计算流体力学结课

计算流体力学结课作业晴哥哥如有其它需要，请加微、根据你的个人理解，谈谈计算流体力学（传热学）（CFD）这门学科产生的背景，其工程价值和发展前景如何。计算流体力学是用电子计算机和离散化的数值方法对流体力学问题进行数值模拟和分析的一个分支。是用电子计算机和离散化的数值方法对流体力学问题进行数值模拟和分析的一个分支。产生背景流体力学作为力学的一个重要分支，是研究流体液体和气体的力学运动规律及其应用的学科,主要研究在各种力的作用下，流体本身的静止状态和运动状态特征，以及流体和相邻固体界面有相对运动时的相互作用和流动规律。在人们的生活和生产活动中随时随地都可遇到流体，流体力学与人类的日常生活和生产事业密切相关。按其研究内容的侧重点不同，分为理论流体力学和工程流体力学。其中理论流体力学主要采用严密的数学推理方法，力求准确性和严密性，工程流体力学侧重于解决工程实际中出现的问题，而不追求数学上的严密性。当然由于流体力学研究的复杂性，在一定程度上，两种方法都必须借助于实验研究，得出经验或半经验的公式。在实际工程的诸多领域流体力学都起着十分重要的作用。如气象、水利的研究，船舶、飞行器、叶轮机械和核电站的设计及其运行，可燃气体或炸药的爆炸，都广泛地用到流体力学知识。许多现代科学技术所关心的问题既受流体力学的指导，同时也促进了流体力学自身的不断发展。1950年后，计算机的发展给予流体力学以极大的推动作用。目前，解决流体力学问题的方法主要有实验方法、理论分析方法和数值方法三种。实验方法同物理学、化学等学科一样，流体力学的研究离不开实验，尤其是对新的流体运动现象的研究。实验能显示运动特点及其主要趋势，有助于形成概念，检验理论的正确性。二百年来流体力学发展史中每一项重大进展都离不开实验。流体力学实验研究方法有实物实验、比拟研究和模型研究三类实物实验是用仪器实测原型系统的流动参数，适用于较小的原型；比拟实验是利用电场和磁场来模拟流场，实施起来限制条件较多；模型研究是实验流体力学最常用的研究方法。实验研究的一般过程是在相似理论的指导下建立实验模型，用流体测量技术测量流动参数，处理和分析实验数据。建立实验模型要求模型与原型满足相似理论，即满足两个流场相似。流体力学中两个流场相似要求几何相似、运动相似、动力相似、边界条件、初始条件相似。两个流场动力相似，则两个流场所有的动力相似准则应分别相等。但要做到两个独立的动力相似准则同时分别与原型的同名准则相等是不可能的，所以只能部分相似，即近似模型实验。模拟实验在流体力学中占有重要地位。根据模型实验所得的数据可以用像换算单位制那样的简单算法求出原型的数据。实验方法有诸多优点实验方法可靠性高，能反映工程中的实际流动规律，发现新现象，检验理论结果等；工程实际中，由于控制方程多为非线性方程，大多问题无法得到理论解析结果，而必须借助于实验的方法，尤其是对于目前尚未有合适数学模型的复杂湍流流动、某些非牛顿流体的流动、多相流等问题，实验测试则是唯一的研究方法。但实验方法受到模型尺寸、流动扰动、人身安全和测量精度的限制，有时可能通过实验无法得到结果；另外实验中还会遇到经费投入不足，人力、物力的巨大耗费及周期长等诸多困难。理论分析方法理论分析（理论研究方法）是根据流体运动的普遍规律如质量守恒、动量守恒、能量守恒等，利用数学分析的手段，研究流体的运动，解释已知的现象，预测可能发生的结果。理论分析的一般过程是建立力学模型，用物理学基本定律推导流体力学数学方程，用数学方法求解方程，检验和解释求解结果。理论研究方法的关键在于提出理论模型，并能运用数学方法求出理论结果，达到揭示液体运动规律的目的。流体力学中最常用的基本模型有连续介质、牛顿流体、不可压缩流体、理想流体、平面流动等。对这样的理论模型，根据机械运动的普遍规律，用数学语言将质量守恒、动量守恒、能量守恒等定律表达出来，从而得到连续性方程、动量方程和能量方程。此外，还要加上某些联系流动参量的关系式例如状态方程，或者其他方程，构成流体力学基本方程组。将原来的具体流动问题转化为数学问题，在相应的边界条件和初始条件下求解。求出方程组的解后，可结合具体流动，解释这些解的物理含义和流动机理。理论分析优点能揭示流动的内在规律，具有普遍适用性，成本最低，结果最理想，影响因素表达清楚。但理论分析方法局限于非常简单的问题。数值方法数值研究的一般过程是，对流体力学数学方程作简化和数值离散化，编制程序作数值计算，将计算结果与实验结果比较。在流体力学理论研究和工程应用中，描述流体运动的数学方程是非线性偏微分方程组，只对极少数的简化模型可以通过数学方法，获得理论分析解，多数情况下，只能通过数值计算的途径进行求解。这里说的“数值计算”，是指利用高速电子计算机，对描述流体力学具体问题的偏微分方程初边值问题进行离散化计算，从而获得流动区域中离散点上的流体物理量的求解方法。这种通过数值计算获得流动区域中离散点的数值解的方法，通常称为流体力学数值解法，也可称之为计算流体力学。随着高速电子计算机的发展与普及，数值方法越来越受到重视，已成为流体力学理论研究和工程应用的重要手段。工程价值计算流体力学是以计算机为工具、以流体力学的基本方程（纳维斯托克斯方程）为理论依据，采用离散化的数值方法对流体力学问题进行数值模拟和分析的流体力学分支学科。常用的方法有有限差分法、有限元法、有限体积法、边界元法、谱分析法等。计算的内容包括飞机、汽车、河道、桥梁、涡轮机等流场计算；湍流、流动稳定性、非线性流动等数值模拟。大型工程计算软件已成为研究工程流动问题的有力武器。数值方法的优点是能计算理论分析方法无法求解的数学方程，比实验方法省时省钱，但毕竟是一种近似解方法，适用范围受数学模型的正确性和计算机的性能所限制。三种方法各有优缺点，我们应取长补短，互为补充。流体力学的研究不仅需要深厚的理论基础，而且需要很强的动手能力。学习流体力学应注重理论与实践结合，理论分析、实验研究和数值计算并重。数值模拟方法的发展前景任何流体运动的动力学特征都是由质量守恒、动量守恒和能量守恒定律所确定的，这些基本定律可以由流体流动的控制方程组来描述。而这些控制方程大多是一些极其复杂的偏微分方程，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或NS方程进行计算。20世纪3040年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，此时，数值方法显现出了极大地优越性。这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了“计算流体力学”。发展及前景计算流体力学（COMPUTATIONALFLUIDDYNAMICS，简称CFD）是21世纪流体力学领域的重要技术之一，使用数值方法在计算机中对流体力学的控制方程进行求解，从而可预测流场的流动。流体力学的运动方程是极其复杂的非线性偏微分方程，具有各种不同的类型，而且往往还是混合型的。计算流体力学在很大程度上就是针对不同性质的偏微分方程采用和发展相应的数值解方法。经过40年来的发展，计算流体力学己经成为一种有力的数值实验与设计手段，在许多工业领域如航天航空、汽车、船舶等部门解决了大量的工程设计实际问题，其中在航天航空领域所取得的成绩尤为显著。现在人们已经可以利用计算流体力学方法来设计飞机的外形，确定其气动载荷，从而有效地提高了设计效率，减少了风洞试验次数，大大地降低了设计成本。此外，计算流体力学也己经大量应用于大气、生态环境、车辆工程、船舶工程、传热以及工业中的化学反应等各个领域，显示了计算流体力学强大的生命力。随着计算机技术、网络技术、计算方法和后处理技术的迅速发展，利用计算流体力学解决流动问题的能力越来越高，现在许多复杂的流动问题可以通过数值计算手段进行分析并给出相应的结果。计算流体力学也己经发展成为以数值手段求解流体力学物理模型、分析其流动机理为主线。目前计算流体力学主要向二个方向发展一方面是研究流动非定常稳定性以及湍流流动机理，开展高精度、高分辩率的计算方法和并行算法等的流动机理与算法研究；另一方面是将计算流体力学直接应用于模拟各种实际流动，解决工业生产中的各种问题。随着科技的进步，许多关于数值模拟方法的商业软件产生了。计算流体力学商业软件最早出现于上世纪八十年代初，目前已经在工业领域和学术研究领域发挥着积极的作用。这些软件的使用减少了计算流体力学研究和开发人员的工作量，降低了对研究人员计算机知识的要求，从而使研究者可以把精力集中在对计算流体力学本质问题的研究和技术开发上。计算流体力学和其他学科一样，是通过理论分析和实验研究两种手段发展起来的。很早就已有理论流体力学和实验流体力学两大分支。解决流体力学问题时、实验方法、理论分析方法和数值方法是相辅相成的。实验需要理论指导，才能从分散的、表面上无联系的现象和实验数据中得出规律性的结论；而理论分析和数值模拟也要依靠实验方法给出物理图形或数据，以建立流动的力学模型和数学模式；最后，还须依靠实验来检验这些模型的完善程度。此外，实际流动往往异常复杂，理论分析和数值计算会遇到巨大的数学和计算方面的困难，得不到具体结果，只能通过实验方法进行研究。任何一种方法都有它自身的局限性，而数值方法在弥补理论分析的不足之处有着极大的优越性。理论分析是用数学方法求出问题的定量结果，鉴于流体力学控制方程组的特点，能用这种方法求出结果的问题毕竟是少数，计算流体力学正是为弥补分析方法的不足而发展起来的。数值模拟方法的优点显而易见，在解决工程问题中已得到了很好的证明，特别是近些年关于数值模拟方法的软件日趋成熟，使得数值模拟方法的应用更为方便准确。数值模拟已经成为人类改造世界的第三种手段，今后将会得到广泛应用与长足发展。二、概述3种数值方法，介绍其基本思想、技术要点、应用步骤，并就几种方法的特点和区别做比较分析。（1）有限差分法（FINITEDIFFERENCEMETHOD，FD）是偏微分方程（PARTIALDIFFERENTIALEQUATION简称PDE）数值求解的最为古老的方法，是EULER在18世纪提出的，主要用来求解与时间有关的问题，该方法概念清晰，方法简单、直观，是应用最多的一种数值方法。有限容积法（FINITEVOLUMEMETHOD）又称为控制体积法，有限容积法（FVM）是计算流体力学（CFD）和计算传热学（NHT）中应用应用广泛的数值离散方法。基本思想为了求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型，有限差分法将定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点商的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。有限容积法式将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积；将待解的偏微分方程对每一个控制体积积分，从而得出一组离散方程，其中的未知量是网格点的特征变量。为了求出控制体积的积分，必须假定特征变量值的网格点之间的变化规律。从积分区域的选取方法看来，有限体积法属于加权余量法中的子域法；从未知解的近似方法看来，有限体积法属于采用近似的离散方法。（2）技术要点有限差分方法重要的技术就是将偏微分方程转换成差分方程组，然而构造这样的方程组有很多方法，我的目的就是寻找一个最接近偏微分方程的解的差分方程。构造差分方程就要知道怎么构造每一项的差分形式。有限差分法的主要内容包括如何根据问题的特点将定解区域做网格剖分；如何把原微分离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算N1层的近似值时要用到第N层的近似值，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面隔层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有一下三种方法。最常用的方法是数值微分方法，比如用差商代替微商等等。另一种方法叫差值法，以为在实际问题中得出的微分方程常常反应物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式；从差分的空间形式来考虑，可分为中心差分格式和逆风差分格式；考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显式格式、隐式格式、显隐交替格式等；目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式；差分方法主要适用于结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件决定。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。离散方程的物理意义，就是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。有限体积法得到的离散方程，要求因变量的积分守恒对任意一组控制体积都得到满足，对整个计算区域，自然也得到满足。这是有限体积法吸引人的优点。有一些离散方法，例如有限差分法，仅当网格及其密时，离散方程才能满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格的情况下，也显示出准确的积分守恒。有限体积法和有限差分方法一样，也需要对计算域进行离散，将其分割成有限大小的离散网格。区域离散的实质是用有限个离散点来代替原来的连续空间，即生成计算网格，然后确定每个子域中的节点位置及该节点所代表的控制体积。在区域离散化过程中，通常会产生以下四种几何要素A节点需要求解的未知物理量的几何位置。B控制容积应用控制方程或守恒定律的最小几何单元。C界面它规定了与各节点相对应的控制容积的分界面位置。D网格线联结相邻两节点而形成的曲线蔟。节点通常被看成是控制容积的代表，在离散的过程中，将一个控制容积上的物理量定义并存储在该节点处。（3）求解步骤有限差分方法的求解的一般步骤可以分为五步A离散求解域；B用时间向前差分和空间中间差分格式代替控制方程的对应项；C差分化；D选择适当的计算方法求解线性代数方程组；E将求解结果用云图、等值线、动画等方式展示出来，以供实际应用参考。第一步，离散求解域就是离散成网格形式，确定离散化方法包括划分计算网格、建立离散方程和离散边界条件及初始条件三个方面，采用数值方法求解控制方程式，都是想办法将控制方程在空间区域上进行离散，然后对得到的离散方程组进行求解。要想在离散求解域，必须使用网格，不同的问题采用不同的数值解法时，所需要的网格形式是有一定区别的，但生成网格的方法基本上是一致的。目前，网格划分技术分为结构网格和非结构网格两大类。简单地讲，结构网格在空间上比较规范，网格往往是成行成列分布，行线和列线比较明显。而非结构网格在空间分布上没有明显的行线和列线。对于二维问题，常用的网格单元有三角形和四边形等形式；对于三维问题，常用的网格单元有四面体、六面体、三棱柱等形式。上述的四边形网格和六面体网格是结构网格，而三角形、四面体、三棱柱等是非结构网格。如果所研究的问题是湍流的问题又涉及到边界层问题，需要对边界层进行定义和划分。第二步，对于刚刚划分完的网格，我们需要把列出的方程组离散成有限差分方程，这时就需要将偏微分项展开。将偏微分方程中的各项展开的方法有多种，目前主要采用的是泰勒级数展开方法，其基本的差分表达式主要有三种形式一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。虽然差分格式很多，可用的方法也很多，但是对于实际问题选择一个最适合的是最重要的，如果选的差分格式阶数过低，则出现的误差会很大，这样对于实际问题没有太大意义，如果所选的差分格式阶数过高，则出现的误差虽然会满足要求，但是对于求解会有一定阻碍，因为阶数过高，则要求计算机的配置会很高，而且所需的计算时间也会很大。第三步，用时间向前差分和空间中间差分格式代替控制方程的对应项之后，在方程的两边都会有一些高阶项，这些高阶项怎么取舍就是差分化的精髓。对于一个要求精度不是特别高的工程问题，如果阶数取得过高，则会增加工程的运算时间，如果阶数取得过低达不到工程要求的精度则计算结果的误差会很大，对于工程就没有什么意义了。这里涉及到截断误差和舍入误差的问题，截断误差是偏微分方程的解和有限差分方程的解的差值，截断误差的大小直接影响解析解跟分析解的接近程度，截断误差如果太大则解析解跟分析解差别很大，截断误差越小解析解越接近真实解。由于计算机的字长有限，进行数值计算的过程中，对计算得到的中间结果数据要使用“四舍五入”或其他规则取近似值，因而使计算过程有误差，这种误差称为舍入误差。显然截断误差和舍入误差都会影响解析解和真实解的逼近程度。除了截断误差和舍入误差还有方程和定解条件的相容性问题，只用方程相容，定解条件也相容整个计算问题才相容。然而一个差分格式能否在实际中使用，最终要看能否任意的逼近微分方程的解。这样对于每一个差分格式，人们便从两个方面加以考虑一是引入收敛性的概念，考察差分格式在理论上的准确解能否任意逼近微分方程的解；二是引入稳定性的概念，考察差分格式在时间计算中的近似解能否任意逼近差分方程的解。设是微分方程的准确解，是相应差分方程的准确解。如果当步长时，对任何有，则称差分格式是收敛的。差分格式的计算是逐层进行的，计算层上的时，要用到第层上计算出来的结果，因此计算时的舍入误差，必然会影响的值，从而就要分析这种误差传播的情况。如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，那么此种差分格式为不稳定的。相反地，如果误差的影响是可以控制的，差分格式的解基本上能计算出来，那么这种差分就认为是稳定的。第四歩，选择适当的计算方法求解差分方程组，这里可以选择的方法有很多种，如GAUSS消去、追赶法、迭代法、交替方向隐式差分方法、隐式近似因式分解法、多重网格法等等。我们把偏微分方程组离散化之后得到的代数方程组大都具有稀疏矩阵特性，如何求解这样的方程组的关键是找到适当的方法。第五步，将求解结果用云图、等值线、动画等方式展示出来，以供实际应用参考。有限体积法求解离散方程的步骤A节点划分B方程的离散C方程的求解D将求解结果用云图、等值线、动画等方式展示出来，以供实际应用参考。第一步，有限体积法的第一步是把求解域划分为离散的控制容积，以一维稳态扩散问题的有限体积法为例，控制容积的取法有两种一种是把控制容积的界面放在相邻2个节点的中间，而对于非均匀网格，中心节点P并不在该控制容积的中心；另一种为首先把求解域划分为离散的控制容积，然后把控制容积的中心节点放在该控制容积的几何中心。对于均与网格来说，2种方法的结果是一样的。第二步，是方程的离散，用有限体积法建立离散方程的一般步骤为首先将微分方程在控制容积上积分，利用高斯定理把体积分转化为控制容积边界面上的面积分，然后通过对界面上的参数的近似而得到最终的离散方程。第三步，是方程的求解，在每个节点都建立离散方程，对于内部节点，并不需要在每个节点上重复上述过程，内部节点的离散方程适用于所有内部节点，而对边界节点则须重新按上述过程进行推导，因为不同的边界节点界面上有关参数的近似处理方法不同，得到一个线性方程组。第四步，是将求解结果用云图、等值线、动画等方式展示出来，如果结果已经算出来了，但是不显示出来或者没有被我们所利用，那么前面的求解就没有意义了，所以我们需要把计算结果以云图、等值线、动画等方式展示出来。边界元法（BOUNDARYELEMENTMETHOD）是一种继有限元法之后发展起来的一种新数值方法，与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是只在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元法与有限元相比，具有单元个数少，数据准备简单等优点。边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的方法。又称边界积分方程边界元法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。特别是对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。对一般的非线性问题，由于在方程中会出现域内积分项，从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。三者区别求解微分方程时，有限元从微分方程的等效积分形式出发，个人理解其实就是把微分方程转化成一个泛函问题。有限差分是直接在网格结点上采用差分方程近似微分方程；有限元法适用于拉格朗日坐标系下建立的微分方程；有限差分法适用于欧拉坐标系下建立的微分方程。从应用角度看，有限元法和有限差分法适合用于有限区域，而边界元法适用于无限域或很大区域。从划分网格方面看，有限差分法对网格质量要求高于有限元法。但是在求解非线性程度很高的问题时，有时用有限元法迭代求解如果失败则得不到任何结果。而有限差分法只要网格够细密划分单元形状质量够好，即使得不到最终结果，还是可以得到部分结果。三、基本概念解释1、差分格式的相容性和稳定性；相容性当差分方程中的步长T0,X0时，差分方程的截断误差也趋近于零，则称差