江苏省南京市2017届高三上学期学情调研卷数学试题

南京市2017届高三年级学情调研数学201609注意事项1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡参考公式柱体的体积公式VSH，其中S为柱体的底面积，H为柱体的高锥体的体积公式VSH，其中S为锥体的底面积，H为锥体的高13一、填空题本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合A0，1，2，BX|X2X0，则AB2设复数Z满足ZII34II为虚数单位，则Z的模为3为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间40，80中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间40，60内的汽车有辆4若函数FXSINX0的最小正周期为，6则F的值是35右图是一个算法的流程图，则输出K的值是6设向量A1，4，B1，X，CA3B若AC，则实数X的值是7某单位要在4名员工（含甲、乙两人）中随机选2名到某、地出差，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是K1开始输出K结束S80S1YNS2SKKK1（第5题）（第3题）0040030020014050607080时速/KM频率组距8在平面直角坐标系XOY中，双曲线C1（A0）的一条渐近线与直线Y2X1平X2A2Y24行，则实数A的值是9在平面直角坐标系XOY中，若直线AXY20与圆心为C的圆X12YA216相交于A，B两点，且ABC为直角三角形，则实数A的值是10已知圆柱M的底面半径为2，高为6；圆锥N的底面直径和母线长相等若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为11各项均为正数的等比数列AN，其前N项和为SN若A2A578，S313，则数列AN的通项公式AN12已知函数FX当X，M时，FX的取值范围为16，则12XX3，X0，2X，X0实数M的取值范围是13在ABC中，已知AB3，BC2，D在AB上，若3，则AC的长是AD13ABDBDC14已知FX，GX分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且FXGXX若存在12X0，1，使得等式AFX0G2X00成立，则实数A的取值范围是12二、解答题本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系XOY中，以X轴正半轴为始边的锐角和钝角的终边分别与单位圆交于点A，B若点A的横坐标是，点B的纵坐标是（1）求COS的值；（2）求的值16（本小题满分14分）XOYAB（第15题）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点（1）求证MN平面BB1C1C；（2）若D在边BC上，ADDC1，求证MNAD17（本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40M的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建在AB的延长线上取点D，OD80M，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为SM2设AOCXRAD（1）写出S关于X的函数关系式SX，并指出X的取值范围；（2）试问AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值18（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系XOY中，椭圆C1AB0的左、右焦点分别为X2A2Y2B2F1，F2，P为椭圆上一点（在X轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设PF1F1Q（1）若点P的坐标为1，且PQF2的周长为8，求椭圆C的方程；32（2）若PF2垂直于X轴，且椭圆C的离心率E，求实数的取值范围122219（本小题满分16分）ABOCD（第17题）ABCDMNA1B1C1（第16题）（第18题）XOYPF1F2Q已知数列AN是公差为正数的等差数列，其前N项和为SN，且A2A315，S416（1）求数列AN的通项公式；（2）数列BN满足B1A1，BN1BN1ANAN1求数列BN的通项公式；是否存在正整数M，NMN，使得B2，BM，BN成等差数列若存在，求出M，N的值；若不存在，请说明理由20（本小题满分16分）已知函数FXAX2BXLNX，A，BR（1）当AB1时，求曲线YFX在X1处的切线方程；（2）当B2A1时，讨论函数FX的单调性；（3）当A1，B3时，记函数FX的导函数FX的两个零点是X1和X2X1X2求证FX1FX2LN234南京市2017届高三年级学情调研数学附加题201609注意事项1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共40分，考试时间30分钟3答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41几何证明选讲如图，AB为圆O的一条弦，C为圆O外一点CA，CB分别交圆O于D，E两点若ABAC，EFAC于点F，求证F为线段DC的中点B选修42矩阵与变换已知矩阵A，B，设MAB22131001（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的特征值C选修44坐标系与参数方程已知曲线C的极坐标方程为2COS，直线L的极坐标方程为SINM若直线L与曲6线C有且只有一个公共点，求实数M的值D选修45不等式选讲解不等式|X1|2|X|4X（第21题A）ABCDEFO【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD中，侧棱PD底面ABCD，PDDC，点E是线段PC的中点（1）求异面直线AP与BE所成角的大小；（2）若点F在线段PB上，使得二面角FDEB的正弦值为，求的值PFPB23（本小题满分10分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影2523响现由甲先投（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列与期望ABCDFPE（第22题）南京市2017届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准说明1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）10，1223804556451278191106113N1122，85613142，102522二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15（本小题满分14分）解因为锐角的终边与单位圆交于A，且点A的横坐标是，所以，由任意角的三角函数的定义可知，COS，从而SIN2分1COS2因为钝角的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标是，所以SIN，从而COS4分1SIN2（1）COSCOSCOSSINSIN8分（2）SINSINCOSCOSSIN11分因为为锐角，为钝角，故，232所以14分3416（本小题满分14分）证明（1）如图，连结A1C在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点2分因为M为线段A1B的中点，所以MNBC4分又MN平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C6分（2）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC又AD平面ABC，所以CC1AD8分因为ADDC1，DC1平面BB1C1C，CC1平面BB1C1C，CC1DC1C1，所以AD平面BB1C1C10分又BC平面BB1C1C，所以ADBC12分又由（1）知，MNBC，所以MNAD14分17（本小题满分14分）解（1）因为扇形AOC的半径为40M，AOCXRAD，所以扇形AOC的面积S扇形AOC800X，0X2分XOA22在COD中，OD80，OC40，CODX，所以COD的面积SCODOCODSINCOD1600SINX1600SINX124分从而SSCODS扇形AOC1600SINX800X，0X6分（2）由（1）知，SX1600SINX800X，0XSX1600COSX8001600COSX8分12ABCDMNA1B1C1（第16题）由SX0，解得X23从而当0X时，SX0；当X时，SX02323因此SX在区间0，上单调递增；在区间，上单调递减11分2323所以当X，SX取得最大值23答当AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大14分2318（本小题满分16分）解（1）因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，所以PF1PF2QF1QF22A，从而PQF2的周长为4A由题意，得4A8，解得A22分因为点P的坐标为1，所以1，321A294B2解得B23所以椭圆C的方程为15分X24Y23（2）方法一因为PF2X轴，且P在X轴上方，故设PC，Y0，Y00设QX1，Y1因为P在椭圆上，所以1，解得Y0，即PC，C2A2B2AB2A7分因为F1C，0，所以2C，X1C，Y1PF1B2AF1Q由，得2CX1C，Y1，PF1F1QB2A解得X1C，Y1，所以QC，11分2B2A2B2A因为点Q在椭圆上，所以2E21，2B22A2即22E21E22，243E221，因为10，所以3E21，从而314分3E211E241E2因为E，所以E2，即51222141273所以的取值范围为，516分73方法二因为PF2X轴，且P在X轴上方，故设PC，Y0，Y00因为P在椭圆上，所以1，解得Y0，即PC，C2A2B2AB2A7分因为F1C，0，故直线PF1的方程为YXCB22AC由得4C2B2X22B2CXC2B24A20因为直线PF1与椭圆有一个交点为PC，设QX1，Y1，B2A则X1C，即CX1112B2C4C2B22B2C4C2B2分因为，PF1F1Q所以32CCX14C2B2B23C2A2A2C23E211E241E214分因为E，所以E2，即51222141273所以的取值范围为，516分7319（本小题满分16分）解（1）设数列AN的公差为D，则D0由A2A315，S416，得A1DA12D15，4A16D16，解得或（舍去）A11，D2，A17，D2所以AN2N14分（2）因为B1A1，BN1BN，1ANAN1所以B1A11，BN1BN，6分1ANAN112N12N11212N112N1即B2B11，1213B3B2，121315BNBN1，（N2）1212N312N1累加得BNB11，9分1212N1N12N1所以BNB11N12N1N12N13N22N1B11也符合上式故BN，NN11分3N22N1假设存在正整数M、NMN，使得B2，BM，BN成等差数列，则B2BN2BM又B2，BN，BM，433N22N13214N23214M2所以2，即，433214N23214M212M11614N2化简得2M714分7N2N19N1当N13，即N2时，M2，（舍去）；当N19，即N8时，M3，符合题意所以存在正整数M3，N8，使得B2，BM，BN成等差数列16分20（本小题满分16分）解（1）因为AB1，所以FXX2XLNX，从而FX2X11X因为F10，F12，故曲线YFX在X1处的切线方程为Y02X1，即2XY203分（2）因为B2A1，所以FXAX22A1XLNX，从而FX2AX2A1，X05分1X2AX22A1X1X2AX1X1X当A0时，X0，1时，FX0，X1，时，FX0，所以，FX在区间0，1上单调递增，在区间1，上单调递减7分当0A时，12由FX0得0X1或X，由FX0得1X，12A12A所以FX在区间0，1和区间，上单调递增，在区间1，上单调递减12A12A当A时，12因为FX0（当且仅当X1时取等号），所以FX在区间0，上单调递增当A时，12由FX0得0X或X1，由FX0得X1，12A12A所以FX在区间0，和区间1，上单调递增，在区间，1上单调递减12A12A10分（3）方法一因为A1，所以FXX2BXLNX，从而FXX02X2BX1X由题意知，X1，X2是方程2X2BX10的两个根，故X1X212记GX2X2BX1，因为B3，所以G0，G13B0，123B2所以X10，X21，且BXI2X1I1，212分122IFX1FX2XXBX1BX2LNXXLN2122X1X22122X1X2因为X1X2，所以FX1FX2XLN2X，X21，14分122222令T2X2，TFX1FX2LNT22T212T因为T0，所以T在区间2，单调递增，T122T2所以T2LN2，即FX1FX2LN216分3434方法二因为A1，所以FXX2BXLNX，从而FXX02X2BX1X由题意知，X1，X2是方程2X2BX10的两个根记GX2X2BX1，因为B3，所以G0，G13B0，123B2所以X10，X21，且FX在X1，X2上为减函数12分12所以FX1FX2FF1LN1BLN21214B21234B2因为B3，故FX1FX2LN2LN216分34B234南京市2017届高三年级学情调研数学附加参考答案及评分标准21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41几何证明选讲证明因为点A、D、E、B在圆O上，即四边形ADEB是圆内接四边形，所以BEDC3分因为ABAC，所以BC5分所以CEDC，从而EDEC7分又因为EFDC于点F，所以F为线段DC中点10分B选修42矩阵与变换解（1）MAB5分221310012213（2）矩阵M的特征多项式为F232|2213|令F0，解得11，24，所以矩阵M的特征值为1或410分C选修44坐标系与参数方程解曲线C的极坐标方程为2COS，化为直角坐标方程为X2Y22X即X12Y21，表示以1，0为圆心，1为半径的圆3分直线L的极坐标方程是SINM，即COSSINM，612化为直角坐标方程为XY2M06分3因为直线L与曲线C有且只有一个公共点，所以1，解得M或M|12M|21232所以，所求实数M的值为或10分1232D选修45不等式选讲解原不等式等价于或或X0，1X2X4X0X1，1X2X4XX1，X12X4X6分解得X；X0，1X2X4X，解得X1；0X1，1X2X4X，13解得X1X1，X12X4X所以原不等式的解集为，10分13【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分22（本小题满分10分）解（1）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PD底面ABCD，所以DA、DC、DP两两垂直，故以，为正交基底，建立空间直角坐标系DADCDPDXYZ因