高中数学平面向量数量积课件人教必修4B

平面向量数量积的物理背景及定义,向量数量积的物理背景与定义,问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W=|F|s|cos，是F与s的夹角,其中|F|cos就是F在物体位移方向上的分量的数量，也就是力F在物体位移方向上正射影的数量。,力做的功：W=|F|s|cos，,以计算力做功为背景，我们引入向量的数量积的运算.,（1）两个向量的夹角；（2）向量在轴上的射影.,两个向量的夹角,已知两个非零向量a、b，=a，=b.则AOB称作向量a和向量b的夹角,记作.并规定0,（1）求两向量的夹角，应保证两个向量有公共起点，若没有，须平移使它们有公共起点；（2）范围0a，b；（3）a，b=b，a；（4）a，b=0时,a、b同向；a，b=时，a、b反向；a，b=90时，ab.（5）规定：在讨论垂直问题时，零向量与任意向量垂直.,向量在轴上的正射影,（1）概念：已知向量a和轴l，作=a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影.,（2）正射影的数量：,向量a的正射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量.记作：al向量a的方向与轴l的正方向所成的角为，则有,1.a在轴l上的射影或在轴l方向上的数量是一个数量，不是向量.2.当为锐角时，数量为正值；3.当为钝角时，数量为负值；4.当为直角时，数量为0；5.当=0时，数量为|a|；6.当=180时，数量为|a|.,向量的数量积（内积）,定义：叫做向量a和b的数量积（或内积）记作：ab.即ab=,1数量积ab等于a的长度与b在a方向上正投影的数量|b|cos的乘积.,2两个向量的数量积是一个实数，符号由cosa，b的符号所决定；而数乘向量是一个向量。,3两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.,1.ea=ae=|a|cos;,2.abab=0,3.aa=|a|2或,4.cos=；|ab|a|.|b|.,例1.已知|a|=5，|b|=4，=120，求ab.解：ab=|a|b|cos=54cos120=10.,练习1.已知|a|，|b|，当ab，ab，a与b的夹角是60时，分别求ab,ab时，ab=18；ab时，ab=0；a与b的夹角是60时，ab=9.,练习2、判断正误，并简要说明理由:a00；0a；0；|ab|a|b|；若a0，则对任一非零b有ab；ab，则a与b中至少有一个为0；对任意向量a，b，c都有(ab)ca(bc)；a与b是两个单位向量，则a2=b2.,例2.求证菱形的两条对角线互相垂直.,例3.已知|a|=2，|b|=3，且分别满足下列条件，求ab.(1)=120;(2)ab;(3)a/b,解:(1)=120，所以ab=23(0.5)=3.,(2)ab,所以ab=0.,(3)a/b,所以ab=6或6.,例4.如图，ABC为等腰直角三角形，且直角边AB=1，求,解：,又,例5.已知|a|=3,|b|=5，且ab=12，