高中数学：2.1指数与指数函数课件湘教必修

指数与指数函数,一、整数指数幂的运算性质,二、根式的概念,如果一个数的n次方等于a(n1且nN*),那么这个数叫做a的n次方根.即:若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n1且nN*.,(1)aman=am+n(m,nZ);,(2)aman=am-n(a0,m,nZ);,(3)(am)n=amn(m,nZ);,(4)(ab)n=anbn(nZ).,三、根式的性质,5.负数没有偶次方根.,6.零的任何次方根都是零.,五、有理数指数幂的运算性质,四、分数指数幂的意义,注:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.,函数y=ax(a0,且a1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.,六、指数函数,(1)aras=ar+s(a0,r,sQ);,(2)aras=ar-s(a0,r,sQ);,(3)(ar)s=ars(a0,r,sQ);,(4)(ab)r=arbr(a0,b0,rQ).,(1)定义域:R,(2)值域:(0,+),(3)过点(0,1),即x=0时,y=1.,(4)在R上是增函数.,(4)在R上是减函数.,七、指数函数的图象和性质,课堂练习,C,A,D,D,C,典型例题,1.化简下列各式:,=xy.,a-10.,2.已知2x+2-x=5,求下列各式的值:(1)4x+4-x;(2)8x+8-x.,解:(1)4x+4-x=(2x+2-x)2-22x2-x,(2)8x+8-x=(2x+2-x)3-32x2-x(2x+2-x),=25-2=23;,=125-15=110.,3.已知2a5b=2c5d=10,求证:(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).,证:由已知2a5b=10=25,2c5d=10=25,2a-15b-1=1,2c-15d-1=1.,2(a-1)(d-1)5(b-1)(d-1)=1,2(c-1)(b-1)5(d-1)(b-1)=1.,2(a-1)(d-1)=2(c-1)(b-1).,(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).,2(a-1)(d-1)5(b-1)(d-1)=2(c-1)(b-1)5(d-1)(b-1).,4.若关于x的方程2a2x-2-7ax-1+3=0有一个根是x=2,求a的值并求方程其余的根.,t2-2xt+1=0,解法二:将已知式整理得:,以下同上.,6.已知函数f(x)=3x且f-1(18)=a+2,g(x)=3ax-4x的定义域为0,1.(1)求g(x)的解析式;(2)求g(x)的单调区间,确定其增减性并用定义证明;(3)求g(x)的值域.,f(a+2)=3a+2=18.,解:(1)f(x)=3x且f-1(18)=a+2,3a=2.,g(x)=(3a)x-4x=2x-4x.,即g(x)=2x-4x.,(2)令t=2x,则函数g(x)由y=t-t2及t=2x复合而得.,由已知x0,1,则t1,2,t=2x在0,1上单调递增,y=t-t2在1,2上单调递减,g(x)在0,1上单调递减,证明如下:,g(x)的定义域区间0,1为函数的单调递减区间.,对于任意的x1,x20,1,且x1x2,g(x1)-g(x2),0x1x21,2x1-2x20.,x0,1时有:,解:(3)g(x)在0,1上单调递减,g(1)g(x)g(0).,g(1)=21-41=-2,g(0)=20-40=0,-2g(x)0.,故函数g(x)的值域为-2,0.,6.已知函数f(x)=3x且f-1(18)=a+2,g(x)=3ax-4x的定义域为0,1.(1)求g(x)的解析式;(2)求g(x)的单调区间,确定其增减性并用定义证明;(3)求g(x)的值域.,解:(1)f(x)是R上的奇函数,f(0)=0,a2=1.,a0,a=1.,(2)由(1)知f(x)=ex-e-x,xR,f(x)R.,f(x)是奇函数,f(x)的反函数f-1(x)也是奇函数.,y=e-x是R上的减函数,y=-e-x是R上的增函数.,又y=ex是R上的增函数,y=ex-e-x是R上的