20.4课题学习最短路径问题

第十三章轴对称,13.4课题学习最短路径问题,1,课堂讲解,运用“垂线段最短”解决最短路径问题运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题,2,课时流程,逐点导讲练,课堂小结,作业提升,前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.,知1导,问题相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？,2,知识点,运用“垂线段最短”解决最短路径问题,追问这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线,知1导,追问你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？,知1导,(1)从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；(2)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；,知1导,(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图),知1导,作法：(1)作点B关于直线l的对称点B；(2)连接AB，与直线l相交于点C则点C即为所求,知1讲,例1,体育课上，老师测量小明跳远成绩的依据是()A过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条B两点之间，线段最短C垂线段最短D两点确定一条直线,C,知1练,如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从A处引到田地里去，则应从河边l的何处开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明理由.,1,解：图略.理由：垂线段最短.,知2导,2,知识点,运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题,你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？,如图，在直线l上任取一点C(与点C不重合)，连接AC，BC，BC由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BCAC+BC=AC+BC=AB，AC+BC=AC+BC,知2讲,证明：,知1导,在ABC中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即AC+BC最短,某供电部门准备在输电主干线l上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A，B两个居民小区送电(1)如果居民小区A，B在主干线l的两旁，如图13.4-3，那么分支点M在什么地方时总线路最短？,知2讲,例2,图13.4-3,知2讲,(2)如果居民小区A，B在主干线l的同旁，如图13.4-4，那么分支点M在什么地方时总线路最短？,图13.4-4,(1)连接AB，与l的交点即为所求分支点M；(2)作点B关于l的对称点B1，连接AB1交l于点M，点M即为分支点,导引：,(1)如图13.4-3，连接AB，与l的交点即为所求分支点M.(2)如图13.4-4，作点B关于l的对称点B1，连接AB1交l于点M，点M即为所求分支点,知2讲,解：,图13.4-3,图13.4-4,解决“一线两点”型最短路径问题的方法：当两点在直线异侧时，连接两点，与直线的交点即为所求作的点；当两点在直线同侧时，作其中某一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求作的点,知2讲,如图13.4-5，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃草，再到河边b饮水，最后回到营地请你设计一条放牧路线，使其所走的总路程最短,知2讲,例3,图13.4-5,要使其所走的总路程最短，可联想到“两点之间，线段最短”，因此需将三条线段转化到一条线段上，为此作点P关于直线a的对称点P1，作点P关于直线b的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a，b于点A，B，连接PA，PB，即得放牧所走的最短路线,知2讲,导引：,如图13.4-5，作点P关于直线a的对称点P1，关于直线b的对称点P2，连接P1P2，分别交直线a，b于点A，B，连接PA，PB.由轴对称的性质知，PAP1A，PBP2B，所以先到点A处吃草，再到点B处饮水，最后回到营地，按这样的路线放牧所走的总路程最短,知2讲,解：,解决“两线一点”型最短路径问题，要作两次轴对称，从而构造出最短路径,知2讲,知2练,(中考黔南州)如图，直线l外不重合的两点A、B，在直线l上求作一点C，使得ACBC的长度最短，作法为：作点B关于直线l的对称点B；连接AB与直线l相交于点C，则点C为所求作的点在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是()A转化思想B三角形的两边之和大于第三边C两点之间，线段最短D三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角,1,D,知2练,如图，在平面直角坐标系中，点A(2，4)，B(4，2)，在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是()A(2，0)B(4，0)C(2，0)D(0，0),2,C,最短路径问题的类型：(1)两点一线型的线段和最小