高中数学第二章函数2.4.1函数的零点课件新人教B必修1

2.4函数与方程2.4.1函数的零点,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入情境导学,知识探究,1.一般地,如果函数y=f(x)在实数处的值等于零,即,则叫做这个函数的零点.2.一般地,函数f(x)的零点与方程根的关系是f(x)的零点个数与方程根个数.3.函数f(x)的图象与x轴有叫这个函数有零点,也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的.,f()=0,相等,公共点,横坐标,【拓展延伸】1.函数零点的性质对于任意函数y=f(x),只要它的图象是连续不间断的,则有:(1)当它通过零点时(不是二重零点),函数值变号.如函数f(x)=x2-2x-3的图象在零点-1的左边时,函数值取正号;当它通过第一个零点-1时,函数值由正变为负;再通过第二个零点3时,函数值又由负变为正,这样的零点叫变号零点.(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号.(3)如果一个二次函数有二重零点,那么它通过这个二重零点时,函数值的符号并不改变,这样的零点叫做不变号零点.,2.函数零点的判断函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根,因此求函数的零点可以转化为求相应的方程的根.反之,若知道函数的零点,即“函数图象与横轴的交点的横坐标”,则可以直接写出函数对应的方程的根,即函数y=f(x)有零点方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点.因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程f(x)=0是否有实根,有几个实根.,二次函数的零点与相应二次方程的实根个数的关系,自我检测,1.函数f(x)=x2-3x-4的零点是()(A)1,-4(B)4,-1(C)1,3(D)不存在,B,2.函数y=2x-1的图象与x轴交点坐标及零点分别是(),B,3.二次函数y=ax2+bx+c(a0)中,ac0,则函数的零点有()(A)1个(B)2个(C)0个(D)不确定4.若函数f(x)=3x+b的零点为2,则b=.,解析:由已知f(2)=0,所以32+b=0,所以b=-6.答案:-6,B,类型一,求函数的零点,课堂探究素养提升,【例1】(1)求函数f(x)=x4-2x2-3的零点;,思路点拨:(1)利用因式分解法解方程f(x)=0可求零点;,(2)求函数f(x)=-3x2-7x+6的零点.,思路点拨:(2)令f(x)=0求出零点.,方法技巧由于函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的解,所以,求函数的零点就是解与函数相对应的方程;一元二次方程可用求根公式求解,简单的高次方程可用因式分解法求解.另外分式方程求根,要验根.,变式训练1-1:若函数f(x)=x2-ax-b的零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是.,类型二,函数零点的判断,思路点拨:判断函数是否有零点,即判断方程f(x)=0是否有根即可,求零点,即求方程根.,解:(1)f(x)=-x2+2x+3=-(x-3)(x+1),令f(x)=0,解得x=3或x=-1.所以函数存在零点且为3和-1.(2)令f(x)=x2+x+2=0,=1-412=-70,所以方程无实根.所以f(x)=x2+x+2无零点.,方法技巧判断二次函数f(x)的零点个数,可转化为判断方程f(x)=0的实根的个数,进而转化为判断二次函数的图象与x轴的交点的个数问题.而这类问题一般通过一元二次方程的判别式来判断.,变式训练2-1:若奇函数f(x)的定义域为R,且在(0,+)上是单调增函数,若f(1)=0,求函数f(x)在(-2,2)内的零点个数.,解:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).因为f(1)=0,所以f(-1)=0.又因为f(x)在原点处有定义,所以f(0)=0.因为f(x)在(0,+)上是单调增函数,所以f(x)在(0,+)上只有一个零点,因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(-,0)上是单调增函数,所以f(x)在(-,0)上也只有一个零点.所以函数f(x)在(-2,2)内有3个零点,即-1,0,1.,类型三,函数零点的综合应用,【例3】讨论关于x的方程|x2-4x+3|=a(aR)的实数解的个数.,当a=0或a(1,+)时,原方程有两个实数解;当a=1时,原方程有三个实数解;当0a0(C)0k1(D)k0时,函数y=|x|的图象与函数y=k的图象有两个交点,故k的范围是(0,+).故选B.,类型四,易错辨析,【例4】已知二次函数f(x)=x2-(m-1)x+2在0,1上有且只有一个零点,求实数m的取值范围.,错解:根据函数零点的性质,f(0)f(1)4,所以实数m的取值范围是(4,+).纠错:错解的原因是没有考虑二次函数的各种情况,片面地使用了函数零点的性质.,(2)当方程x2-(m-1)x+2=0有两个不相等的实数根时,又f(0)0,故若f(1)=0