数字信号处理课后答案

1数字信号处理课后答案12教材第一章习题解答1用单位脉冲序列及其加权和表示题1图所示的序列。N解42121243056XNNNN2给定信号5,40,XN其它（1）画出序列的波形，标上各序列的值；X（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示序列；XN（3）令，试画出波形；12XN1X（4）令，试画出波形；22N（5）令，试画出波形。3XN3X解（1）XN的波形如题2解图（一）所示。（2）34323166164XNNN（3）的波形是XN的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图1X（二）所示。2（4）的波形是XN的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图2XN（三）所示。（5）画时，先画XN的波形，然后再右移2位，波形如题2解3X3XN图（四）所示。3判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。（1），A是常数；3COS78XNN（2）。18JE解（1），这是有理数，因此是周期序列，周期是T14；3214,7W（2），这是无理数，因此是非周期序列。,685设系统分别用下面的差分方程描述，与分别表示系统输入和输出，XNY判断系统是否是线性非时变的。（1）；2132YNXNX（3），为整常数；0（5）；2YNX（7）。0M解（1）令输入为，输出为0XN000213YNXNYN3故该系统是时不变系统。1212123YNTAXBNAXBNAXNB111122223TBXNBXNX1212AATN故该系统是线性系统。（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。令输入为，输出为，因为1XN10YNXN110Y故延时器是一个时不变系统。又因为12102012TAXNBAXNBXNATXBN故延时器是线性系统。（5）2YNX令输入为，输出为，因为0XN20200YNXNY故系统是时不变系统。又因为2121221TAXNBAXNBTXN因此系统是非线性系统。4（7）0NMYX令输入为，输出为，因为0XN00NMYX0NMYXYN故该系统是时变系统。又因为1212120NMTAXNBAXBATXNB故系统是线性系统。6给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。（1）；10NKYNX（3）；0NK（5）。XNYE解（1）只要，该系统就是因果系统，因为输出只与N时刻的和N时刻以前1N的输入有关。如果，则，因此系统是稳定系统。XNMYN（3）如果，因此系统是稳定的。系统0021KNXM是非因果的，因为输出还和XN的将来值有关（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于XN的未来值。如果，则，因此系统是稳定的。XNMXNXMYNEE57设线性时不变系统的单位脉冲响应和输入序列如题7图所示，要求HNXN画出输出输出的波形。YN解解法（1）采用图解法0MYNXHXHN图解法的过程如题7解图所示。解法（2）采用解析法。按照题7图写出XN和HN的表达式2123XNNH因为XNXAKNK所以122YNXNX将XN的表达式代入上式，得到210521245324YNNN8设线性时不变系统的单位取样响应和输入分别有以下三种情况，分HX别求出输出。YN（1）；45,HRXN（2）；42,2N6（3）。505,NHUXRN解（1）45MYNXHRN先确定求和域，由和确定对于M的非零区间如下4RM503,4N根据非零区间，将N分成四种情况求解0,NY03,1NM3447,8MNNY,0最后结果为0,7138,4NYNYN的波形如题8解图（一）所示。（2）44422215YNRNRNYN的波形如题8解图（二）所示（3）755000NMNMMMYNXHRURUNYN对于M的非零区间为。4,0,NY11054,505025NNMNN54105,3NMNNY最后写成统一表达式5203105NNYRU11设系统由下面差分方程描述；1122YNXN设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。解令XN1122HNN20,011,2,13,NHNH8归纳起来，结果为12NHUN12有一连续信号式中，COS,AXTFT20,FHZ（1）求出的周期。AT（2）用采样间隔对进行采样，试写出采样信号的表达式。02TSAXTAXT（3）画出对应的时域离散信号序列的波形，并求出的周期。AXTXNN第二章教材第二章习题解答1设和分别是和的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶JWXEJYXNY变换（1）；0XN（2）；（3）；XNY（4）。2解（1）00JWNNFTXXE令，则00,N000JWNJWNJNFTXXEXE9（2）JWNJWNJWNFTXXEXEXE（3）JWNN令，则NJWNJWNFTXXEX（4）JJYYE证明MXNXNJWNNMFTXYXYE令KNM，则JWKJNKMJWKJKJJFTXNYXYEXEY2已知01,JWXE求的傅里叶反变换。JWXN解00SIN12WJNED103线性时不变系统的频率响应传输函数如果单位脉冲响,JWJJWHEE应为实序列，试证明输入的稳态响应为HN0COSXNA。00JWYE解假设输入信号，系统单位脉冲相应为HN，系统输出为0JWNXE0000JWNJWNMJWNJWMJMYNHHEEHEHE上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。0000000000001COS212JWNJWNJJWNJJJJJJWJWNJJWXNAAEEYEHEEHE上式中是W的偶函数，相位函数是W的奇函数，JHE000000,12COSJJWJJNWJWNJJWHEYNAEE4设将以4为周期进行周期延拓，形成周期序列，画1,0XN其它XNXN出和的波形，求出的离散傅里叶级数和傅里叶变换。AXK解画出XN和的波形如题4解图所示。XN11,23142200444COSJKNJKNJKNJKJJKJKXDFSXEEE以4为周期，或者XK,111122240244SIN2JKJJKJKJKNJKJJJJEEE以4为周期XK4224COS2JWKKJKKXEFTXNXWKE5设如图所示的序列的FT用表示，不直接求出，完成下列XNJWXJWXE运算（1）；0JXE（2）；JWD（5）2JWXE解（1）7036JNXEX12（2）024JWXEDX（5）72238JWNEX6试求如下序列的傅里叶变换（2）；2112XNN（3）3,0AU解（2）22121COSJWJWNJJWNJJXEXEE（3）301JWNJWNNJWJWXEAUEAE7设（1）是实偶函数，XN（2）是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下，的傅里叶变换性XN质。解令JWJWNNXEXE（1）XN是实、偶函数，JWJWNNXEXE13两边取共轭，得到JWJWNJWNJWNXEXEXEXE因此JWJWE上式说明XN是实序列，具有共轭对称性质。JWXECOSINJWJNNXXWJ由于XN是偶函数，XNSINWN是奇函数，那么SIN0NX因此COSJWNXEX该式说明是实函数，且是W的偶函数。JW总结以上XN是实、偶函数时，对应的傅里叶变换是实、偶函数。JWXE（2）XN是实、奇函数。上面已推出，由于XN是实序列，具有共轭对称性质，即JWXEJJCOSINJWJWNNXEXEXJW由于XN是奇函数，上式中是奇函数，那么COSXCOS0NX14因此SINJWNXEXW这说明是纯虚数，且是W的奇函数。JW10若序列是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式HN1COSJWRHE求序列及其傅里叶变换。JWHE解/211COS2,201,1,0,2,COSJWJWJJWNREENEEJWJWNJWJNHEEFTHNHHHHE其它12设系统的单位取样响应，输入序列为,01NHAU，完成下面各题2XNN（1）求出系统输出序列；Y（2）分别求出、和的傅里叶变换。XNHN解（1）22NNYHXAUN（2）1520211JWJWNJWNJJWNJJJWJWJJXEEHAUAEEYEXA13已知，式中，以采样频率对02COSAXTFT0FHZ40SFHZ进行采样，得到采样信号和时域离散信号，试完成下面各题AXTAXXN（1）写出的傅里叶变换表示式；ATAXJ（2）写出和的表达式；AXTN（3）分别求出的傅里叶变换和序列的傅里叶变换。ATXN解（1）0002COSJTJTAAJTJTJTXJXEDED上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅里叶变换可以表示成002AXJ（2）02COSAANNXTTTTTN02COS,0120,5SFRADTMF16（3）0012AASKSSKXJXJKTK式中280/SSFRADS0000002CO2COS2JWJWNJWNJWNNJJJNKXEXETEEKK式中05WTRAD上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在，只有引入奇异函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。14求以下序列的Z变换及收敛域（2）；1NU（3）；N（6）210NU解（2）10222,2NNNZTUUZZZ（3）11121222,NNNNNZTUUZZZZ17（6）901022,NNZTUZ16已知1132XZZ求出对应的各种可能的序列的表达式。XZ解有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况三种收敛域对应三种不同的原序列。（1）当收敛域时，05Z112NCXNXZZDJA令1115757002NNNZZFZX，因为C内无极点，XN0；0N，C内有极点0，但Z0是一个N阶极点，改为求圆外极点留数，圆外极1点有，那么25,Z052RE,E,277052131NNZZNXSFZSFZUA（2）当收敛域时，052Z185702NZF，C内有极点05；0N1RE,0532NXNSZA，C内有极点05，0，但0是一个N阶极点，改成求C外极点留数，C外0N极点只有一个，即2，RE,21NXNSFZUA最后得到1312XNUA（3）当收敛域时，Z5702NZF，C内有极点05，2；0N1RE,05E,232NXNSZSZAN0，由收敛域判断，这是一个因果序列，因此XN0。或者这样分析，C内有极点05，2，0，但0是一个N阶极点，改成求C外极点留数，C外无极点，所以XN0。最后得到132NXUA17已知，分别求,0NXAU（1）的Z变换；（2）的Z变换；NX19（3）的Z变换。NAU解（1）1,NNXZZTAUAUZZA（2）12,DXZXZA（3）100,1NNNZTAUZZZA18已知，分别求1235ZXZ（1）收敛域对应的原序列；0XN（2）收敛域对应的原序列。2Z解112NCXNXZDJA1112335052NNNZZFZX（1）当收敛域时，内有极点05，0520C,RE,52NXNSFZ0C内有极点05,0,但0是一个N阶极点,改求C外极点留数,C外极点只有2,E,2NXSZ最后得到20212NNNXU（2（当收敛域时，ZC内有极点05,2,0,NRE,05E,2XSFZSFZ3205NNZZC内有极点05,2,0,但极点0是一个N阶极点,改成求C外极点留数,可是C,N外没有极点,因此,最后得到XN052NXU25已知网络的输入和单位脉冲响应分别为，,01,NNXAUHBUAB试（1）用卷积法求网络输出；YN（2）用ZT法求网络输出。解（1）用卷积法求YN，,MNHXBUA0N1100NNNNMMBYABAA，Y21最后得到1NABYU（2）用ZT法求YN11,XZHZAB11YZ12NCYNYDJA令111NNNZZFZYABAB,C内有极点0N,B11RE,E,NNABAYNSFZASZ因为系统是因果系统，,，最后得到0YN1NABU28若序列是因果序列，其傅里叶变换的实部如下式HN21COS,1JWRAHEW求序列及其傅里叶变换。HNJ解22221COS105JWJJWRAAEHE121051JWJRZEZAAZ求上式IZT，得到序列的共轭对称序列。HNEHN112NERCHZDJA21105NNRAZFZZZ因为是因果序列，必定是双边序列，收敛域取。HNEH1A时，C内有极点,1A21051RE,2NNEAZHNSFZZAZN0时，C内有极点,0，A21105NRAZFZHZZ所以E,E,01EHNSZASFZ又因为EEHN所以231,05,NEHA1,0,2,0,ENNHNAU01JWNJWJWHEAE32教材第三章习题解答1计算以下诸序列的N点DFT,在变换区间内,序列定义为01NN（2）；XN（4）；,0MR（6）；2COS,XNN（8）；0IWRN（10）。NXN解（2）1,0,11010NKNWNKXNNK（4）1,0,SIN1110KMNEKKNJKMNNK10,011222210102NKMNKEEEEKMJNJKMNJJNNNKJNNKMJ或且24（6）KNNJMJNNNJNNKEEWMKX22102102COS（8）解法1直接计算21SIN0008NREJRWXNJWNN1021080NKNNJJWJNNKEEWXKX221022000011KNWJJKNWJJNNNNWJNWJEEEE）（）（解法2由DFT的共轭对称性求解因为SINCOS0070RWJNRENXNNJWIMI708XN所以I7078KXNXJDFTNJXT即2177708KNKXJKJKX11211222220000KNWJJKNWJJKNWJJKNWJJEEEE结果与解法1所得结果相同。此题验证了共轭对称性。（10）解法1251,010NKNWKXN上式直接计算较难，可根据循环移位性质来求解XK。因为NRXN所以1NNXN等式两边进行DFT得到KWKXN故1,2,1NKN当时，可直接计算得出X（0）0K211010NWNNN这样，X（K）可写成如下形式1,2,10,NKWNKXN解法2时，0K2110NNKX时，0KNWNKXWNKNNNKNKKKNNKK10114322所以，260,1KWNKX即1,2,10,NKWKXN2已知下列，求KXNIDFT（1）,2,0JJNEMXKK其它（2）,2,0JJNEKMXKK其它解（1）1,0,2COS21211220NNMNEEEWKXIDFTNXMNNJMNJNMNJMNJKN（2）NMNJMNNJWEENX221271,0,2SIN212NNMNEJMNNJMNN3长度为N10的两个有限长序列1,0459NX21,0459NX作图表示、和。1N212Y解、和分别如题3解图（A）、（B）、（C）所示。1XN212YNXN14两个有限长序列和的零值区间为Y0,82XNN对每个序列作20点DFT,即,01,9XKDFTXNKYY如果,01,9FKXKFNIDT试问在哪些点上，为什么FXY解如前所示，记，而。FNXYNYXKFIDTNFNFL长度为27，长度为20。已推出二F者的关系为28MLNRNFF2020只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上，才满足所以FFL197,NYNXFNFL15用微处理机对实数序列作谱分析,要求谱分辨率，信号最高频率为50FHZ1KHZ，试确定以下各参数（1）最小记录时间；MINPT（2）最大取样间隔；AX（3）最少采样点数；MINN（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。解（1）已知HZF50SFTP0251MIN（2）FFT10213AXMINAX（3）4503INSNP（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为004S实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）8054MINSN18我们希望利用长度为N50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行HN滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输29入序列进行分段（本题设每段长度为M100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与的L点（本题取L128）循环卷积，得到输出序HN列，M表示第M段计算输出。最后，从中取出个，使每段取出的YNMYN个采样点连接得到滤波输出。Y（1）求V；（2）求B；（3）确定取出的B个采样应为中的哪些采样点。MYN解为了便于叙述，规定循环卷积的输出序列的序列标号为MYN0，1，2，,127。先以与各段输入的线性卷积考虑，中，第0点到48点HNYLMYLM（共49个点）不正确，不能作为滤波输出，第49点到第99点（共51个点）为正确的滤波输出序列的一段，即B51。所以，为了去除前面49个不正NY确点，取出51个正确的点连续得到不间断又无多余点的，必须重叠100NY5149个点，即V49。下面说明，对128点的循环卷积，上述结果也是正确的。我们知道MYNRLMNRRNY128128因为长度为NYLMNM1501001149所以从N20到127区域，当然，第49点到第99点二者亦相NYLM等，所以，所取出的第51点为从第49到99点的。MYN30综上所述，总结所得结论V49,B51选取中第4999点作为滤波输出。MYN52教材第五章习题解答1设系统用下面的差分方程描述，3112483YNYNXN试画出系统的直接型、级联型和并联型结构。解3112483YNYNXN将上式进行Z变换1213483YZZYZXZ12348HZZ（1）按照系统函数，根据MASSON公式，画出直接型结构如题1解图Z（一）所示。（2）将的分母进行因式分解HZ12348ZHZ1324Z31按照上式可以有两种级联型结构A11324ZHZZ画出级联型结构如题1解图（二）（A）所示B11324ZHZZ画出级联型结构如题1解图（二）（B）所示（3）将进行部分分式展开Z1324ZHZ1312424ZABZZ10313224AZZ17313424BZZ03124HZZ1110707332424ZHZZ根据上式画出并联型结构如题1解图（三）所示。322设数字滤波器的差分方程为，121YNABYNAYXNABXNAX试画出该滤波器的直接型、级联型和并联型结构。解将差分方程进行Z变换，得到1221YZABZAYZXZABXZABZ12BHZZ（1）按照MASSION公式直接画出直接型结构如题2解图（一）所示。（2）将的分子和分母进行因式分解Z112AZBHHZ按照上式可以有两种级联型结构A11ZA12ZBH画出级联型结构如题2解图（二）（A）所示。B11ZAB12ZHA画出级联型结构如题2解图（二）（B）所示。333设系统的系统函数为，1124405908ZZHZ试画出各种可能的级联型结构。解由于系统函数的分子和分母各有两个因式，可以有两种级联型结构。12HZZ（1），11405ZZ12298HZZ画出级联型结构如题3解图（A）所示。（2）,121405ZZ12298HZZ画出级联型结构如题3解图（B）所示。4图中画出了四个系统，试用各子系统的单位脉冲响应分别表示各总系统的单位脉冲响应，并求其总系统函数。图D解D12345HNHNHN121345HN121345HZZHZHZ345写出图中流图的系统函数及差分方程。图D解D11222SIN1COSCOCOSRZHZRZRZ12IN2CSRZR2OSIN1YYRX6写出图中流图的系统函数。图F解F1122433848ZZHZ8已知FIR滤波器的单位脉冲响应为，试用频率14HNN采样结构实现该滤波器。设采样点数N5，要求画出频率采样网络结构，写出滤波器参数的计算公式。解已知频率采样结构的公式为110NKKHHZWZ式中，N5140014NKNKNNNKDFTHN28551,1,234JKJKE它的频率采样结构如题8解图所示。3562教材第六章习题解答1设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率，通带最大衰6PFKHZ减，阻带截止频率，阻带最小衰减。求出滤波器归3PADB12SFKHZ3SADB一化传输函数以及实际的。AHPA解（1）求阶数N。LGSPKN010325162PSASPK322610SSP36将和值代入N的计算公式得SPKLG056241所以取N5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。）（2）求归一化系统函数，由阶数N5直接查表得到5阶巴特沃斯归一AHP化低通滤波器系统函数为5432132615631APPP或220818AH当然，也可以按（612）式计算出极点12,0,34KJNKPE按（611）式写出表达式AH401AKKP代入值并进行分母展开得到与查表相同的结果。KP（3）去归一化（即LPLP频率变换），由归一化系统函数得到实际滤波AHP器系统函数。AHS由于本题中，即，因此3PDB32610/CPRADS37AACHSPS55423324532615616161CCCCCSSSSS对分母因式形式，则有AACHSPS522206181680CCCCCSSS如上结果中，的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3DBC截止频率对归一化系统函数的改变作用。2设计一个切比雪夫低通滤波器，要求通带截止频率，通带最在衰3PFKHZ减速，阻带截止频率，阻带最小衰减。求出归02PADB12SFKHZ50SADB一化传输函数和实际的。AHA解（1）确定滤波器技术指标，02PADB3610/PPFRADS35,24/SSSF1,SPP（2）求阶数N和381SARCHKN011456SPAK3894ARCHN为了满足指标要求，取N4。01271PA（2）求归一化系统函数AH41127386ANKKKKPPP其中，极点由6238式求出如下KP2121SINCOS,2,34KKKCHJHNN05847ARR1058SIN058COS431075PCHJHJ23I8JJ35508SIN08COS107543PCHJHJ47I81JJ（3）将去归一化，求得实际滤波器系统函数AHPAHS39AACHSPS441173687368PPKKKKSS其中，因为，所以3610,2,4KPKKSP4132,PP。将两对共轭极点对应的因子相乘，得到分母为二阶因子的形4132,式，其系数全为实数。1622212780REREAHSSSS1624824876730903907910SSSS4已知模拟滤波器的传输函数为AHS1；2ASAHB2。式中，A,B为常数，设因果稳定，试采用脉冲响2ASAHS应不变法，分别将其转换成数字滤波器。Z解该题所给正是模拟滤波器二阶基本节的两种典型形式。所以，求解该题AHS具有代表性，解该题的过程，就是导出这两种典型形式的的脉冲响应不AHS变法转换公式，设采样周期为T。40（1）2ASAHB的极点为AS，1JB2SAJB将部分分式展开（用待定系数法）AH122AASABSS12121212SASAAB比较分子各项系数可知A、B应满足方程121ASA解之得12,A所以211110505KSTAJBTAJBTKHZEZEZEZ22ASJBSAJB211110505KSTAJBTAJBTKAHZEZEZEZ41按照题目要求，上面的表达式就可作为该题的答案。但在工程实际中，HZ一般用无复数乘法器的二阶基本结构实现。由于两个极点共轭对称，所以将的两项通分并化简整理，可得HZ112COS2ATATZEBHZZ用脉冲响应不变法转换成数字滤波器时，直接套用上面的公式即可，且对应结构图中无复数乘法器，便于工程实际中实现。（2）2ABHS的极点为AHS，1SAJB2SAJB将部分分式展开AS1122AJJHSBSAB110505AJBTAJBTZEZEZ通分并化简整理得112SIN2COATATZEBHZZ5已知模拟滤波器的传输函数为（1）；21AS（2）试用脉冲响应不变法和双线性变换法分别将其转换为23AHS数字滤波器，设T2S。42解（1）用脉冲响应不变法21AHS方法1直接按脉冲响应不变法设计公式，的极点为AHS，13052SJ3052SJ33050522AJJHSS33050511221JTJTZEZEZ代入T2S1313J