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2014年六年级数学思维训练：数论综合三一、兴趣篇1（1）求所有满足下列条件的三位数：在它左边写上40后所得的五位数是完全平方数（2）求满足下列条件的最小自然数：在它左边写上80后所得的数是完全平方数2已知n!+3是一个完全平方数，试确定自然数n的值（n!=123n）3一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于7如果把组成它的每个数字都加上3，便得到另外一个完全平方数求原来的四位数4请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位上的数字整除5在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0，得到一个三位数（例如21变成了201），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除请问：所有满足条件的两位数之和是多少？6用2、3、4、5、6、7六个数字组成两个三位数，要使这两个三位数与540的最大公约数尽可能的大，这两个三位数应该分别是多少？7一个自然数，它与99的乘积的各位数字都是偶数，求满足要求的最小值8有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能被第三个数整除满足上述条件的3个自然数之和最小是多少？9小明与小华玩游戏，规则如下：开始每人都是1分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以3，输的小朋友保持分数不变，最后小明获胜，他比小华多的分数是99的倍数，那么他们至少玩了多少局？10对于一个自然数N，如果具有这样的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被N+1整除那么在1至2008这2008个自然数中有多少个“破坏数”？二、解答题（共12小题，满分0分）11（1）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20；（2）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的后两位是04；（3）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20，后两位是0412已知n!+4等于两个相邻自然数的乘积，试确定自然数n的值（n!=123n）13已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质请写出所有可能的答案14三个两位奇数，它们的最大公约数是l，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍数共有18个约数求所有满足要求的情况15147lO2008的末尾有多少个连续的零？16一个四位数除以它后两位数字组成的两位数，余数恰好是它前两位数字组成的两位数如果它后两位数字组成的两位数是质数，那么原来的四位数是多少？17任意一些末两位数是25的数相乘，它们的乘积末两位数仍是25，我们就称25是“变不掉的两位数尾巴”显然000是“变不掉的三位数尾巴”，请写出所有的“变不掉的三位数尾巴”18在3和5之间插入6、30、20三个数，可以得到3、6、30、20、5这样一串数，其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积请你在4与3之间插入三个非零自然数，使得其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积19M、N是互为反序的两个三位数，且MN请问：（1）如果M和N的最大公约数是7，求M； （2）如果M和N的最大公约数是21，求M20用l、2、3、4、5、6这六个数字组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是多少？21请将l、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合适的顺序写成一行，使得这一行数中的任何一个都是它前面所有数之和的约数22一根红色的长线，将它对折，再对折，经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些红色的短线；一根白色的长线，经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些白色的短线已知红色短线比白色短线多m且它们的数量之和是100的倍数请问：红色短线至少有多少条？三、解答题（共8小题，满分0分）23求出所有正整数n，使得25+n能整除25n24一个自然数至少有4个约数，并且该数等于其最小的4个约数的平方之和，请找出这样的自然数25一个四位数的各位数字互不相同，将其千位与个位数字调换后形成新的四位数，新四位数与原数的最大公约数是63，则原四位数可能是多少？26一个不超过200的自然数，如裂川四进制表示，那么它的数字和是5；如果用六进制表示，那么它的数字和是8；如果用八进制表示，那么它的数字和是9如果用十进制表示，这个数是多少？27把一个两位质数写在另一个不同的两位质数右边，得到一个四位数，这个四位数能被这两个质数之和的一半整除这样的两个质数乘积最大是多少？最小是多少？28用l、2、3、4、5各一个可以组成120个五位数，你能否从这120个数里面找出11个数来，使得它们除以11的余数互不相同？如果五个数字是1、3、4、6、8呢？29用1、2、3、4、5、6这6个数字各一次组成两个三位数A和B请问：A、B、630这三个数的最大公约数最大可能是多少？最小公倍数最小可能是多少？30我们将具有如下性质的自然数K称为“巨人数”：如果一个整数M能被K整除，则把M的各位数字按相反顺序重写时所得的数也能被K整除，请求出100以内的所有的“巨人数”2014年六年级数学思维训练：数论综合三参考答案与试题解析一、兴趣篇1（1）求所有满足下列条件的三位数：在它左边写上40后所得的五位数是完全平方数（2）求满足下列条件的最小自然数：在它左边写上80后所得的数是完全平方数【分析】（1）估算出40000和41000之间的平方数即可（2）估算略大于800、8000以及80000的数，看看有没有在它左边写上80后所得的数是完全平方数的数即可【解答】解：（1）2002=40000，2012=40401，2022=40804，可见只有401和804可以（2）估算略大于800，没有；估算略大于8000，没有；估算略大于80000的数可得：2842=80656，因此，最小数是6562已知n!+3是一个完全平方数，试确定自然数n的值（n!=123n）【分析】对任意偶数2k，其平方4k2必能被4整除，对任意奇数2k+1，其平方4k2+4k+1被4整除余1，由于当n4，123n+3被4除余3，故当n4时，123n+3不可能是一个自然数的平方【解答】解：对任意偶数2k，其平方4k2必能被4整除，对任意奇数2k+1，其平方4k2+4k+1被4整除余1，由于当n4，123n+3被4除余3，故当n4时，123n+3不可能是一个自然数的平方将n=1，2，3代入知：1+3=4=22123+3=9=32故n=1，或n=3答：自然数n的值为1或33一个完全平方数是四位数，且它的各位数字均小于7如果把组成它的每个数字都加上3，便得到另外一个完全平方数求原来的四位数【分析】设两个完全平方数个分别为AA和BB，由题意，BBAA=3333，可以写作（B+A）（BA）=3333，而3333=311101，有可能的形式是3333=33331或11113或10133或30311，然后进行讨论解决【解答】解：两个完全平方数个分别为AA和BB，由题意，BBAA=3333，可以写作（B+A）（BA）=3333而3333=311101，有可能的形式是3333=33331或11113或10133或30311也就是说A和B的和可能是3333，差可能是1，或者和是1111，差是3，诸如此类，共有4种情况但因为完全平方数AA和BB是四位数，A和B最多是两位数，所以只能有A和B的和是101，差是33，那么A=（10133）2=34，原来的四位数为3434=11564请写出所有各位数字互不相同的三位奇数，使得它能被它的每一个数位上的数字整除【分析】首先所有的奇数有1、3、5、7、9五个数字，再进一步根据被数整除的特征逐一分析探讨得出答案即可【解答】解：从1、3、5、7、9中选出3个，显然无9，因为若有9，要求其他两位数字之和为9的倍数，这是做不到的从1、3、5、7选出三个数共4种情况，而有5时必须在末尾1、3、5：135，315；1、3、7：无（1+3+7=11不是3的倍数）；1、5、7：175，715（不是7的倍数，舍去）；3、5、7：735，375（不是7的倍数，舍去）；所以符合条件的三位数有：135、315、175、7355在一个两位数的十位与个位数字之间插入一个数字0，得到一个三位数（例如21变成了201），结果这个三位数恰好能被原来的两位数整除请问：所有满足条件的两位数之和是多少？【分析】设这样的两位数的十位数字为A，个位数字为B，由题意依据数的组成知识，可知100A+B能被10A+B整除；因为100A+B=90A+（10A+B），由数的整除性质可知90A能被10A+B整除而90A=2325A，A的取值范围是1至9这9个数字利用穷举法即可推出符合条件的两位数【解答】解：设这样的两位数的十位数字为A，个位数字为B，由题意依据数的组成知识，可知100A+B能被10A+B整除因为100A+B=90A+（10A+B），由数的整除性质可知90A能被10A+B整除因为90A=2325A，根据A的取值，可以列举出所有符合题意的两位数如下表所示：由上述列举可得，符合条件的两位数分别是：10，15，18，20，30，40，45，50，60，70，80，9010+15+18+20+30+40+45+50+60+70+80+90=（10+90）+（20+80）+（30+70）+（40+60）+50+15+45+18=450+60+18=528答：所有满足条件的两位数之和是5286用2、3、4、5、6、7六个数字组成两个三位数，要使这两个三位数与540的最大公约数尽可能的大，这两个三位数应该分别是多少？【分析】设组成两个三位数为A和B，（A，B，540）表示A，B和540的最大公约数，设 d=（A，B，540），540=223335，因为2、3、4、5、6、7这六个数字中只有一个是5的倍数，所以d的因数中不可能包含5，则d的最大值为：22333=108，据此解答即可【解答】解：设（A，B，540）表示A，B和540的最大公约数，设 d=（A，B，540），540=223335，因为2、3、4、5、6、7这六个数字中只有一个是5的倍数，所以d的因数中不可能包含5，则d的最大值为：22333=108，此时这两个三位数分别是432、756答：这两个三位数应该分别是432、7567一个自然数，它与99的乘积的各位数字都是偶数，求满足要求的最小值【分析】设自然数为n，与99的乘积为99n，然后根据99的整除性质，可知99n能同时被9和11整除，被9整除：各位数字和，是9的倍数；被11整除：奇数位数字和与偶数位数字和的差，能被11整除（或为0）再根据各位数字都是偶数，且数字和是9的倍数，那么数字和就是18的整数倍经过试算，可知两位数、三位数、四位数、五位数只军无解，六位数时，228888为最小的符合条件的数，进一步解决问题【解答】解：设自然数为n，与99的乘积为99n，99=911，99n能同时被9和11整除，被9整除：各位数字和，是9的倍数；被11整除：奇数位数字和与偶数位数字和的差，能被11整除（或为0）各位数字都是偶数，且数字和是9的倍数，那么数字和就是18的整数倍再看怎么满足能被11整除，数字和为18，不能满足；数字和为36，1818=0，满足，经试乘积最小为228888所求自然数最小为：22888899=2312答：满足要求的最小值23128有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而且其中任意两个数的乘积都能被第三个数整除满足上述条件的3个自然数之和最小是多少？【分析】由于这三个自然数其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，所以三个数的形式应为：ab，ac，bc，其中a，b，c两两互质，且不能为1取最小的三个，两两互质的数2，3，5，得三个数分别为23=6，25=10，35=15【解答】解：根据题意可知，三个数的形式应为：ab，ac，bc，其中a，b，c两两互质，且不能为1取最小的三个，两两互质的数2，3，5，得三个数分别为23=6，25=10，35=156+10+15=31答：三个自然数的和的最小值是319小明与小华玩游戏，规则如下：开始每人都是1分，每局获胜的小朋友都可以把自己的分数乘以3，输的小朋友保持分数不变，最后小明获胜，他比小华多的分数是99的倍数，那么他们至少玩了多少局？【分析】设小华赢了x局，小明赢了x+t局，t是正整数，则3x+t3x=99m，m也是正整数，即3x（3t1）=119m【解答】解：设小华赢了x局，小明赢了x+t局，t是正整数，则3x+t3x=99m，m也是正整数，即3x（3t1）=119m，所以3t1是11的倍数，321=8，331=26，341=80，这些都不是11的倍数，而351=242=1122，可以满足条件，所以t最小值为5所以他们最少玩了5局，小明赢5局，小华赢0局答：他们至少玩了5局10对于一个自然数N，如果具有这样的性质就称为“破坏数”：把它添加到任何一个自然数的右端，形成的新数都不能被N+1整除那么在1至2008这2008个自然数中有多少个“破坏数”？【分析】首先，所有的奇数应该都具有这样的性质，因为它添加到任何自然数的右端必然还是奇数，而N+1是偶数，奇数不可能被偶数整除只要找出2008个自然数中奇数的个数即可，据此解答【解答】解：N+1是偶数，奇数不可能被偶数整除，只要找出2008个自然数中奇数的个数即可因为1至2008这2008个自然数中有1004个奇数，那么这2008个数中有1004个“破坏数”二、解答题（共12小题，满分0分）11（1）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20；（2）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的后两位是04；（3）求满足下列条件的最小自然数，使得它的平方的前两位是20，后两位是04【分析】（1）因为1414=196，1515=225，因此，平方的前两位是20的三位数不存在；那么再看平方的前两位是20的四位数，前两位是20的四位数最小是4545=2025，因此最小数是45（2）平方最后一位是4的，只有22或88，但要满足后两位为04，通过试探，只有4848=2304，符合最小数（3）通过试探448448=200704，符合要求【解答】解：（1）因为1414=196，1515=225，因此，平方的前两位是20的三位数不存在；那么再看平方的前两位是20的四位数，前两位是20的四位数最小是4545=2025，因此最小数是45（2）平方最后一位是4的，只有22或88，但通过试探，只有4848=2304，符合最小数（3）448448=200704，最小数是44812已知n!+4等于两个相邻自然数的乘积，试确定自然数n的值（n!=123n）【分析】分以下情况讨论：n=1；n=2；n3针对每种情况进行讨论分析，得出结果【解答】解：当n=1，此时1+4=5，不是两个相邻自然数的乘积；当n=2，此时12+4=6=23；当n3时，123n+4除以3余1而两个相邻的数相乘除以3余0或2，矛盾，证毕所以n=213已知存在三个小于20的自然数，它们的最大公约数是1，且两两均不互质请写出所有可能的答案【分析】三个数都不是质数，至少是两个质数的乘积，两两之间的最大公约数只能分别是2，3和5，这种自然数有6，10，15和12，10，15及18，10，15三组【解答】解：有三组：6，10，15；12，10，15；18，10，15；答：有3组这种可能的答案：6，10，15；12，10，15；18，10，1514三个两位奇数，它们的最大公约数是l，但是两两均不互质，且三个数的最小公倍数共有18个约数求所有满足要求的情况【分析】首先判断出满足要求的数的最小公倍数都是3、5、7、11的有限次方组合，即n=3x5y7z11w，然后根据三个数的最小公倍数共有18个约数，列举法可以得到x=2、y=2、z=1、w=0或x=2、y=2、z=0、w=1，又因为三个两位数都是奇数，如n=33575，首先把它化成三个两两互质的形式：n=9257，然后再把9、25、7分别乘以3、5、7中不是本身约数的数，如：9乘以5或7，而且3、5、7这两个数必须只能出现一次，求出第一组满足条件的三位数，同理，求出另一组满足条件的三位数即可【解答】解：根据题意，可得所有满足要求的数的最小公倍数都是3、5、7、11的有限次方组合，即n=3x5y7z11w，因为9是3的倍数，所以没列举，三个两位数的最小公倍数不包括大于或等于13的数的有限次方，可以用列举法证明：65、39、91都不满足条件；因为三个数的最小公倍数共有18个约数，列举法可以得到x=2、y=2、z=1、w=0或x=2、y=2、z=0、w=1，又因为三个两位数都是奇数，如n=33575，首先把它化成三个两两互质的形式：n=9257，然后再把9、25、7分别乘以3、5、7中不是本身约数的数，如：9乘以5或7，而且3、5、7这两个数必须只能出现一次，可得第一组满足条件的三位数为：35、63、75；同理，可得第二组满足条件的三位数为：55、75、99答：所有满足要求的情况为：35，63，75；55，75，9915147lO2008的末尾有多少个连续的零？【分析】欲求算式147102008的计算结果，末尾有多少个连续的0，只要求出因数里面有多少个5即可解答【解答】解：因为2足够多，所以有1个因数5就有1个0，先计算12008共有多少个因数5：20085=401余3；4015=80余1；805=16165=3余1；所以共有401+80+16+3=500这500个5分别处于：1，4，7，10，2，5，8，11，3，6，9，12，中5003=166余21，4，7，10，中的10是5，10，15，中的第二个，所以1，4，7，10，中共有167个5，又1，4，7，10，中因数2的个数显然大于167；故共有167个0答：147lO2008的末尾有167个连续的零16一个四位数除以它后两位数字组成的两位数，余数恰好是它前两位数字组成的两位数如果它后两位数字组成的两位数是质数，那么原来的四位数是多少？【分析】设这个四个位数的前两位数和后两位数分别为a，b（b为质数），根据题意，可得：100a+b=mb+a，整理，可得99a=（m1）b，即3311a=（m1）b；因为b是质数，所以m1是9的倍数，设m1=9n，因为余数小于除数，所以ab，因此m199，判断出m、n的取值，由，可得b=，因此b的因数有和11，求出a的值，进而求出b的值和原来的四位数是多少即可【解答】解：设这个四个位数的前两位数和后两位数分别为a，b（b为质数），根据题意，可得：100a+b=mb+a，整理，可得99a=（m1）b，即3311a=（m1）b；因为b是质数，所以m1是9的倍数，设m1=9n，因为余数小于除数，所以ab，因此m199，则m1=9、18、27、36、45、54、63、72、81、90，可得n=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，由，可得b=，因此b的因数有和11，则，a是两位数，所以a=n=10，此时b=11，101111=9110，即原来的四位数是1011答：原来的四位数是101117任意一些末两位数是25的数相乘，它们的乘积末两位数仍是25，我们就称25是“变不掉的两位数尾巴”显然000是“变不掉的三位数尾巴”，请写出所有的“变不掉的三位数尾巴”【分析】设变不掉的三位数尾巴是（abc），x，y，m，n表示正整，得1000x+（abc）1000y+（abc）=1000m+（abc），比较末三位得（abc）（abc）=（abc），或1000n+abc，解得（abc）=0，1，进一步解决问题【解答】解：设变不掉的三位数尾巴是（abc），依题意，得1000x+（abc）1000y+（abc）=1000000xy+1000（x+y）（abc）+（abc）（abc）=1000m+（abc），比较末三位得（abc）（abc）=（abc），或1000n+abc，解得（abc）=0，1，或（abc）（abc）1=1000n=5323n，（abc）与（abc）1互质，由后者得（abc）=125d，1d7，125d1=8n，8|5d1，d=5；或（abc）=125d+1，125d+1=8n，8|5d+1，d=3答：变不掉的三位数尾巴是000，或001，或376，或62518在3和5之间插入6、30、20三个数，可以得到3、6、30、20、5这样一串数，其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积请你在4与3之间插入三个非零自然数，使得其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积【分析】设在4与3之间插入三个非零自然数分别是x、y、z，首先根据其中每相邻两个数的和都可以整除它们的乘积，分别求出x、z的值，然后求出y的值即可【解答】解：设在4与3之间插入三个非零自然数分别是x、y、z，（1）根据题意，可得是一个整数，因为=4，它是一个整数，所以x+4=8，或x+4=16，解得x=4，或x=12；（2）根据题意，可得是一个整数，因为，它是一个整数，所以z+3=9，解得z=6；（3）x=4时，y=4或y=12，z=6，因为当x=4，y=4，z=6时，4+6=10，46=24，10不能整除24，不符合题意，因此x=4，y=12，z=6；（4）x=12时，y=6或y=12，z=6，综上，可得满足条件的数有3组：12、6、6，或12、12、6，或4、12、619M、N是互为反序的两个三位数，且MN请问：（1）如果M和N的最大公约数是7，求M； （2）如果M和N的最大公约数是21，求M【分析】设M=abc，N=bca，则MN=100a+10b+c（100c+10b+a）=99a99c=99（ac）；（1）因为M和N的最大公约数是7，所以M与MN的最大公约数也是7，可得99（ac）是7的倍数，所以ac=7，解得，所以M=9b2或M=8b1，然后根据是7的倍数的特征：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除，求出b的值，进而求出M的值即可；（2）同（1），可得M=9b2或M=8b1，它是21的倍数，所以它即是7的倍数，又是3的倍数，然后根据是7、3的倍数的特征，求出b的值，进而求出M的值即可【解答】解：设M=abc，N=bca，则MN=100a+10b+c（100c+10b+a）=99a99c=99（ac）；（1）因为M和N的最大公约数是7，所以M与MN的最大公约数也是7，可得99（ac）是7的倍数，所以ac=7，解得，M=9b2或M=8b1，M是7的倍数，当M=9b2时，可得90+b4=86+b是7的倍数，此时b=5，M=952；当M=8b1时，可得80+b2=78+b是7的倍数，此时b=6，M=861，N=168，因为861、168的最大公约数是21，所以不符合题意，舍去；综上，如果M和N的最大公约数是7，则M=952；（2）同（1），可得M=9b2或M=8b1，它是21的倍数，所以它即是7的倍数，又是3的倍数，解得M=861，N=168所以如果M和N的最大公约数是7，则M=86120用l、2、3、4、5、6这六个数字组成两个三位数A和B，那么A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是多少？【分析】设（A，B，540）表示A，B和540的最大公约数，设d=（A，B，540），540=223335，因为1、2、3、4、5、6这六个数字中只有一个是5的倍数，所以d的因数中不可能包含5；又因为是9的倍数的特征是各位上的数字之和是9的倍数，l、2、3、4、5、6这六个数字中只有1、3、5，或2、3、4的和是9的倍数，所以A、B的公约数中不可能包含9，即d的因数中不可能包含9，则d的最大值为：223=12，据此解答即可【解答】解：设（A，B，540）表示A，B和540的最大公约数，设d=（A，B，540），540=223335，因为1、2、3、4、5、6这六个数字中只有一个是5的倍数，所以d的因数中不可能包含5，又因为是9的倍数的特征是各位上的数字之和是9的倍数，l、2、3、4、5、6这六个数字中只有1、3、5，或2、3、4的和是9的倍数，所以A、B的公约数中不可能包含9，即d的因数中不可能包含9，则d的最大值为：223=12答：A、B、540这三个数的最大公约数最大可能是1221请将l、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11按合适的顺序写成一行，使得这一行数中的任何一个都是它前面所有数之和的约数【分析】根据约数的概念，经过多次试探，可排出：6、2、1、9、3、7、4、8、10、5、11；还有其他情况【解答】解：有以下两种排列方法：6、2、1、9、3、7、4、8、10、5、11；11、1、2、7、3、8、4、9、5、10、622一根红色的长线，将它对折，再对折，经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些红色的短线；一根白色的长线，经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断，得到一些白色的短线已知红色短线比白色短线多m且它们的数量之和是100的倍数请问：红色短线至少有多少条？【分析】根据题意我们可以用两种线实际操作演示，通过演示得出一根红色的长线经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断得到（2m+1）条短线，一根白色的长线经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断得到（2n+1）条短线；再根据mn和红色短线的数量与白色短线的数量之和是100的倍数，推出最小值【解答】解：我们可以实际操作，通过操作得出一根红色的长线经过m次对折后将所得到的线束从中间剪断得到（2m+1）条短线，一根白色的长线经过n次对折后将所得到的线束从中间剪断得到（2n+1）条短线；则（2m+1）+（2n+1）=100a（a为正整数），2m+2n+2=100a，a=，因为（2m+1）有最小值，则m要有最小值，又因为a为正整数，且mn，则得到：a=1，m+n=49，那么m=25，n=24则2m+1=50+1=51（条）答：红色短线至少有51条三、解答题（共8小题，满分0分）23求出所有正整数n，使得25+n能整除25n【分析】根据题意，可得是一个整数，因为=25，它是一个整数，而且625=1255=6251，所以25+n=125，或25+n=625，进而求出n的值即可【解答】解：根据题意，可得是一个整数，因为=25，它是一个整数，而且625=1255=6251，所以25+n=125，或25+n=625，解得n=100，或n=600故n=100，或n=600时，25+n能整除25n24一个自然数至少有4个约数，并且该数等于其最小的4个约数的平方之和，请找出这样的自然数【分析】显然这个数至少有两个质因子设所含质因子中最小两个为p，q（pq），（此数只含有一个质因子P的话，最小四约数为1，p，p2，p3，其平方和=此数不被p整除矛盾） 如果p不为2则该数为奇数，约数全奇，四个奇数的平方和为偶数 不等于该数 矛盾p=2该数为偶数，该数最小四因子为1，2，a，b时，a、b不可同时为偶或者同时为奇，否则平方和为奇数也不等于该数分奇偶情况讨论如下：最小四约数可能为1，2，q，2q或1，2，4，q；得出答案即可【解答】解：（1）最小四约数可能为1，2，q，2q令n=2kq，此时2kq=1+4+5q2=5（q2+1）右边含质因子q 只能q=5，代入检验有k=13，该数为130；（2）最小四约数可能为1，2，4，q，其中q为大于4的质数，令n=4kq此时4kq=q2+21得到q|21，只能q=7，代入检验k无整解于是符合要求的只有13025一个四位数的各位数字互不相同，将其千位与个位数字调换后形成新的四位数，新四位数与原数的最大公约数是63，则原四位数可能是多少？【分析】设M=abcd，N=dbca，则MN=1000a+100b+10c+d（1000d+100b+10c+a）=999a999d=999（ad）；因为M和N的最大公约数是63，所以M与MN的最大公约数也是63，可得999（ad）是7、9的倍数，所以ad=7，解得，所以M=9bc2或M=8bc1，M是7、9的倍数，然后分类讨论，求出原四位数可能是多少即可【解答】解：设M=abcd，N=dbca，则MN=1000a+100b+10c+d（1000d+100b+10c+a）=999a999d=999（ad）；因为M和N的最大公约数是63，所以M与MN的最大公约数也是63，可得999（ad）是7、9的倍数，所以ad=7，解得，M=9bc2或M=8bc1，M是7、9的倍数，当M=9bc2时，因为M是9的倍数，所以9+b+c+2=11+b+c是9的倍数，因此b+c=7或b+c=16（舍去），经验证，9702满足题意，同理，2709也满足题意；当M=8bc1时，因为M是9的倍数，所以8+b+c+1=9+b+c是9的倍数，因此b+c=9或b+c=18（舍去），经验证，8631满足题意，同理，1638也满足题意，综上，原四位数是9702、2709、8631或163826一个不超过200的自然数，如裂川四进制表示，那么它的数字和是5；如果用六进制表示，那么它的数字和是8；如果用八进制表示，那么它的数字和是9如果用十进制表示，这个数是多少？【分析】利用如果一个数为n进制数，这个自然数和各个数为上的数字和除以n1的余数相同，换句话说也就是关于n1同余，由此利用同余分析解答即可【解答】解：若abc为n进制数，则abc=a+b+c（modn1），设这个数为x，由题意可得x=5（mod3），x=8（mod5），x=9（mod7），则x=23（mod105）x=23或128，23=113（4进制）23=35（6进制）23=27（8进制）23满足题意128=3000（4进制）128=332（6进制）128=200（8进制）符合条件的为23答：这个数是2327把一个两位质数写在另一个不同的两位质数右边，得到一个四位数，这个四位数能被这两个质数之和的一半整除这样的两个质数乘积最大是多少？最小是多少？【分析】根据题意，设出两个质数，再根据题中的数量关系，列出方程，再根据未知数的取值受限，解答即可【解答】解：设a，b是满足题意的质数，根据一个两位质数写在另一个两位质数后面，得到一个四位数，它能被这两个质数之和的一半整除那么有100a+b=k（a+b）2（ k为大于0的整数）即（200k）a=（k2）b由于a，b均为质数，所以k2可以整除a，200k可以整除b那么设k2=ma，200k=mb，（ m为整数）得到m（a+b）=198由于a+b可以被2整除所以m是99的约数可能是1，3，9，11，33，99若m=1，a+b=198且为两位数 显然只有99+99 这时a，b不是质数若m=3，a+b=66 则 a=13 b=53或a=19 b=47或a=23 b=43或a=29 b=37若m=9，a+b=22 则a=11 b=11（舍去）其他的m值都不存在满足的a，b综上a，b实数对有（13，53）（19，47）（23，43）（29，37）共4对1353=689，1947=893，2343=989，2937=1073所以两个质数乘积最大是：1073乘积最小是：689答：这样的两个质数乘积最大是1073，最小是68928用l、2、3、4、5各一个可以组成120个五位数，你能否从这120个数里面找出11个数来，使得它们除以11的余数互不相同？如果五个数字是1、3、4、6、8呢？【分析】我们看能被11整除的数的特征：把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来，再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数就一定能被11整除这个差是几，那么余数就是几【解答】解：设一个五位数是，奇位数字之和与偶位数字用A、B来表示，另AB，有ABk（mod11），其中0K10（1）用1、2、3、4、5组成的一个，数字和为A+B=15，因为A+B与AB奇偶数相同，那么用1、2、3、4、5不能 组成余数为0的数，所以不能找到使得他们除以11的余数互不相同（2）用1、3、4、6、8组成一个，数字和为A+B=22，因为A+B与AB奇偶相同，那么AB一定为偶数，那些奇数的余数只能出现在AB11时，当K=9，那么AB=20不可能出现，所以不能找到使得它们除以11的余数互不相同29用1、2、3、4、5、6这6个数字各一次组成两个三位数A和B请问：A、B、630这三个数的最大公约数最大可能是多少？最小公倍数最小可能是多少？【分析】（1）设（A，B，630）表示A，B和630的最大公约数，设d=（A，B，630），630=23357，因为1、2、3、4、5、6这六个数字中只有一个是5的倍数，所以d的因数中不可能包含5；又因为是9的倍数的特征是各位上的数字之和是9的倍数，l、2、3、4、5、6这六个数字中只有1、3、5，或2、3、4的和是9的倍数，所以A、B的公约数中不可能包含9，即d的因数中不可能包含9，则d的最大值为：37=21，据此解答即可；（2）当这两个三位数分别是：231、546时，231、546、630这三个数的公约数最大，公倍数最小，进而求出它们的最小公倍数即可【解答】解：（1）设（A，B，630）表示A，B和630的最大公约数，设d=（A，B，630），630=223335，因为1、2、3、4、5、6这六个数字中只有一个是5的倍数，所以d的因数中不可能包含5，又因为是9的倍数的特征是各位上的数字之和是9的倍数，l、2、3、4、5、6这六个数字中只有1、3、5，或2、3、4的和是9的倍数，所以A、B的公约数中不可能包含9，即d的因数中不可能包含9，则d的最大值为：37=21，此时这两个三位数分别是：231、546，即A、B、630这三个数的最大公约数最大可能是21（2）当这两个三位数分别是：231、546时，231、546、630这三个数的公约数最大，公倍数最小，因为231=2111，546=21213，630=21235，所以231、546、630这三个数的最小公倍数是：211121335=9009030我们将具有如下性质的自然数K称为“巨人数”：如果一个整数M能被K整除，则把M的各位数字按相反顺序重写时所得的数也能被K整除，请求出100以内的所有的“巨人数”【分析】能被1、3、9、11、33、99整除的数，各位数字按相反顺序重写时所得的数也能被1、3、9、11、33、99整除，由此写出答案即可【解答】解：符合条件的数有1，3，9，11，33，99都是“巨人数”参与本试卷答题和审题的老师有：齐敬孝；73zzx；pysxzly；奋斗；xiaosh；lqt；duaizh（排名不分先后）菁优网2016年5月22日考点卡片1数字串问题【知识点归纳】【命题方向】常考题型：例1：已知一串有规律的数：1，那么，在这串数中，从左往右数，第10个数是分析：由1，得出规律：从第三个数开始，分子是前一个分数的分子与分母的和，分母是本身的分子与前一个分数的分母的和所以后面的分数依次为：第10个数为解：有原题得出规律从第三个数开始，分子是前一个分数的分子与分母的和，分母是本身的分子与前一个分数的分母的和所以后面的分数依次为：第10个数为第10个数为故答案为：点评：解答此题关键的一点是从原题得出规律，考查学生总结规律的能力2其它进制问题【知识点归纳】除了二进制还有八进制、十六进制，定义和运算方式和二进制几乎相同，只是十六进制由09，AF组成，字母不区分大小写与10进制的对应关系是：09对应09；AF对应1015；N进制的数可以用0（N1）的数表示超过9的用字母AF【命题方向】常考题型：例1：填空（1）（21）10=（210）3（2）（184）10=（504）6（3）（153）10=（306）7（4）（103）10=（403）5分析：把十进制的数转换为其他进制的数的方法是：把要转换的数，除以其它进制，得到商和余数然后用得到的商除以其它进制，直到商为0为止再将所有余数倒序排列即可解：（1）213=70，73=21，23=02，把所有余数倒序排列，即：210所以：（21）10=（ 210）3（2）1846=304，306=50，56=05，把所有余数倒序排列，即：504所以：（184）10=（ 504）6（3）1537=216，217=30，37=03，把所有余数倒序排列，即：306所以：（153）10=（ 306）7（4）1035=203，205=40，45=04，把所有余数倒序排列，即：403所以：（103）10=（ 403）5故答案为：210；504；306；403点评：此题考查了把十进制的数转换为其他进制的数问题，重点掌握转换的方法【解题方法点拨】对于进位制我们要注意本质是：n进制就是逢n进一3数字问题【知识点归纳】1数字问题的主要题型：数字问题是研究有关数字的特殊结构、特殊关系以及数字运算中变换问题的一类问题，相对来说，难度较大通常情况下题目会给出某个数各个位数关系，求这个数为多少2核心知识（1）数字的拆分是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、因式分解、同余理论等（2）数字的排列与位数关系解答数字的排列与位数关系时，经常需要借助于首尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入法、假设法等一些方法，进行快速求解【命题方向】常考题型：例1：在1到400的整数中，至少能被3和5中的一个数整除的数有（）个5A、213 B、187 C、133 D、80 分析：先求出400里面有几个3，就是1400中有多少个数能被3整除，再求出400里面有几个5，就是1400中有多少个数能被5整除；能同时倍3和5整除的数是15的倍数；求出400里面有多少个15，就是能同时被3和5整除的数，然后用3的倍数的个数加上5的倍数的个数然后减去15的倍数的个数即可解：1到400中能被3整除有：4003133（个）；1到400中能被5整除有：4005=80（个）；1到400中既能被3也能被5整除有：400（35）26（个）；在1到400的整数中，至少能被3和5中的一个数整除的数：133+8026=187（个）；故选：B点评：本题要注意能同时被3和5整除的数，是重复计算的数字例2：自然数12321，90009，41014 有一个共同特征：它们倒过来写还是原来的数，那么具有这种“特征”的五位偶数有400个分析：倒过来写还是原来的数，具有这种“特征”的五位偶数万位和个位有2，4，6，8这4种选择；千位和十位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10种选择；百位有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10种选择可以组成倒过来写还是原来的数具有这种“特征”的五位偶数则有41010=400个解：根据分析，倒过来写还是原来的数，具有这种“特征”的五位偶数有41010=