA；3AAB，21,210|XXXAAB；4231,2141|XXXBA4化简下列各式1BABA；2CBBA；3BABABA解1ABBABABA；2ACBCABCBBA；3BABBABABABAABABAABAA5A，B，C表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义1CBACBACBA；2BCACAB；3CBA；4BCACAB解1A，B，C恰有一个发生；2A，B，C中至少有一个发生；3A发生且B与C至少有一个不发生；4A，B，C中不多于一个发生6对于任意事件A，B，证明ABAAB3证ABBAABAABABAABAAAA7把事件CBA表示为互不相容事件的和事件解CABAAACBACBABCACBABAACABAACBABCABAACBABAA8设0AP，0BP，将下列5个数AP，BPAP，BAP，BPAP，BAP按有小到大的顺序排列，用符号“”联结它们，并指出在什么情况下可能有等式成立解因为0AP，0BP，BPABP，故BPAPBAPAPBAPABPAPBPAP，所以BPAPBAPAPBAPBPAP1若AB，则有BAPBPAP，BAPAP；2若AB，则有APBAP，BPAPBAP9已知BA，30AP，50BP，求AP，ABP，BAP和BAP解1701APAP；2BA，AAB，则30APABP；320ABPBPABPBAP；41BAPBAPBAP501ABPBPAP10设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概率1只有1件次品；2最多1件次品；3至少一件次品4解从10件产品中任取3件，共有310C种取法，1记A从10件产品中任取3件，只有1件次品，只有1件次品，可从4件次品中任取1件次品，共14C中取法，另外的两件为正品，从6件正品中取得，共26C种取法则事件A共包含2614CC个样本点，213102614CCCAP2记B从10件产品中任取3件，最多有1件次品，C从10件产品中任取3件，没有次品，则CAB，且A与C互不相容没有次品，即取出的3件产品全是正品，共有36C种取法，则6131036CCCP，32CPAPCAPBP3易知C从10件产品中任取3件，至少有1件次品，则651CPCP11盒子里有10个球，分别标有从1到10的标号，任选3球，记录其号码，求1最小号码为5的概率；2最大号码为5的概率解从10个球中任选3球，共有310C种选法，1记A从10个球中任选3球，最小标号为5，事件A发生，则选出球的最小标号为5，另外两个球的标号只可从6，7，8，9，10这5个数中任选，共有25C种选法，则12131025CCAP2记B从10个球中任选3球，最大标号为5，事件B发生，则选出球的最大标号为5，另外两个球的标号只可从1，2，3，4这4个数中任选，共有24C种选法，则520131024CCBP12设在口袋中有A个白球，B个黑球，从中一个一个不放回地摸球，直至留在在口袋中的球都是同一种颜色为止求最后是白球留在口袋中的概率解设A最后是白球留在口袋中，事件A即把BA个球不放回地一个一个摸出来，最后摸到的是白球，此概率显然为BAAAP13一间学生寝室中住有6位同学，假定每个人的生日在各个月份的可能性相同，求下列事件的概率16个人中至少有1人的生日在10月份；26个人中有4人的生日在10月份；36个人中有4人的生日在同一月份解设IB生日在I月份，则IB生日不在I月份，12,2,1I，易知121IBP，1211IBP，12,2,1I1设A6个人中至少有1人的生日在10月份，则A6个人中没有一个人的生日在10月份，66101211111BPAPAP；2设C6个人中有4人的生日在10月份，则622446210410461211151211121CBPBPCCP；3设D6个人中有4人的生日在同一月份，则52112121115CPCDP14在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直于弦的直径的交点在该直径上的位置是等可能的，即交点在这一直径上一个区间内的可能性与此区间的长度成正比，求任意画的弦的长度大于R的概率解设弦与该直径的交点到圆心的距离为X，已知，当RX23，弦长大于半径6R，从而所求的概率为232232RRP15甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在同一昼夜内到达的时刻是等可能的，如果甲船的停泊时间是1H，乙船的停泊时间是2H，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率解设A两艘中的任何一艘都不需要等候码头空出，则A一艘船到达泊位时必须等待，分别用X和Y表示第一、第二艘船到达泊位的时间，则10,20|,XYYXYXA，从而120702422212321242222AAP；899301APAP16甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为06和05，现已知目标被击中，问由甲射中的概率为多少解设A甲击中目标，B乙击中目标，C目标被击中，则BAC，由题设知A与B相互独立，且60AP，50BP，所以ABPBPAPBAPCP80BPAPBPAP，从而43|CPAPCPACPCAP17某地区位于河流甲与河流乙的汇合点，当任一河流泛滥时，该地区即被淹没，设在某时期内河流甲泛滥的概率是01，河流乙泛滥的概率是02，又当河流甲泛滥时引起河流乙泛滥的概率为03，求在该时期内这个地区被淹没的概率，7又当河流乙泛滥时，引起河流甲泛滥的概率是多少解A甲河流泛滥，B乙河流泛滥，C该地区被淹没，则BAC，由题设知10AP，20BP，30|ABP，从而ABPBPAPBAPCP270|ABPAPBPAP，150|BPABPAPBPABPBAP18设N件产品中有M件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率解设A有一件产品是不合格品，B另一件产品也是不合格品，ID取出的两件产品中有I件不合格品，2,1,0I，显然，21DDA，21DD，2DBAB从N件产品种任取两件，共有2NC种取法；若1D发生，即取出的两件产品中有1件不合格品，则该不合格品只能从M件不合格品中取得，共有1MC种取法；另一件为合格品，只能从MN件合格品中取得，共有1MNC种取法，则事件1D中共有11MNMCC个样本点，122111NNMNMCCCDPNMNM，类似地，11222NNMMCCDPNM，所以1122121NNMMMNMDPDPDDPAP，112NNMMDPABP，于是所求概率为121|MNMAPABPABP81910件产品中有3件次品，每次从其中任取一件，取出的产品不再放回去，求第三次才取得合格品的概率解设IA第I次取得合格品，3,2,1I，则所求概率为12878792103|213121321AAAPAAPAPAAAP20设事件A与B互不相容，且10BP，证明1|BPAPBAP证事件A与B互不相容，则0ABP，111|BPAPBPABPAPBPBAPBPBAPBAP21设事件A与B相互独立，30AP，450BP，求下列各式的值1|ABP；2BAP；3BAP；4|BAP解事件A与相互独立，事件A与B也相互独立，1450|BPABP；2ABPBPAPBAPBPAPBPAP6150；3385011BPAPBPAPBAP；470|APBAP22某种动物活到10岁的概率为092，活到15岁的概率为067，现有一只10岁的该种动物，求其能活到15岁的概率解设A该种动物能活到10岁，B该种动物能活到15岁，显然AB，由题设可知920AP，670BP，所以9267|APBPAPABPABP923某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占60，乙厂的产品占40，已知甲厂产品的次品率为4，乙厂的次品率为5一位顾客随机地取出一个电灯泡，求它是合格品的概率解设A电灯泡是次品，1B电灯泡由甲厂生产，2B电灯泡由乙厂生产，则A电灯泡是合格品由题设可知601BP，402BP，040|1BAP，050|2BAP，0440|2211BAPBPBAPBPAP，所以95601APAP24已知男子有5是色盲患者，女子有025是色盲患者今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少解设A选出的人是色盲患者，B选出的人是男性，B选出的人是女性，由题设可知21BPBP，050|BAP，00250|BAP，则2120|BAPBPBAPBPBAPBPABP25甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击，设甲、乙、丙命中率分别为04，05和07，又设敌机被击中1次、2次、3次而坠毁的概率分别为02，06和1现三人向敌机各射击一次，求敌机坠毁的概率解设1A，2A，3A分别表示甲、乙、丙射击击中敌机，IB敌机被击中I次，3,2,1I，C敌机坠毁，则3213213211AAAAAAAAAB，3213213212AAAAAAAAAB，3213AAAB，10由题设可知401AP，502AP，703AP，20|1BCP，60|2BCP，1|3BCP，则3213213211AAAPAAAPAAAPBP321321321APAPAPAPAPAPAPAPAP360，类似地，5102BP，1403BP，由全概率公式得4580|31IIIBCPBPCP26三人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为51，31和41问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少解分别设事件A，B，C为甲、乙、丙破译密码，则三人中至少有一人能将此密码译出可表示为CBA，有ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAPCPBPAPCPBPCPAPBPAPCPBPAP5327甲袋中装有N只白球、M只红球，乙袋中装有N只白球、M只红球今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少解设A从甲袋中取出白球，B从乙袋中取出白球，则由题设可知MNNAP，MNMAP，11|MNNABP，1|MNNABP，由全概率公式，得|ABPAPABPAPBP11NMNMMNNN28从区间1,0内任取两个数，求这两个数的和小于12的概率11解设X和Y分别为所取的两个数，显然10X，10Y，即试验的样本空间为边长为1的单位正方形，记21|,YXYXA，由几何概型，有6801180802111AP29一个系统由4个元件联结而成如图，每个元件的可靠性即元件能正常工作的概率为R10R，假设各个元件独立地工作，求系统的可靠性解设IA第I个元件能正常工作，4,3,2,1I，B系统能正常工作，则4314214321AAAAAAAAAAB，由题知RAPI，IA相互独立，4,3,2,1I，所以431421AAAAAAPBP4321431421AAAAPAAAPAAAP4321431421APAPAPAPAPAPAPAPAPAP32RR30某篮球运动员投篮命中的概率为08，求他在5次独立投篮中至少命中2次的概率解设A该篮球运动员5次独立投篮中至少命中2次，IB该篮球运动员5次独立投篮中命中的次数，5,1,0I，则由题可知5432BBBBA，10BBA，IB互不相容，5,1,0I，所以1110BPBPAPAP9933020802080141155005CC31设概率统计课的重修率为5，若某个班至少一人重修的概率不小于095，132412问这个班至少有多少名同学解设该班有N名同学，A该班每名同学概率统计课重修，IB该班N名同学中有I名同学概率统计课重修，C该班N名同学中至少有1名同学概率统计课重修，则NIINBBBBC121，0BC，由题可知050AP，NNNCBPCPCP9501950050111000，由题意，应有9509501N，解得59N32某种灯泡使用时数在1000H以上的概率为06，求3个灯泡在使用1000H以后最多有1个损坏的概率解设A该种灯泡使用时数在H1000以上，IB3个灯泡在使用H1000以后有I个损坏，3,2,1,0I，C3个灯泡在使用H1000以后最多有1个损坏，则10BBC，由题知60AP，IB互不相容，3,2,1,0I，所以6480604060402113300310CCBPBPCP33甲、乙两名篮球运动员投篮的命中率分别为07和06，每人投篮3次，求1二人进球数相等的概率；2甲比乙进球数多的概率解设A甲篮球运动员投篮命中，B乙篮球运动员投篮命中，IA甲篮球运动员投篮命中I次，3,2,1