2015年四川省高考数学试题及答案文科解析版

12015年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1（5分）（2015四川）设集合AX|1X2，集合BX|1X3，则AB（）AX|1X3BX|1X1CX|1X2DX|2X3考点并集及其运算菁优网版权所有专题集合分析直接利用并集求解法则求解即可解答解集合AX|1X2，集合BX|1X3，则ABX|1X3故选A点评本题考查并集的求法，基本知识的考查2（5分）（2015四川）设向量（2，4）与向量（X，6）共线，则实数X（）A2B3C4D6考点平面向量共线（平行）的坐标表示菁优网版权所有专题平面向量及应用分析利用向量共线的充要条件得到坐标的关系求出X解答解；因为向量（2，4）与向量（X，6）共线，所以4X26，解得X3；故选B点评本题考查了向量共线的坐标关系；如果两个向量向量（X，Y）与向量（M，N）共线，那么XNYN3（5分）（2015四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）2A抽签法B系统抽样法C分层抽样法D随机数法考点收集数据的方法菁优网版权所有专题应用题；概率与统计分析若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样解答解我们常用的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，这种方式具有代表性，比较合理故选C点评本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题4（5分）（2015四川）设A，B为正实数，则“AB1”是“LOG2ALOG2B0”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件考点充要条件菁优网版权所有专题简易逻辑分析先求出LOG2ALOG2B0的充要条件，再和AB1比较，从而求出答案解答解若LOG2ALOG2B0，则AB1，故“AB1”是“LOG2ALOG2B0”的充要条件，故选A点评本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题5（5分）（2015四川）下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）AYCOS（2X）BYSIN（2X）CYSIN2XCOS2XDYSINXCOSX考点两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法菁优网版权所有专题三角函数的图像与性质分析求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可解答解3YCOS（2X）SIN2X，是奇函数，函数的周期为，满足题意，所以A正确YSIN（2X）COS2X，函数是偶函数，周期为，不满足题意，所以B不正确；YSIN2XCOS2XSIN（2X），函数是非奇非偶函数，周期为，所以C不正确；YSINXCOSXSIN（X），函数是非奇非偶函数，周期为2，所以D不正确；故选A点评本题考查两角和与差的三角函数，函数的奇偶性以及红丝带周期的求法，考查计算能力6（5分）（2015四川）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）ABCD考点程序框图菁优网版权所有专题图表型；算法和程序框图分析模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的K的值，当K5时满足条件K4，计算并输出S的值为解答解模拟执行程序框图，可得K1K2不满足条件K4，K34不满足条件K4，K4不满足条件K4，K5满足条件K4，SSIN，输出S的值为故选D点评本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题7（5分）（2015四川）过双曲线X21的右焦点且与X轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|（）AB2C6D4考点双曲线的简单性质菁优网版权所有专题圆锥曲线的定义、性质与方程分析求出双曲线的渐近线方程，求出AB的方程，得到AB坐标，即可求解|AB|解答解双曲线X21的右焦点（2，0），渐近线方程为Y，过双曲线X21的右焦点且与X轴垂直的直线，X2，可得YA2，YB2，|AB|4故选D点评本题考查双曲线的简单性质的应用，考查基本知识的应用8（5分）（2015四川）某食品保鲜时间Y（单位小时）与储藏温度X（单位）满足函数关系YEKXB（E2718为自然对数的底数，K，B为常数）若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（）A16小时B20小时C24小时D28小时考点指数函数的实际应用菁优网版权所有专题函数的性质及应用分析由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出EK，EB的值，运用指数幂的运算性质求解E33KB即可解答解YEKXB（E2718为自然对数的底数，K，B为常数）当X0时，EB192，当X22时E22KB48，5E16KE11KEB192当X33时，E33KB（EK）33（EB）（）319224故选C点评本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解9（5分）（2015四川）设实数X，Y满足，则XY的最大值为（）ABC12D16考点简单线性规划菁优网版权所有专题不等式的解法及应用分析作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可解答解作出不等式组对应的平面区域如图；则动点P在BC上运动时，XY取得最大值，此时2XY10，则XY，当且仅当2XY5，即X，Y5时，取等号，故XY的最大值为，故选A点评本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键610（5分）（2015四川）设直线L与抛物线Y24X相交于A、B两点，与圆（X5）2Y2R2（R0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线L恰有4条，则R的取值范围是（）A（1，3）B（1，4）C（2，3）D（2，4）考点抛物线的简单性质；直线与圆的位置关系菁优网版权所有专题综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析先确定M的轨迹是直线X3，代入抛物线方程可得Y2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，即可得出结论解答解设A（X1，Y1），B（X2，Y2），M（X0，Y0），则斜率存在时，设斜率为K，则Y124X1，Y224X2，利用点差法可得KY02，因为直线与圆相切，所以，所以X03，即M的轨迹是直线X3，代入抛物线方程可得Y2，所以交点与圆心（5，0）的距离为4，所以2R4时，直线L有2条；斜率不存在时，直线L有2条；所以直线L恰有4条，2R4，故选D点评本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二、填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）（2015四川）设I是虚数单位，则复数I2I考点复数代数形式的混合运算菁优网版权所有专题数系的扩充和复数分析直接利用复数的运算法则求解即可解答解复数IIII2I故答案为2I点评本题考查复数的基本运算，考查计算能力12（5分）（2015四川）LG001LOG216的值是2考点对数的运算性质菁优网版权所有7专题函数的性质及应用分析直接利用对数的运算法则化简求解即可解答解LG001LOG216242故答案为2点评本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力13（5分）（2015四川）已知SIN2COS0，则2SINCOSCOS2的值是1考点同角三角函数基本关系的运用菁优网版权所有专题三角函数的求值分析已知等式移项变形求出TAN的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简，将TAN的值代入计算即可求出值解答解SIN2COS0，即SIN2COS，TAN2，则原式1，故答案为1点评此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键14（5分）（2015四川）在三棱住ABCA1B1C1中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是考点棱柱、棱锥、棱台的体积菁优网版权所有专题空间位置关系与距离分析判断三视图对应的几何体的形状，画出图形，利用三视图的数据，求解三棱锥PA1MN的体积即可8解答解由三视图可知，可知几何体的图形如图几何体是底面为等腰直角三角形直角边长为1，高为1的直三棱柱，所求三棱锥的高为NP1，底面AMN的面积是底面三角形ABC的，所求三棱锥PA1MN的体积是故答案为点评本题考查三视图与直观图的关系，组作出几何体的直观图是解题的关键之一，考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力15（5分）（2015四川）已知函数F（X）2X，G（X）X2AX（其中AR）对于不相等的实数X1、X2，设M，N现有如下命题对于任意不相等的实数X1、X2，都有M0；对于任意的A及任意不相等的实数X1、X2，都有N0；对于任意的A，存在不相等的实数X1、X2，使得MN；对于任意的A，存在不相等的实数X1、X2，使得MN其中的真命题有（写出所有真命题的序号）考点命题的真假判断与应用菁优网版权所有专题函数的性质及应用分析运用指数函数的单调性，即可判断；由二次函数的单调性，即可判断；通过函数H（X）X2AX2X，求出导数判断单调性，即可判断；通过函数H（X）X2AX2X，求出导数判断单调性，即可判断解答解对于，由于21，由指数函数的单调性可得F（X）在R上递增，即有M0，则正确；对于，由二次函数的单调性可得G（X）在（，）递减，在（，）递减，则N0不恒成立，9则错误；对于，由MN，可得F（X1）F（X2）G（X1）G（X2），考查函数H（X）X2AX2X，H（X）2XA2XLN2，当A，H（X）小于0，H（X）单调递减，则错误；对于，由MN，可得F（X1）F（X2）G（X1）G（X2），考查函数H（X）X2AX2X，H（X）2XA2XLN2，对于任意的A，H（X）不恒大于0或小于0，则正确故答案为点评本题考查函数的单调性及运用，注意运用指数函数和二次函数的单调性，以及导数判断单调性是解题的关键三、解答题本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16（12分）（2015四川）设数列AN（N1，2，3）的前N项和SN，满足SN2ANA1，且A1，A21，A3成等差数列（）求数列AN的通项公式；（）设数列的前N项和为TN，求TN考点等差数列的前N项和；等差数列的通项公式菁优网版权所有专题等差数列与等比数列分析（）由条件SN满足SN2ANA1，求得数列AN为等比数列，且公比Q2；再根据A1，A21，A3成等差数列，求得首项的值，可得数列AN的通项公式（）由于，利用等比数列的前N项和公式求得数列的前N项和TN解答解（）由已知SN2ANA1，有ANSNSN12AN2AN1（N2），即AN2AN1（N2），从而A22A1，A32A24A1又因为A1，A21，A3成等差数列，即A1A32（A21）所以A14A12（2A11），解得A12所以，数列AN是首项为2，公比为2的等比数列故AN2N10（）由（）得，所以TN1点评本题主要考查数列的前N项和与第N项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前N项和公式，属于中档题17（12分）（2015四川）一辆小客车上有5名座位，其座号为1，2，3，4，5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位号分别为1，2，3，4，5他们按照座位号顺序先后上车，乘客P1因身体原因没有坐自己1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位（）若乘客P1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）乘客P1P2P3P4P5321453245132415座位号32541（）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客P1坐到5号座位的概率考点概率的应用菁优网版权所有专题应用题；概率与统计分析（）根据题意，可以完成表格；（）列表，确定所有可能的坐法，再求出乘客P1坐到5号座位的概率解答解（）余下两种坐法乘客P1P2P3P4P5321453245132415座位号32541（）若乘客P1坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，则所有可能的坐法可用下表表示为乘客P1P2P3P4P521345231452341523451座位号2354111243152435125341于是，所有可能的坐法共8种，设“乘客P1坐到5号座位”为事件A，则事件A中的基本事件的个数为4，所以P（A）答乘客P1坐到5号座位的概率是点评本题考查概率的运用，考查学生的计算能力，列表确定基本事件的个数是关键18（12分）（2015四川）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示（）请按字母F，G，H标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）（）判断平面BEG与平面ACH的位置关系并说明你的结论（）证明直线DF平面BEG考点直线与平面垂直的判定；平面与平面之间的位置关系菁优网版权所有专题空间位置关系与距离分析（）直接标出点F，G，H的位置（）先证BCHE为平行四边形，可知BE平面ACH，同理可证BG平面ACH，即可证明平面BEG平面ACH（）连接FH，由DHEG，又DHEG，EGFH，可证EG平面BFHD，从而可证DFEG，同理DFBG，即可证明DF平面BEG解答解（）点F，G，H的位置如图所示（）平面BEG平面ACH，证明如下ABCDEFGH为正方体，BCFG，BCEH，又FGEH，FGEH，BCEH，BCEH，BCHE为平行四边形12BECH，又CH平面ACH，BE平面ACH，BE平面ACH，同理BG平面ACH，又BEBGB，平面BEG平面ACH（）连接FH，ABCDEFGH为正方体，DHEG，又EG平面EFGH，DHEG，又EGFH，EGFHO，EG平面BFHD，又DF平面BFHD，DFEG，同理DFBG，又EGBGG，DF平面BEG点评本题主要考查了简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题19（12分）（2015四川）已知A、B、C为ABC的内角，TANA，TANB是关于方程X2PXP10（PR）两个实根（）求C的大小（）若AB3，AC，求P的值考点正弦定理的应用；两角和与差的正切函数菁优网版权所有专题函数的性质及应用；解三角形分析（）由判别式3P24P40，可得P2，或P，由韦达定理，有TANATANBP，TANATANB1P，由两角和的正切函数公式可求TANCTAN（AB），结合13C的范围即可求C的值（）由正弦定理可求SINB，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求TANATAN75，从而可求P（TANATANB）的值解答解（）由已知，方程X2PXP10的判别式（P）24（P1）3P24P40，所以P2，或P由韦达定理，有TANATANBP，TANATANB1P所以，1TANATANB1（1P）P0，从而TAN（AB）所以TANCTAN（AB），所以C60（）由正弦定理，可得SINB，解得B45，或B135（舍去）于是，A180BC75则TANATAN75TAN（4530）2所以P（TANATANB）（2）1点评本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题20（13分）（2015四川）如图，椭圆E1（AB0）的离心率是，点P（0，1）在短轴CD上，且1（）求椭圆E的方程；（）设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点是否存在常数，使得为定值若存在，求的值；若不存在，请说明理由14考点直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程分析（）通过E、1，计算即得A2、B，进而可得结论；（）分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当1时3；当直线AB的斜率不存在时，3解答解（）根据题意，可得C（0，B），D（0，B），又P（0，1），且1，解得A2，B，椭圆E的方程为1；（）结论存在常数1，使得为定值3理由如下对直线AB斜率的存在性进行讨论当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为YKX1，A（X1，Y1），B（X2，Y2），联立，消去Y并整理得（12K2）X24KX20，（4K）28（12K2）0，X1X2，X1X2，从而X1X2Y1Y2X1X2（Y11）（Y21）15（1）（1K2）X1X2K（X1X2）12当1时，23，此时3为定值；当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时213；故存在常数1，使得为定值3点评本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题21（14分）（2015四川）已知函数F（X）2XLNXX22AXA2，其中A0（）设G（X）是F（X）的导函数，讨论G（X）的单调性；（）证明存在A（0，1），使得F（X）0恒成立，且F（X）0在区间（1，）内有唯一解考点利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性菁优网版权所有专题导数的综合应用分析（I）函数F（X）2XLNXX22AXA2，其中A0可得X0G（X）F（X）2（X1LNXA），可得G（X），分别解出G（X）0，G（X）0，即可得出单调性（II）由F（X）2（X1LNXA）0，可得AX1LNX，代入F（X）可得U（X）（1LNX）22XLNX，利用函数零点存在定理可得存在X0（1，E），使得U（X0）0，令A0X01LNX0V（X0），再利用导数研究其单调性即可得出解答（I）解函数F（X）2XLNXX22AXA2，其中A0可得X0G（X）F（X）2（X1LNXA），G（X），16当0X1时，G（X）0，函数G（X）单调递减；当1X时，G（X）0，函数G（X）单调递增（II）证明由F（X）2（X1LNXA）0，解得AX1LNX，令U（X）2XLNXX22（X1LNX）X（X1LNX）2（1LNX）22XLNX，则U（1）10，U（E）2（2E）0，存在X0（1，E），使得U（X0）0，令A0X01LNX0V（X0），其中V（X）X1LNX（X1），由V（X）10，可得函数V（X）在区间（1，）上单调递增0V（1）A0V（X0）V（E）E21，即A0（0，1），当AA0时，有F（X0）0，F（X0）U（X0）0再由（I）可知F（X）在区间（1，）上单调递增，当X（1，X0）时，F（X）0，F（X）F（X0）0；当X（X0，）时，F（X）0，F（X）F（X0）0；又当X（0，1，F（X）2XLNX0故当X（0，）时，F（X）0恒成立综上所述存在A（0，1），使得F（X）0恒成立，且F（X）0在区间（1，）内有唯一解点评本题考查了导数的运算法则、函数的零点、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题2015年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1（5分）（2015四川）设集合AX|1X2，集合BX|1X3，则AB（）AX|1X3BX|1X1CX|1X2DX|2X32（5分）（2015四川）设向量（2，4）与向量（X，6）共线，则实数X（）A2B3C4D6173（5分）（2015四川）某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（）A抽签法B系统抽样法C分层抽样法D随机数法4（5分）（2015四川）设A，B为正实数，则“AB1”是“LOG2ALOG2B0”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件5（5分）（2015四川）下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（）AYCOS（2X）BYSIN（2X）CYSIN2XCOS2XDYSINXCOSX6（5分）（2015四川）执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）ABCD7（5分）（2015四川）过双曲线X21的右焦点且与X轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A、B两点，则|AB|（）AB2C6D4188（5分）（2015四川）某食品保鲜时间Y（单位小时）与储藏温度X（单位）满足函数关系YEKXB（E2718为自然对数的底数，K，B为常数）若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（）A16小时B20小时C24小时D28小时9（5分）（2015四川）设实数X，Y满足，则XY的最大值为（）ABC12D1610（5分）（2015四川）设直线L与抛物线Y24X相交于A、B两点，与圆（X5）2Y2R2（R0）相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线L恰有4条，则R的取值范围是（）A（1，3）B（1，4）C（2，3）D（2，4）二、填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分11（5分）（2015四川）设I是虚数单位，则复数I12（5分）（2015四川）LG001LOG216的值是13（5分）（2015四川）已知SIN2COS0，则2SINCOSCOS2的值是14（5分）（2015四川）在三棱住ABCA1B1C1中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是15（5分）（2015四川）已知函数F（X）2X，G（X）X2AX（其中AR）对于不相等的