2016年高考试题数学文北京卷解析

2016年普通高等学校全国统一考试（北京卷）文科数学本试卷共5页，150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知集合|24AX，|3BX或5，则AB（）A|5B|或5C|2XD|2X或5【答案】C考点集合交集【名师点睛】1首先要弄清构成集合的元素是什么即元素的意义，是数集还是点集，如集合|XFY，|XFY，|,XFY三者是不同的2集合中的元素具有三性确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错3数形结合常使集合间的运算更简捷、直观对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助VENN图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用4空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能另外，不可忽视空集是任何元素的子集2复数12I（）AIBICID1I【答案】A来源学优高考网GKSTK【解析】试题分析12245IIII，故选A考点复数运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化3执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A8B9C27D36【答案】B考点程序框图【名师点睛】解决循环结构框图问题，要先找出控制循环的变量的初值、步长、终值或控制循环的条件，然后看循环体，循环次数比较少时，可依次列出，循环次数较多时，可先循环几次，找出规律，要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误4下列函数中，在区间1,上为减函数的是（）A1YXBCOSYXCLN1YXD2XY【答案】D【解析】试题分析由12XXY在R上单调递减可知D符合题意，故选D考点函数单调性【名师点睛】函数单调性的判断1常用的方法有定义法、导数法、图象法及复合函数法2两个增减函数的和仍为增减函数；一个增减函数与一个减增函数的差是增减函数；3奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性5圆21XY的圆心到直线3YX的距离为（）A1B2C2D22【答案】C考点直线与圆的位置关系来源学优高考网【名师点睛】点,0YX到直线BKX即0KXY的距离公式201|KBXYD记忆容易，对于知D求K，B很方便6从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A1B2C85D9【答案】B【解析】试题分析所求概率为1425CP，故选B考点古典概型【名师点睛】如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来，然后再求出事件A中的基本事件数，利用公式NMAP求出事件A的概率，这是一个形象直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏如果基本事件个数比较多，列举有一定困难时，也可借助两个计数原理及排列组合知识直接计算M，N，再运用公式NMAP求概率7已知2,5，4,1B，若点,PXY在线段AB上，则2XY的最大值为（）A1B3C7D8【答案】C考点函数最值来源GKSTKCOM【名师点睛】求函数值域的常用方法单调性法，如5；配方法，如2；分离常数法，如1；数形结合法；换元法包括代数换元与三角换元，如2，3；判别式法，如4；不等式法，如4，5；导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如6；对于二元函数的值域问题，如5，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握8某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊学生序号12345678910立定跳远（单位米）19619218218017817617417216816030秒跳绳（单位次）63A7560637270A1B65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A2号学生进入30秒跳绳决赛B5号学生进入30秒跳绳决赛C8号学生进入30秒跳绳决赛D9号学生进入30秒跳绳决赛【答案】B【解析】试题分析将确定成绩的30秒跳绳成绩的按从大到小的顺寻排，分别是3，6，7，10，（1，5并列），4，其中，3，6，7号进了立定跳远的决赛，10号没进立定跳远的决赛，故9号需进30秒跳绳比赛的前8名，此时确定的30秒跳绳比赛决赛的名单为3，6，7，10，9，还需3个编号为18的同学进决赛，而（1，5）与4的成绩仅相隔1，故只能1，5，4进30秒跳绳的决赛，故选B考点统计【名师点睛】本题将统计与实际应用结合，创新味十足，是能力立意的好题，根据表格中数据分析排名的多种可能性，此题即是如此列举的关键是要有序有规律，从而确保不重不漏，另外注意条件中数据的特征第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9已知向量1,3,1AB，则A与B夹角的大小为_【答案】0考点平面向量数量积【名师点睛】由向量数量积的定义COS|BA为A，B的夹角可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法10函数21XF的最大值为_【答案】2【解析】试题分析12FX，即最大值为2考点函数最值,数形结合【名师点睛】求函数值域的常用方法单调性法，如5；配方法，如2；分离常数法，如1；数形结合法；换元法包括代数换元与三角换元，如2，3；判别式法，如4；不等式法，如4，5；导数法，主要是针对在某区间内连续可导的函数；图象法，求分段函数的值域通常先作出函数的图象，然后由函数的图象写出函数的值域，如6；对于二元函数的值域问题，如5，其解法要针对具体题目的条件而定，有些题目可以将二元函数化为一元函数求值域，有些题目也可用不等式法求值域求函数的值域是个较复杂的问题，它比求函数的定义域难度要大，而单调性法，即根据函数在定义域内的单调性求函数的值域是较为简单且常用的方法，应重点掌握11某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_【答案】32考点三视图【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征常见的有以下几类三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱12已知双曲线21XYAB（0A，B）的一条渐近线为20XY，一个焦点为5,0，则A_；_【答案】,2【解析】试题分析依题意有52CBA,结合22CAB,解得1,2考点双曲线的基本概念【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容对渐近线1掌握方程；2掌握其倾斜角、斜率的求法；3会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为12BYAX的形式，当0A，B，A时为椭圆，当0AB时为双曲线来源GKSTKCOM13在ABC中，23，AC，则B_【答案】1考点解三角形【名师点睛】根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用14某网店统计了连续三天售出商品的种类情况第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店第一天售出但第二天未售出的商品有_种；学优高考网这三天售出的商品最少有_种【答案】16；29【解析】试题分析由于前二天都售出的商品有3种，因此第一天售出的有19316种商品第二天未售出；答案为16同第三售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出，三天总商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数为29分别用,ABC表示第一、二、三天售出的商品，如图最少时的情形故答案为29CBA139142考点统计分析【名师点睛】本题将统计与实际情况结合，创新味十足，是能力立意的好题，关键在于分析商品出售的所有可能的情况，分类讨论做到不重复不遗漏，另外，注意数形结合思想的运用三、解答题（共6题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15（本小题13分）已知NA是等差数列，NB是等差数列，且32B，9，1BA，4（1）求的通项公式；（2）设NNC，求数列NC的前N项和【答案】（1）21NA（，2，3，）；（2）231N（II）由（I）知，21NA，13NB因此NNCB从而数列的前项和113213NNSN231N考点等差、等比数列的通项公式和前N项和公式，考查运算能力【名师点睛】1数列的通项公式及前N项和公式都可以看作项数N的函数，是函数思想在数列中的应用数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前N项和SN可视为数列SN的通项通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2数列的综合问题涉及到的数学思想函数与方程思想如求最值或基本量、转化与化归思想如求和或应用、特殊到一般思想如求通项公式、分类讨论思想如等比数列求和，1Q或等16（本小题13分）已知函数02COSSIN2XXF的最小正周期为（1）求的值；（2）求XF的单调递增区间【答案】（）1（）3,8K（K）考点两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性【名师点睛】三角函数的单调性1三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解关于复合函数的单调性的求法；2利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法例如与0比较，与1比较等求解17（本小题13分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过W立方米的部分按4元/立方米收费，超出W立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图（I）如果W为整数，那么根据此次调查，为使80以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，W至少定为多少（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当W3时，估计该市居民该月的人均水费【答案】（）3；（）105元（II）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表组号12345678分组,4,6,8,10,21,2,7频率050005根据题意，该市居民该月的人均水费估计为4165821215702570（元）考点频率分布直方图求频率，频率分布直方图求平均数的估计值【名师点睛】1用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观2频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于118（本小题14分）如图，在四棱锥ABCDP中，平面ABCD，,CA（I）求证平面；（II）求证平面平面；（III）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得/平面CF说明理由【答案】（）见解析；（）见解析；（III）存在理由见解析（III）棱上存在点F，使得/A平面CF证明如下取中点，连结，又因为为A的中点，所以F/又因为平面C，所以/平面来源学优高考网GKSTK考点空间垂直判定与性质；空间想象能力，推理论证能力【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系，构造寻找二面角的平面角或得到点到面的距离等19（本小题14分）已知椭圆C21XYAB过点A（2,0），B（0,1）两点（I）求椭圆C的方程及离心率；（）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与X轴交于点N，求证四边形ABNM的面积为定值学优高考网【答案】（）214XY；32E（）见解析所以离心率32CEA从而