专题11+概率统计大题-冲刺高考最后一个月之2019高考数学（文）名师押题高端精品

专题十一 概率统计大题（1） 命题特点和预测：分析近8年的全国新课标1文数试卷，发现8年8考，每年1题以实际生活问题为背景，以茎叶图、频率分布直方图、折线图为载体，第1问多为考查抽样方法、总体估计等统计问题，第2问多为古典概型、回归分析或独立性检验等问题，位置为18题或19题，难度为中档题.2019年仍将以实际生活问题为背景，以茎叶图、频率分布直方图、折线图为载体，第1问多为考查抽样方法、总体估计等统计问题，第2问多为古典概型、回归分析或独立性检验等问题，难度仍为中档题.（二）历年试题比较：年份 题目2018年【2018新课标1，文19】某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量频数151310165（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）2017年【2017新课标1，文19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm）下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得，其中为抽取的第个零件的尺寸，（1）求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差（精确到0.01）附：样本的相关系数，2016年【2016新课标1文数】（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数.（）若=19，求y与x的函数解析式；（）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5，求的最小值；（）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？2015年【2015高考新课标1，文19】（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费和年销售量数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.46.656.36.8289.81.61469108.8表中= ， =（I）根据散点图判断，与，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 ，根据（II）的结果回答下列问题：（i）当年宣传费时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii）当年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据,，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，2014年【2014全国1，文18】从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：质量指标值分组75，85)85，95)95，105)105，115)115，125)频数62638228（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？2013年【2013课标全国，文18】(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)试验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？2012年【2012新课标，文18】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。（）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解析式。 （）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920频数10201616151310(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.2011年【2011新课标，文19】（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组频数B配方的频数分布表指标值分组频数（）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（II）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式为估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润.【解析与点睛】（2018年）【解析】（1）（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.20.1+10.1+2.60.1+20.05=0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为估计使用节水龙头后，一年可节省水（2017年）【解析】 （1）因为的平均数为，所以样本的相关系数：，因为，所以可以认为这一天生产的零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（2）（i），第个零件的尺寸为，而，所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查（ii） 剔除离群值，即第个数据，剩下数据的平均值为，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为，因为.剔除第个数据，剩下数据的样本方差为：.所以这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差估计值为【名师点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点（2016年）【解析】（）当时，；当时，所以与的函数解析式为.（）由柱状图知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46，不大于19的概率为0.7，故的最小值为19.（）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为.比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解的关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.（2015年）【解析】（）由散点图可以判断，适合作为年销售关于年宣传费用的回归方程类型. 2分（）令，先建立关于的线性回归方程，由于=，考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识（2014年）【解析】（1）（2）质量指标值的样本平均数为.质量指标值的样本方差为 .所以这种产品质量指标值（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%的规定.（2013年）【解析】（）A组平均值为(0.6+ 1.2+ 2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3 +3.2 +3.5+2.5+2.6 +1.2 +2.7+1.5 +2.9 +3.0 +3.1+2.3+2.4)=2.3，B组的平均值为(3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1 +2.5+1.2+2.7+0.5)=1.6，2.31.6, A种药的疗效更好.（）作出茎叶图如右图所示，由茎叶图知，服用A药增加的睡眠时间主要集中在2小时到3小时之间，服用B药增加的睡眠时间主要集中在1小时到2小时之间，故A种药的疗效更好.（2012年）【解析】（）当日需求量时，利润=85；当日需求量时，利润，关于的解析式为；（）(i)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的平均利润为=76.4；(ii)利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝，故当天的利润不少于75元的概率为（2011年）【解析】（）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42（）由条件知用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t94，由试验结果知，质量指标值t94的频率为0.96，所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.用B配方生产的产品平均一件的利润为（元）（三）命题专家押题题号试 题1.2 某企业为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在的产品为合格品，否则为不合格品如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图产品质量/毫克（165，175（175，185（185，195（195，205（205，215（215，225（225，235频数3221362495（）根据乙流水线样本的频率分布直方图，求乙流水线样本质量的中位数（结果保留整数）；（）从甲流水线样本中质量在的产品中任取2件产品，求两件产品中恰有一件合格品的概率；甲流水线乙流水线总计合格品不合格品总计（）由以上统计数据完成下面22列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？下面临界值表仅供参考：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，其中na+b+c+d2.随着智能手机的普及，使用手机上网成为了人们日常生活的一部分，很多消费者对手机流量的需求越来越大.长沙某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城市（总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近）采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价:(单位：元/月）和购买人数(单位：万人）的关系如表:流量包的定价（元/月）3035404550购买人数（万人）18141085（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合与的关系？并指出是正相关还是负相关；（2）求出关于的回归方程；若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定位25元/ 月，请用所求回归方程预测长沙市一个月内购买该流量包的人数能否超过20 万人.参考数据：，.参考公式：相关系数，回归直线方程，其中，.3.某学校现有学生800名，其中200名学生参加过短期实习（称为组学生），另外600名学生参加过长期实习（称为组学生），从该学校的学生中按分层抽样共抽查了80名学生，调查他们的学习能力得到组学生学习能力的茎叶图，组学生学习能力的频率分布直方图.（1）问组、组学生各抽查了多少学生，并求出直方图中的；（2）求组学生学习能力的中位数，并估计组学生学习能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若规定学习能力在内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为学习能力与实习时间长短有关.能力与实习时间列联表P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，其中na+b+c+d4.某学校为了了解高中生的艺术素养，从学校随机选取男，女同学各50人进行研究，对这100名学生在音乐、美术、戏剧、舞蹈等多个艺术项目进行多方位的素质测评，并把调查结果转化为个人的素养指标和，制成下图，其中“*”表示男同学，“+”表示女同学.若，则认定该同学为“初级水平”，若，则认定该同学为“中级水平”，若，则认定该同学为“高级水平”；若，则认定该同学为“具备一定艺术发展潜质”，否则为“不具备明显艺术发展潜质”.（I）从50名女同学的中随机选出一名，求该同学为“初级水平”的概率；（）从男同学所有“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”中任选2名，求选出的2名均为“高级水平”的概率；（）试比较这100名同学中，男、女生指标的方差的大小（只需写出结论）.5.某大型工厂招聘到一大批新员工为了解员工对工作的熟练程度，从中随机抽取100人组成样本，并统计他们的日加工零件数，得到以下数据；(1)已知日加工零件数在范围内的5名员工中，有3名男工，2名女工，现从中任取两名进行指导，求他们性别不同的概率；(2)完成频率分布直方图，并估计全体新员工每天加工零件数的平均数(每组数据以中点值代替)；6某学校在学校内招募了名男志愿者和名女志愿者，将这名志愿者的身高编成如茎叶图所示（单位：），若身高在以上（包括）定义为“高个子”，身高在以下（不包括）定义为“非高个子”。（）根据数据分别写出男、女两组身高的中位数；（）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，则各抽几人？（）在（）的基础上，从这人中选人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？7共享单车是指企业在校园、地铁站点、公共站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是一种分时租赁模式，是共享经济的一种新形态.某共享单车企业在城市就“一天中一辆单车的平均成本与租用单车数量之间的关系”进行了调查，并将相关数据统计如下表：租用单车数量（千辆）23458每天一辆车平均成本（元）3.22.421.91.5根据以上数据，研究人员设计了两种不同的回归分析模型，得到两个拟合函数：模型甲：，模型乙：.（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：完成下表（计算结果精确到0.1元）（备注： ， 称为相应于点的残差）；租用单车数量（千辆）23458每天一辆车平均成本（元）3.22.421.91.5模型甲估计值2.421.81.4残差000.10.1模型乙估计值2.321.9残差0.100分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及，并通过比较， 的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（2）这家企业在城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎并供不应求，于是该企业决定增加单车投放量.根据市场调查，市场投放量达到1万辆时，平均每辆单车一天能收入7.2元；市场投放量达到1.2万辆时，平均每辆单车一天能收入6.8元.若按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，问该企业投放量选择1万辆还是1.2万辆能获得更多利润？请说明理由.（利润=收入-成本）8某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需要再收费5元.该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）.（1）求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.已知公司前台有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？（3）小明打算将四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过，求他支付的快递费为45元的概率.9某绿色有机水果店中一款有机草莓味道鲜甜，店家每天以每斤元的价格从农场购进适量草莓，然后以每斤元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的草莓由果汁厂以每斤元的价格回收.（1）若水果店一天购进斤草莓，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：斤，）的函数解析式；（2）水果店记录了天草莓的日需求量（单位：斤），整理得下表：日需求量14151617181920频数1422141615136假设水果店在这天内每天购进斤草莓，求这天的日利润（单位：元）的平均数；若水果店一天购进斤草莓，以天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于元的概率.10噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解声音强度（单位：分贝）与声音能量（单位：）之间的关系，将测量得到的声音强度和声音能量（=1，2，10）数据作了初步处理，得到如图散点图及一些统计量的值.45.70.515.1表中，。（1）根据散点图判断，与哪一个适宜作为声音强度关于声音能量的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据表中数据，求声音强度关于声音能量的回归方程；（3）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪音污染，城市中某点共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是和，且.己知点的声音能量等于声音能量与之和。请根据（1）中的回归方程，判断点是否受到噪音污染的干扰，并说明理由。附：对于一组数据.其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：.【详细解析】1.【解析】（）因为前三组的频率之和前四组的频率之和所以中位数在第四组，设为由，解得（）甲流水线样本中质量在的产品共有5件，其中合格品有2件，设为；不合格品3件，设为从中任取2件的所有取法有，共10种，恰有一件合格品的取法有共6种，所以两件产品中恰有一件合格品的概率为 （）由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为，所以，22列联表是：甲流水线乙流水线总计合格品9296188不合格品8412总计100100200 所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下，认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关2.【解析】（1）根据题意，得，.可列表如下根据表格和参考数据，得，.因而相关系数.由于很接近1，因而可以用线性回归方程模型拟合与的关系. 由于，故其关系为负相关.（2），因而关于的回归方程为.由知，若，则，故若将流量包的价格定为25元/月，可预测长沙市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人.3.【解析】（1）由茎叶图知组学生中抽查人数为20名，组学生中应抽查（名）,由频率分布直方图得，得.（2）由茎叶图知组学生学习能力的中位数为121由（1）及频率分布直方图，估计组学生学习能力的平均数为 （3）由（1）及所给数据得能力与实习的22列联表，由上表得因此，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为学习能力与实习时间长短有关.4.【解析】（I）由图知，在50名参加测试的女同学中，指标的有15人，所以，从50名女同学中随机选出一名，该名同学为“初级水平”的概率为.（）男同学“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”共有6人，其中“中级水平”有3人，分别记为，.“高级水平”有3人，分别记为，所有可能的结果组成的基本事件有：，共15个，其中两人均为“高级水平”的共有3个，所以，所选2人均为“高级水平”的概率.（）由图可知，这100名同学中男同学指标的方差大于女同学指标的方差.5.【解析】（1）记3名男工分别为，2名女工分别为，从中任取两名进行指导，不同的取法有10种，分别为：，他们性别不同包含的基本事件有6种，分别为：，他们性别不同的概率为（2）频率分布直方图如下：估计全体新员工每天加工零件数的平均数为：6.【解析】（I）由茎叶图可知：男生中位数为：177cm，女生的中位数为：166.5cm；（）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，所以利用分层抽样的方法所抽取的“高个子”的人数为人，抽取的“非高个子”的人数为人；（）设“至少有一人是“高个子”为事件A，设高个子中选出