高中数学函数知识精要[整理]人教

2020年5月2日星期六,1,高中函数知识精要,2020年5月2日星期六,2,一。映射与函数,1、映射：对于集合A、B，存在某种对应法则f，使得集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的一个元素和它对应，这样的对应叫做从集合A到集合B的映射，记为f：AB,2、函数：(1)在某种变化过程中存在两个变量x，y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数。,(2)设A、B都是非空数集，那么A到B的映射f：AB就叫做A到B的函数，记作y=f(x),3、函数的“三要素”：对应法则、定义域、值域。只有“三要素”完全相同的两个函数才是同一函数。,2020年5月2日星期六,3,方法小结,1、理解映射的概念A、B为非空数集；A中的元素必有象，但B中的元素不一定有原象；A中的任一元素的象是唯一的，因此对应是“一对一或多对一”。,2、理解函数与映射的关系。函数的“三要素”是对应法则、定义域、值域。只有“三要素”完全相同的两个函数才是同一函数。,3、若函数在定义域的不同子集上对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫做分段函数。,2020年5月2日星期六,4,二。函数的定义域,3、如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集。,2、求函数的定义域的主要依据是：分式的分母不为0；偶次方根的被开方数非负；对数的真数大于0；指数、对数函数的底数大于0且不等于1；指数为0或负数时，底数不为0；实际问题的函数除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑有实际意义。,1、函数的定义域是指自变量的取值范围。,2020年5月2日星期六,5,三。函数的值域,函数的值域就是在对应法则f的作用下，自变量x的值对应的y值的集合。,方法小结,1、求函数值域的常用方法有：配方法：求形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数值域问题,要注意f(x)的取值范围对值域的影响.,2020年5月2日星期六,6,单调性法:利用函数在其定义域或定义域的子集上的单调性求出函数的值域.,换元法:运用代数或三角代换,将所给函数化成值域容易求出的另一类函数,2020年5月2日星期六,7,3、求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，要告自己积累经验，掌握规律。,2、求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。,数形结合法:利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法求出函数值域.,2020年5月2日星期六,8,四。函数的单调性,1、定义：设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量x1、x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)（f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在这个区间上是增（减）函数。,2、注意定义的变形：设x1、x2a，b,f(x)在这个区间上为增函数,f(x)在这个区间上为减函数,2020年5月2日星期六,9,3、熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性。,两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；y=f(x)与y=f(x)有相反的单调性；当y=f(x)恒为正或恒为负时，y=f(x)与y=1/f(x)有相反的单调性。,4、了解以下结论，对直接判定函数的单调性有好处：,2020年5月2日星期六,10,方法小结,1、函数的单调性必须在定义域内进行，在定义域内的不同区间上可能有不同的单调性，因此必须说明在哪个区间上递增或递减。,2、根据定义证明函数单调性的方法：设x1、x2A，且设x1x2；作差：f(x1)f(x2)，并变形（分解、配方、通分等）；判断差的符号，并作结论。,3、复合函数单调性的判断方法：设y=f(u)，u=g(x)，x(a,b),u(m,n)，都是单调函数，则y=f(g(x)在a,b上也是单调函数。若y=f(u)是(m,n)上的增（减）函数，则y=f(g(x)的增减性与u=g(x)的增减性相同（相反）。也可概括为“同增、同减为增，一增一减为减”。,2020年5月2日星期六,11,五。反函数,3、反函数的求法：由y=f（x）解出x=f1（y）；将x=f1（y）中的x、y互换，得y=f1（x）；由y=f（x）的值域，写出y=f1（x）的定义域。,1、定义：函数y=f(x)(xA)中，设它的值域为C，由y=f(x)解出x=f1(y)，如果对于y在C中的任何一个值，由x=f1(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么x=f1(y)就表示x是y的函数，则函数x=f1(y)就叫做y=f(x)的反函数。习惯上把y看成函数，将x、y调换，y=f(x)的反函数表示为y=f1(x)。,2、反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域。互为反函数的两个图象关于直线y=x对称。,2020年5月2日星期六,12,方法小结,1、只有从定义域到值域上的一一映射所确定的函数才有反函数。因此，定义域上的单调函数必有反函数；,2、若原函数过点(a,b)，则反函数过点(b,a)，即若f（a）=b，则f1（b）=a。,3、互为反函数的两个函数具有相同的单调性。,2020年5月2日星期六,13,六。一些常用函数及其性质,1、正比例函数：y=kx（k0）,图象,性质:1、定义域为R；2、值域为R；3、单调性：k0时为增函数,K0时为减函数。,2020年5月2日星期六,14,图象,性质:1、定义域：(,0)(0,);2、值域：(,0)(0,)；3、单调性（1）k0时，在(,0)或(0,)上是增函数；（2）k0在(,0)或(0,)上是减函数。,2020年5月2日星期六,15,3、一次函数：y=kxb（k0）,图象,性质:1、定义域为R；2、值域为R；3、k0时为增函数,K0时为减函数。,2020年5月2日星期六,16,4、二次函数：y=ax2+bx+c（a0）,a0时的图象与性质,2020年5月2日星期六,17,a0时的图象与性质,2020年5月2日星期六,18,0,0,=0,图象,ax2+bx+c=0(a0),ax2+bx+c0(a0),ax2+bx+c0),x=x1或x=x2,x|xx2,x|x1xx2,R,无实根,5、二次函数与二次不等式,2020年5月2日星期六,19,方法与小结,3、二次函数的解析式除了一般式外还有顶点式：f(x)=a(xk)2m，零点式：f(x)=a(xx1)(xx2)。,2020年5月2日星期六,20,6。指数函数与对数函数,（1）、指数函数y=ax(a0且a1)的图象和性质：,2020年5月2日星期六,21,（2）对数函数y=logax(a0且a1)的图象和性质：,2020年5月2日星期六,22,方法小结,1、指数函数与对数函数是互为反函数的两个重要函数，其函数性质受底数a的影响，所以分类讨论思想表现得更为突出，同时两类函数的函数值变化情况，充分反映了函数的代数特征与几何特征。,2、在给定的条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用。,3、熟记以下几个结论：,2020年5月2日星期六,23,七。函数的图象,1、作图：,利用描点作图法：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；画出函数的图象。,利用基本函数图象的作图变换：,平移变换：,2020年5月2日星期六,24,对称变换,2020年5月2日星期六,25,2020年5月2日星期六,26,2、识图,对于给定的函数图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性，注意图象中特殊点的作用。,3、用图,函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法。,2020年5月2日星期六,27,方法小结,1、证明函数图象的对称性，即证明其图象上任一点关于对称中心或对称轴的对称点仍在图象上。要熟悉一些常见的函数图象对称性的判定方法，如奇函数图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，一个函