山西省长治市2020届高三上学期第二次联考 数学（理）（扫描版含答案）

共 7 页，第 1 页 长治市长治市 2019 年高三年级九月份统一联考（理科）数学答案年高三年级九月份统一联考（理科）数学答案 1-5 C B A D D 6-10 A B A B C 11,12 A A 13.0 14.1 15.42 16. 13 17 17.解： （） ( )sincoscos cos sin sincos f xxxx x x xx 2 1 3 2 3121 2 222 31 22 22 sinx 2 6 4 分 又因为xx 21 的最小值为 2 ，所以 22 T ,即 2 2 T ， 所以1，即 sin 2 6 f xx 6 分 （） 123 sinsincos 233625 f 7 分 1555 sinsinsin 2126613 f 所以 5 sin 13 ，8 分 又因为,( ,) 0 2 所以 412 sin,cos 513 ，10 分 所以 3124556 coscoscossinsin 51351365 .12 分 18.解：(1)证明 方法一 如图(1)， 过 E 作 EOBC，垂足为 O，连接 OF. 由题意得ABCDBC， 可证出EOCFOC. 所以EOCFOC， 即 FOBC. 又 EOBC，EOFOO， 共 7 页，第 2 页 因此 BC平面 EFO. 又 EF平面 EFO，所以 EFBC.6 分 方法二 由题意，以 B 为坐标原点，在平面 DBC 内过 B 作垂直于 BC 的直线为 x 轴，BC 所 在直线为 y 轴，在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴，建立如图(2)所示的空间直角 坐标系， 易得 B(0,0,0)， A(0，1，)，D(，1,0)，C(0,2,0)， 因而 E(0，)， F(，0)，所以(，0，)，(0,2,0)， 因此0. 从而，所以 EFBC.6 分 (2)解 方法一 如图(1)，过 O 作 OGBF，垂足为 G，连接 EG. 由平面 ABC平面 BDC， 从而 EO平面 BDC. 又 OGBF， 由三垂线定理知 EGBF. 因此EGO 为二面角 EBFC 的平面角 在EOC 中， EOEC FCBC. BCcos 30 ， 由BGOBFC 知，OGFC， 因此 tanEGO2， 从而 sinEGO， 共 7 页，第 3 页 即二面角 EBFC 的正弦值为.12 分 方法二 如图(2)，平面 BFC 的一个法向量为 n1(0,0,1) 设平面 BEF 的法向量为 n2(x，y，z)， 又(，0)，(0，)， 由得其中一个 n2(1，1) 设二面角 EBFC 的大小为 ， 且由题意知 为锐角， 则 cos|cos n1， n2 | . 因此 sin，即二面角 EBFC 的正弦值为.12 分 19.解： （）焦点到准线的距离为 2，即2p .，所以求抛物线C的方程为 2 4xy2 分 （）抛物线的方程为 2 4xy，即 2 1 4 yx，所以 1 2 yx 3 分 设 11 ,A x y， 22 ,B xy， 2 11 11 : 42 xx lyxx 2 22 22 : 42 xx lyxx 由于 12 ll，所以 12 1 22 xx ，即 12 4x x 5 分 设直线l方程为ykxm，与抛物线方程联立，得 2 4 ykxm xy 所以 2 440 xkxm 2 16160km， 1212 4 ,44xxk x xm ，所以1m 7 分 即:1l ykx 共 7 页，第 4 页 联立方程 2 11 2 22 24 24 xx yx xx yx 得 2 1 xk y ，即：2 , 1Mk 8 分 M点到直线l的距离 2 22 21 21 1 11 k kk d kk 9 分 2 22 1212 144 1ABkxxx xk 10 分 所以 2 3 22 2 2 21 1 4 14 14 2 1 k Skk k 11 分 当0k 时，MAB面积取得最小值 4. 12 分 20. （1） 因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为， .2 分 一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C3 1(1 )21 (1 ) 2， .3 分 所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为 . 5 分 （2）设每篇学位论文的评审费为 元，则 的可能取值为 900，1500. ， ， .7 分 所以 . .8 分 令 共 7 页，第 5 页 .9 分 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减, 所以的最大值为. .11 分 所以实施此方案，最高费用为（万元）. 综上，若以此方案实施，不会超过预算. 12 分 21.解： （1） 2 2 ( )(21)(1)1 (1)()(1) xx xx fxxaexaxe xaxa exa xe 1 分 当1a 时，( )0fx ，解得1,xxa 或，( )0fx ，解得1ax ， f(x)在(,),( 1,)a 上是增函数，在(, 1)a上是减函数； 2 分 当1a 时，( )0fx ，解得,1xax 或，( )0fx ，解得1xa ， f(x)在(, 1),(,)a 上是增函数，在( 1,)a 上是减函数； 3 分 当1a 时，( )0fx 恒成立，且只在1x 时( )0fx ，f(x)在 R 上是增函数. 4 分 （2）R、时，sin 1,1 、cos， 若要R、使得(sin )(cos )1gf成立， 只需 1,1x 时， maxmin ( )( )1g xf x 成立， 5 分 由（1）知当1a 时，f(x)在 1,1上是增函数， min 3 ( )( 1) a f xf e ， 6 分 当11a 时，f(x) 在 1,a 上是减函数，在,1a上是增函数， min 1 ( )() a a f xfa e ， 7 分 当1a 时，f(x)在 1,1上是减函数， min ( )(1)(1)f xfae， 8 分 共 7 页，第 6 页 2 ( )22g xxaxa ，对称轴xa， 当1a 时，g(x)在 1,1上是增函数， max ( )(1)41g xga， maxmin 3 ( )( )411 a g xf xa e ，解得 3 41 a e 1a 9 分 当11a 时，g(x) 在 1, a上是增函数，在 ,1a上是减函数， 2 max ( )( )2g xg aaa， 2 maxmin 1 ( )( )21 a a g xf xaa e 整理得 (1)(1)1 0 a a aa e e ，11a ，只需(1)10 a a e ， 令( )(1)1 x h xx e，( )(2) x h xx e，当11x 时，( )0h x ，( )h x在( 1,1)上 是增函数，又(0)0h，0a 时，( )0h a ，01a 11 分 当1a 时，g(x)在 1,1上是减函数， max ( )( 1)1g xg ， maxmin ( )( )1 (1)1g xf xae ，解得1a 综上所述，0a 或1a 12 分 22.解： （1）由题意：曲线的直角坐标方程为.4 分 （2）设直线 的参数方程为 cos 1sin xt yt （为参数）代入曲线的方程有： ，.6 分 设点对应的参数分别为，则， 则，.8 分 ，直线 的方程为.10 分 23.解：(1)当 a3 时，f(x) 2x5，x2， 1，2x3， 2x5，x3. .2 分 当 x2 时，由 f(x)3 得2x53，解得 x1；.3 分 C 22 1 169 xy l C 22 7sin932sin1280tt ,A B 12 ,t t 21 2tt 121 2 32sin 97sin ttt 2 121 2 128 2 97sin t tt 2 sin1l0 x 共 7 页，第 7 页 当 2x3 时，f(x)3 无解