概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案

1概率论与数理统计第二章课后习题及参考答案1离散型随机变量X的分布函数为4,1,42,70,21,20,1,0XXXXXXPXF求X的分布律解0000XFXFXXP，200200111FFXP，5020700222FFXP，307010444FFXP，X的分布律为2设KAKXP32，,2,1K，问A取何值时才能成为随机变量X的分布律解由规范性，AAANNKK232132132LIM3211，21A，此时，KKXP3221，,2,1K3设离散型随机变量X的分布律为X124P205030X112P2050302求1X的分布函数；221XP；331XP解11X时，0XXPXF，11X时，201XPXXPXF，21X时，7011XPXPXXPXF，2X时，1211XPXPXPXXPXF，X的分布函数为2,1,21,70,11,20,1,0XXXXXF2方法1802121XPXPXP方法28020121121121FXPXP3方法1121131XPXPXPXP方法210101331FFXP4一制药厂分别独立地组织两组技术人员试制不同类型的新药若每组成功的概率都是04，而当第一组成功时，每年的销售额可达40000元；当第二组成功时，每年的销售额可达60000元，若失败则分文全无以X记这两种新药的年销售额，求X的分布律解设IA第I组取得成功，2,1I，由题可知，1A，2A相互独立，且4021APAP两组技术人员试制不同类型的新药，共有四种可能的情况21AA，21AA，21AA，21AA，相对应的X的值为100000、40000、60000、0，则1601000002121APAPAAPXP，240400002121APAPAAPXP，240600002121APAPAAPXP，336002121APAPAAPXP，X的分布律为5对某目标进行独立射击，每次射中的概率为P，直到射中为止，求1射击次数X的分布律；2脱靶次数Y的分布律解1由题设，X所有可能的取值为1，2，K，设KA射击时在第K次命中目标，则KKAAAAKX121，于是11KPPKXP，所以X的分布律为11KPPKXP，,2,1K2Y的所有可能取值为0，1，2，K，于是Y的分布律为11KPPKYP，,2,1,0K6抛掷一枚不均匀的硬币，正面出现的概率为P，10P，以X表示直至两个面都出现时的试验次数，求X的分布律解X所有可能的取值为2，3，设AK次试验中出现1K次正面，1次反面，BK次试验中出现1K次反面，1次正面，由题知，BAKX，AB，则11PPAPK，PPBPK11，PPPPBPAPBAPKXPKK1111，于是，X的分布律为PPPPKXPKK1111，,3,2K7随机变量X服从泊松分布，且21XPXP，求4XP及1XPX100000060000400000P0160240240364解21XPXP，2EE2，2或0舍去，224E32E424XP101111XPXPXPXP222E31E2E18设随机变量X的分布函数为0,0,0,E11XXXXFX求1X的概率密度；22XP解10,0,0,EXXXXFXFX；22E3122FXP9设随机变量X的概率密度为XXAXFEE，求1常数A；23LN210XP；3分布函数XF解1XAXXFXXDEED1AAXAXXX2|EARCTANDE21E2，2A261|EARCTAN2DEE123LN2103LN2103LN210XXXXXP3XXXXXXTTFXFEARCTAN2DEE12D10设连续型随机变量X的分布函数为5AXAXAAXBAAXXF,1,ARCTAN,0其中0A，试求1常数A，B；2概率密度XF解12ARCSINLIM00BAAXBAAFAFAX，1LIM02XFAFAFBAAX，21A，1B2AXAXXAXFXF,0,12211设随机变量X的概率密度曲线如图所示，其中0A1写出密度函数的表达式，求出H；2求分布函数XF；3求2AXAP解1由题设知其他,0,0,AXXAHHXF2DD10AHXXAHHXXFA，AH2，从而其他,0,0,222AXXAAXFYHOAX620X时，0D0DXXTTTFXF，AX0时，220202D22D0DAXAXTTAATTTFXFXX，AX时，1XF，X的分布函数为AXAXAXAXXXF,1,0,2,0,022341411122AFAFAXAP12设随机变量X在6,2上服从均匀分布，现对X进行三次独立观察，试求至少有两次观测值大于3的概率解由题意知其他,0,62,41XXF，记3XA，则43D41363XXPAP，设Y为对X进行三次独立观测事件3X出现的次数，则Y43,3B，所求概率为322YPYPYP333223APCAPAPC3227434143333223CC13设随机变量X的概率密度为其他,0,10,32XXXF以Y表示对X的三次独立重复观察中事件21X出现的次数，求121X至少出现一次的概率；221X恰好出现两次的概率7解由题意知Y,3PB，其中81D3212102XXXPP，121X至少出现一次的概率为51216981111101133PYPYP221X恰好出现两次的概率为512218118112223223CPPCYP14在区间,0A上任意投掷一个质点，以X表示这个质点的坐标设这个质点落在,0A中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比例试求X的分布函数解0X时，事件XX表示X落在区间,0A之外，是不可能事件，此时0XXPXF；AX0时，事件XX发生的概率等于X落在区间,0X内的概率，它与,0X的长度X成正比，即XKXXPXF，AX时，1XXP，所以AK1，则此时AXXF；AX时，事件XX是必然事件，有1XF，综上，AXAXAXXXF,1,0,0,015设X,22N，又3042XP，求0XP解2422242XPXP3002，803002，80221010XPXP816设X4,10N，求A，使得9010AXP解1010AXAPAXP22102AXAP22AA90122A，9502A，查标准正态分布表知64512A，2903A17设X9,60N，求分点1X，2X，使得X分别落在,1X，,21XX，,2X的概率之比为345解由题知5432211XXPXXXPXXP，又12211XXPXXXPXXP，250411XXP，3303121XXXP，1252XXP，则58330127122XXPXXP250360360360111XXXPXXP，查标准正态分布表知03601X，03601X，则750360136011XX查标准正态分布表，有74860670，75170680，7502680670，675026806703601X，即975571X58330360360360222XXXPXXP，查标准正态分布表知58330210，2103602X，即63602X18某高校入学考试的数学成绩近似服从正态分布100,65N，如果85分以上为9“优秀”，问数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的百分之几解设X为考生的数学成绩，则X100,65N，于是85185XPXP10658510651XP0228097720121，即数学成绩为“优秀”的考生大致占总人数的22819设随机变量X的分布律为求2XY的分布律解Y所有可能的取值为0，1，4，9，则5100XPYP，307111XPXPYP，5124XPYP，301139XPYP，Y的分布律为20设随机变量X在1,0上服从均匀分布，求1XYE的概率密度；2XYLN2的概率密度解由题设可知其他,0,10,1XXF，1当0Y时，YY，X21013P5161511513011X0149P51307513011100YYPYFY，0YFY；E0Y时，EYPYYPYFXYLNLNYFYXPX，此时，YYFYYYFYFYFXXYX1LN1LNLN；EY时，1YYPYFY，0YFY；其他,0,E0,1YYYFY2当0Y时，YY，0YYPYFY，0YFY；当0Y时，ELN22YYXPYXPYYPYFE1E122YXYFXP，此时，222E21EEYYYXYXFYFYF；0,0,0,E212YYYFYY21设X1,0N，求1XYE的概率密度；2122XY的概率密度；3XY的概率密度解由题知22E21XXXF，X，10Y时，EYYX，0YYPYFY，0YFY；110Y时，LNLNEYFYXPYPYYPYFXXY，此时，2LN2E21LN1LNLNYXXYXYFYYYFYFYF；综上，0,0,0,E212LN2YYYFYY21Y时，122YXY，0YYPYFY；1Y时，211222YXPYXPYYPYFY2121YXYP当1Y时，0YFY，故1Y时，0YFY，0YFY；当1Y时210221212DE22DE2122YXYYXYXXYF，此时，41E121YYYYYFYF，综上，1,0,1,E12141YYYYFYY30Y时，YXY，0YXPYYPYFY，0Y时，YXYPYXPYYPYFYYFYFXX，0Y时，0YFY，0Y时，有0YFY，0YFY；120Y时，22E22YXXYYYYFYFYFYFYF，综上，0,0,0,E2222YYYFYY221设随机变量X的概率密度为XF，X，求3XY的概率密度2设随机变量X的概率密度为其他,00,EXXFX求2XY的概率密度解10Y时，0YYPYFY，0YFY；0Y时，333YFYXPYXPYYPYFXY，3233331YYFYYFYFYFXYY；0,0,0,31332YYYFYYFY2由于02XY，故当0Y时，YY是不可能事件，有0YYPYFY；当0Y时，有2YFYFYXYPYXPYYPYFXXY；因为当0Y时，000XXYFFYF，所以当0Y时，0YFY将YFY关于Y求导数，即得Y的概率密度为，；，00021YYYFYFYYFXXY，130,0,0,EE21YYYYY23设随机变量X的概率密度为其他,0,0,22XXXF求XYSIN的概率密度解由于X在,0内取值，所以XYSIN的可能