概率论与数理统计复旦大学出版社第三章课后答案

概率论与数理统计习题三答案1将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值试写出X和Y的联合分布律【解】的可能取值为0，1，2，3；的可能取值为0，1X和的联合分布律如下表Y0123103C28A31C/8A038001282盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数求X和Y的联合分布律【解】的可能取值为0，1，2，3；的可能取值为0，1，2XX和Y的联合分布律如下表01230003247C5A13247C5A1012347C65A21347312472247C5A123472347C5A03设二维随机变量的联合分布函数为,XYSIN,0,2,XYXYFY其它求二维随机变量在长方形域内的概率,XY36,4YX【解】如图0,3246P公式,0,466FFXYXYSINSINSI0SIN4363621AA题3图说明也可先求出密度函数，再求概率。4设随机变量的分布密度,XY34E,0,0,XYAFXY其他求（1）常数；A（2）随机变量的分布函数；,XY（3）P0X0的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为P（0P1），且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求（1）在发车时有N个乘客的条件下，中途有M人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布【解】1的可能取值为0,1,2,3，N，且Y,BNP|C1,00,12MNMNPXP2,|PYXAYXEC1,0,01,2MNMNNPA24设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X，而Y的概率密度为FY，7321求随机变量UXY的概率密度GU【解】设F（Y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知UXY的分布函数为03|10|2GUPPYPU031|72|由于X和Y独立，可见UUF由此，得U的概率密度为031072GGFUFF25设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求PMAXX,Y1解因为随即变量服从0，3上的均匀分布，于是有1,03,3XFX1,03,3YFY因为X，Y相互独立，所以1,03,9XYFXY于是210MAX,1,Y1Y39PXYPPXDX26设二维随机变量X,Y的概率密度为2,0,XYYFY其它I求；P2II求Z的概率密度ZFZ【详解】IYXP2YXDF2,120YDX247II解法一先求Z的分布函数,ZXYZFZFX当时,0ZZFZ当时,11,DDXYFYZDX02；32Z当时,1Z2,DZDXYFF12YZZDXD；31Z当时,2ZZZ故Z的概率密度为ZFZF2,01,ZZ其它解法二，,ZFZFXZD2,01,0,ZXZX其它其它当或时，0Z20ZFZ当时，；102DXZ当时，；Z1ZZF故Z的概率密度为ZFZ2,01,Z其它27设随机变量与相互独立，的概率分布为，的概XYX1,03PXIY率密度为1,0,YYFY其它记（1）求（2）求的概率密度ZXY1PZXZZFZ解（1）注意到与相互独立，于是11000222YPYXP（2）先求的分布函数。由于,构成样本空间的一个划分，且Z1X01X,因此根据全概率公式得的分布函数1103PXPXZ011130113ZYYFZYZPXYZPXPXZZPZXPYXZFFZ分布函数求导数，可得的概率密度Z113,20ZYYYFZFZFZFF（概率密度求和时，仅改变了定义域）其它28袋中有1个红球、2个黑球、3个白球，现有放回地取球两次，每次取一个球，以分别表示两次取球得到的红球、黑球与白球的个数。（1）求,XYZ10PXZ（2）求二维随机变量的概率分布。,XY解（1）由条件概率得1,01,10024639PZPXYPZ也可以有12,0463109CPXZPXZ或用缩减样本空间法，表示两次取球都没有取到白球，即只在红球、黑球中做选择，因此，样本空间中样本点总数为339，124039PXZ（2）与的可能取值均为0，1，2且，同理可以求得XY310,64PXY联合分布律中的其它概率值。的联合分布律如下表,XY012014319169023029设二维随机变量的概率密度为,XY22,XYFYAEXY求常数及条件概率密度。AYX解由概率密度函数的规范性有22221,XYXYXFDAEDAEA得常数，即221,FYY的边缘概率密度为X222221,1XYXXYXXFFDEDE所求条件概率密度为22,XYYXXFXYFYEXY（提示本题充分利用概率积分来简化计算）2XD30设随机变量与的概率分布分别如下表所示。YX01KP1323Y101KP13133且21PX（1）求二维随机变量的概率分布；（2）求的概率分布。,XYZXY解由得，220P即0,1,1,0PP进而XYXYXY再根据联合概率分布与边缘概率分布的关系，可得的概率分布如下表,101IPXX0013013113032JPYY11（2）的可能取值为1，0，1。由得概率分布可得的概率分布ZX,XYZXY101P1313331设随机变量的概率密度为X，令随机变量21,09XF其它2,1,2,XY