考试题库数学分析

第一套一，选择题（每题3分，共15分）1，已知，FXABCD2,A0B1C2D33，FX在X0点连续，则下列命题不成立的是（）。AFX00、FX00存在BFX在X0点的极限存在CFX在X0点的某邻域内有界DFX在X0点的某空心邻域内连续4，X在A点连续，FX|XA|X，FA存在的条件是。AA0BA1CA1DAA5，设FXXX1X2X2004,则F0A0B2003C2004D2005，二，填空题（每题3分共15分）1，数列AN收敛的柯西准则是4，如果正方形的边长增加1CM，面积的微分DS12CM2，则原边长为。5，方程EXX2的根是个。三，计算题（每题5分，共20分）五，讨论函数FX的性态并作出其图形。14分六，有一无盖的圆柱形容器，体积为V，问底半径与容器高的比为多少时表面积最小七，对函数F（X）LN1X应用拉格朗日定理证明（8分）八、设FX在开区间I上为凸函数，证明存在。第二套一，选择题（每题3分，共15分）1，函数FXLNLNX的定义域是（）AX0BX0CX1DX12,A奇B偶C既奇又偶D非奇非偶3，FX在X0点连续的充分条件是（）。AFX00、FX00存在BFX在X0点的极限存在CFX0、FX0存在DFX在X0点的某空心邻域内连续4，FX在X0点可导是FX在X0,FX0点有切线的条件。A充分B必要C充分必要D非充分亦非必要5，设FXXX1X2X2003,则F0A0B2002C2003D2004，二，填空题（每题3分共15分）1，设函数FX在X0的某空心邻域U0X0内有定义，则柯西收敛准则是4，如果正方体各棱长增加1CM，体积的微分DV12CM3，则原棱长为。5，函数YXSINX在（2，2）内的拐点个数是个。三，计算题（每题5分，共20分）五，讨论函数FX的性态并作出其图形。14分六，某窗户上部为半圆，下部为矩形，周长为15M，要使窗户透光面积最大，问宽X应为多少米（10分）七，设F（X）、G（X）在D上有界，证明（8分）第三套一、单项选择（每小题3分，共18分）1、已知函数XFY的定义域是0,1，则LNXFY的定义域为（）A0,B1,0C,ED,02、对常数函数YC,下列说法中错误的是A既是奇函数也是偶函数B既有上界又有下界C既单调递增也单调递减D没有最小正周期的周期函数3、0XF是XF严格增加的条件A充分B必要C充要D既非充分也非必要4、设,TGF则HFFH20LIM0A2B0C1D215、函数LN2XXF的奇偶性是（）A奇函数（B）偶函数（C）既奇又偶函数D非奇非偶函数6、点集S1的聚点是（）（A）0B1C1D1和1二、计算（每小题6分，共30分）1、LIMNN2、1LIM0XXE3、XXSICO3204、XYCOS,求Y5、TEYTIN,求2DY三、做一无盖圆柱形容器，给定体积为V。问底半径与高的比如何取时最省材料（8分）四、将函数COSINXXF展开到4项，并用之计算极限40ILIMX（8分）五、叙述F类型函数极限的归结原则，并用之证明若为周期函数，且LIMXFX0，则0XF（8分）六、证明不等式02X时，SN2（8分）七、证明WEIERSTRASS聚点定理直线上的有界无限点集S至少有一个聚点。（8分）八、作函数XYLN的图像，并1、比较203与20的大小。2、求数列3,N的最大项。（12分）第四套五、单项选择（每小题3分，共18分）1、已知函数LNXY的定义域是（）A0,B1,0C,ED,12、1、下列各组函数中相等的是A2XY与YB2XY与XYC与1（D）SINARC与3、函数F在A可导是曲线F在点,F处存在切线的条件A充分B必要C充要D既非充分也非必要4、设0,10FF则HFLIMAB0C1D不存在5、对常数函数YC,下列说法中错误的是A既有上界又有下界B既是奇函数也是偶函数C既单调递增也单调递减D没有最小正周期的周期函数6、XXSINLIM0（）（A）1B0C1D不存在六、计算（每小题6分，共30分）1、NN3LI2、LNLIM1XX3、X04、TGY,求Y5、32TY,求2DX七、试将多项式4写成1的升幂排列（8分）八、在半径为R的半圆内作一矩形，如何作其面积最大（8分）五、用极限的定义证明3LIM21X8分六、明方程03CXC为常数在（0，1）内没有两个不同实根。（8分）七、已知AF存在，证明2LIM0AFHFAFH8分八、作函数21XY的图像（12分）第五套一、选择题（每题3分，共15分）1、若LNX为F的一个原函数，则XFD（）。ACB21LNCC1D12LNXC2、设0L5XFTDX，则F（）。A25B2C25XD5X3、下列反常积分收敛的是（）。A1DXBLNEXDC0COSDD20XED4、级数22LN为（）级数。A收敛B绝对收敛C条件收敛D发散5、幂级数1NNX的收敛域为（）。A2,B2,C1,3D1,3二、填空题（每题3分，共15分）1、设FX的一个原函数为LNX，则FDX。2、已知函数0XTYED，则0Y。3、曲线2与轴围成的图形的面积为。4、151N。5、函数LFX的麦克劳林级数是。三、计算题（每题4分，共20分）1、计算XDE2、计算320SINCOXD3、求心脏线1COS,0RA的周长。4、已知35XS求SX。5、已知01COSIN2NAB，,求,NAB。四、设YFX为,上严格增的连续函数，证明，使得图中两阴影的面积相等。五、证明不等式20112XEDE六、证明函数列2NFX在,上一致收敛。七、求L1F的麦克劳林展开式。八、一个半径为20米的半球形容器内盛满了水，求把水抽尽所作的功。第六套六、选择题（每题3分，共15分）1、若FX可导，则FXD（）。ABCCFXDFXC2、设F的一个原函数为SIN，则20D（）。A0B2C1D13、瑕积分BAFXD收敛是2BAFX收敛的（）条件。A充分B必要C充分必要D非充分亦非必要4、级数22LN1L为（）级数。A收敛B绝对收敛C条件收敛D发散5、幂级数1NX的收敛域为（）。A2,B2,C2,D2,七、填空题（每题3分，共15分）6、XDE。7、已知015K，则K。8、曲线2YX与2Y轴围成的图形的面积为。9、11N。10、函数XFE的麦克劳林级数。YFXAB0YX八、计算题（每题4分，共20分）1、计算DX2、计算20COS1INXD3、求心椭圆21YAB所围的面积。4、求21NX的收敛半径、收敛区间、收敛域。5、求函数F，0,2X的傅里叶展开式。九、设YF连续可微函数，求XADTFDT。十、证明不等式4LN36E六、证明231LXN在0,1上一致收敛。七、求FX的麦克劳林展开式。八、有一等腰梯形闸门，它的上、下两条底边各长10米、6米，高为20米，计算当水面与上底边齐时闸门一侧所受的静压力。第七套一、单项选择（每小题3分，共15分）1、已知XFF,则DXF；A、CXSINB、CEC、2XFD、CXFLN2、DF（）；A、B、XFC、FD、F3、0LIMNA是级数NA收敛的（）条件；A、充分但不必要B、必要但不充分C、充要D、既非充分也非必要4、幂级数X的收敛域为；A、1,1B、1,C、1,D、1,5、下列广义积分中，收敛的是（）。A、10DXB、1DXC、1DXD、0DX二、填空（每小题3分，共12分）1、X2_2、1N_；3、已知21LIMNA，则幂级数1NNXA的收敛区间为_；4、120XD_；三、计算不定积分或求定积分的值。（每小题6分，共24分）421X1LNEXD03ECOS2XD4、设DTFSIN，求0F四、用定积分求极限12122NNLIMN。9分五、求幂级数1NX的收敛域及和函数XS。（10分）六、求曲线2Y、42和1Y所围平面区域的面积。（10分）七、证明（每小题10分，共20分）1、设XF是以T为周期的连续函数，证明TAF02、函数列21XNN在,上一致收敛。第八套五、单项选择（每小题3分，共15分）1、已知CXDFCOS,则XF；A、XSINB、C、SIND、XCOS2、F（）；A、B、XFC、DFD、DXF3、连续是可积的（）条件；A、充分但不必要B、必要但不充分C、充要D、既非充分也非必要4、幂级数NX的收敛域为；A、1,1B、,C、1,D、1,5、下列广义积分中，收敛的是（）。A、12DXB、1DXC、1DXD、0DX六、填空（每小题3分，共12分）1、02DX_2、1N_；3、幂级数12NX的收敛半径为_；4、LD_。七、计算不定积分或求定积分的值。（每小题8分，共24分）10X21LNXD213DX八、用定积分求极限NLIMN。9分五、求幂级数1NX的收敛域及和函数XS。（10分）六、求椭圆2BYA绕X轴旋转一周而成的旋转体的体积。（10分）七、证明（每小题10分，共20分）1、设XF在A,A上连续，证明当XF为偶函数时，AAFF02当为奇函数时，0F3、函数项级数241XN在,上一致收敛。第九套一、确定集1210|,2YXYE的内点、外点、聚点集和边界。（8分）二、考查函数0,0,22YXXF在原点的可微性（8分）三、用定义,验证极限721LIM,YX（8分）四、2UVZ,YXVSIN,COS求XZ和Y（8分）五、验证方程0I2YXF在点,满足隐函数存在唯一性定理的条件,并求隐函数的导数（10分）六、要做一个无盖的圆柱形容器，其容量为V，问如何截取容器的高和底面半径，所用材料最省（10分）七、,VZDXY由曲面2,12ZXYZ所围成；（12分）八、2S，其中S是立体的边界曲面；（12分）九、2LXYDD，L为以,0,1,ABCD为顶点的正方形沿逆时针方向（12分）十、333SZXZY，S为球面22XYZA的外测。（12分）第十套一、确定集|,0XYE的内点、外点、聚点集和边界（8分）二、叙述0LIMXYF的定义（6分）三、已知,F2YX求1,XF（8分）四、求极限20YX,LI的值。（8分）五、已知2VUZ,YXVYXSIN,COS求XZ和Y（10分）六、将数12分成三个正数Z之和，使得U23为最大。七、求方程ARTGY2LN所确定的隐函数的导数（12分）八、求球体2RZX被圆柱面RXY2所割下立体的体积（12分）九、,VZD由曲面22,1XZ所围成；（12分）十、2LYS，其中L是以（0，0），（2，0），（0，1）为顶点的三角形（12分）；第十一套一，选择题（每题3分，共15分）2,函数FX,Y的全微分为。ABCD二，填空题（每题3分共15分）3，设ZFX,Y,XRCOST,YRSINT,则4，曲线XTSINT，Y1COST，Z1COST在点，0，2的法平面方程为。三，计算题（每题5分，共计20分）1，求ULNX2Y在4,3点处的全微分。2、求曲面9X2Y2Z29在点（1，1，1）处的切平面方程。4、计算二重积分，D0YX，0X1。四、求圆X32Y21与抛物线YX2之间的最短距离。10分五、设UFX2Y2，证明（10分）10分第十二套一，选择题（每题4分，共20分）1、设2,1ARCOSFXYXY，则,1XF。AXB2ARCSINXYC1DY2、函数4,FY在,的全微分为。ADB4DXYCD23、已知242310XY，则Y。A6B2316XYC231XYD4，设20,XDFDFYD，则交换积分次序后为。A2402YB2,YYFXFXC402YDDD2,YFF5，锥面2ZX被柱面2ZX所截部分的面积是。ABC2D32二，填空题（每题4分共20分）1、抛物柱面YX与平面0,YZ所围成的空间几何体在XOY平面上的投影是。2、由方程221所确定的隐函数的极小值是。3、已知,ZFXY，则Z。4，曲线22SINICOS,ATBTT在4点切线方程为。5，设L是抛物线4YX从0A到,B的一段，则LDYX。三、计算题每题5分，共20分1、设22ZUCAB，求,GRAD|BCU。2、求函数2,635FXYXY在1,2处的泰勒展式。3、求2在条件下的极值。4、计算曲线积分2LZS，其中L是2XYZA与XY相交的圆周。四、证明函数,FXY在0,连续，但偏导数不存在。10分五，证明平面曲线2233A上任一点处的切线被坐标轴所截的线段等长。10分六，设2,0DXYYX，请给出二重积分,DFXYD在极坐标变换下的两个累次积分。10分七，对于全微分式1XYEDE，验证原函数存在，并求原函数,U。10分八、计算21XY，其中S是球面的上半部分并取外侧。参考答案第一套一，选择题（每题3分，共15分）1，C；2，A；3，D；4，A；5，C。二，填空题（每题3分共15分）1，2，A1，B1；3，2FA；4，6；5，2。三，计算题（每题5分，共20分）解解解0SYZDX21X证，故结论成立。五，讨论函数FX的性态并作出其图形。14分解1定义域R；2FX,令FX0得X1；3FX，令FX0得X2；4列表X，111，222，YYY极大拐点5渐近线，Y0为水平渐近线；6特殊点0，0，1，1，2,2E27作图XY1120六，有一无盖的圆柱形容器，体积为V，问底半径与容器高的比为多少时表面积最小解设底面半径为R，高为H，则目标函数为S2RHR2约束条件为VR2H，代入目标函数得,令S0得,代入约束条件中得所以当高等于半径时，窗容器表面积最小。七，对函数F（X）LN1X应用拉格朗日定理证明（8分）证由拉格朗日定理得即八、设FX在开区间I上为凸函数，证明存在。证作函数FX在开区间I上为凸函数，FX在X0的右邻域内单调上升，而I是一开区间，所以I中能找到一点X0上有下界，由单调有界定理知XFFXLIM00存在，故存在，同理可证存在。第二套一，选择题（每题3分，共15分）1，C；2,A；3，C；4，A；5，C。二，填空题（每题3分共15分）2，A4；B12；3，FX；4，2；5，3。三，计算题（每题5分，共20分）解设UXN，V1X1,则UKNN1NK1XNK而VKK1XK1,由莱布尼兹公式得五，讨论函数FX的性态并作出其图形。14分解1，定义域X1；3，列表X,111,11,333,Y00Y“Y2极大0极小4，与坐标轴的交点（3，0）、（0，）；6，作图Y六，某窗户上部为半圆，下部为矩形，周长为15M，要使窗户透光面积最大，问宽X应为多少米（10分）解七，设F（X）、G（X）在D上有界，证明（8分）第三套一、1C2A3A4D5A6D二、1、原式01LIMNN2、原式1LIM0XXEXEXLIM021LI0XE3、原式XSINLI3021LI30XXX014、Y1SINCO1SXEX5、TDXYSINCO,33222IICOITETTDT三、底半径为R,高为KR,则3KRV,即3KV,表面积2123KRKS,令1,032131KK四、24512431SIN4SIINCOSI4342XOXXOXXO612412451LIMCSCSINLIM4040XXOXXX五、AFXLI,LI,NN都有AFNLIM证明设周期为T。反证若,00F则令TX0，但,LI0XFFN矛盾六、20时，2SI（8分）设2COS,XFXXF当ARCOS0时，2SIN,0,0XFFF当2X时，,2,XXF综上，命题得证。七、见书219P八、略第四套九、1D2A3A4C5B6B二、1、原式331LIMEN2、原式21LIM1LNIL1NLIM21XXXX3、1LI,0LILINLI02000EXXXX4、TGYSIEC25、23TTDX,TTDXY4322三、,41,43Y432116XY四、如图矩形的面积为,SINSICO22RRS令90450五、证明限制,1X即20X,0,312X只需取21MIN即可六、反证设CXF3,若0,0,2121FFX,则可由罗尔中值定理，,101F，然而方程2XF在（0，1）内无实根，故原命题成立。8分七、证明22HOAFHFAHFA以上两式相加得22OFFFHFOO所以LIM2LIM200AFHOAFHFAFFHH八、略九、第五套十一、选择题（每题3分，共15分）1、D2、C；3、D；4、B；5、C。十二、填空题（每题3分，共15分）11、LNX；2、1；3、4；4、15；5、2311NXX十三、计算题（每题4分，共20分）1、计算XDE2、计算320SICODX解解作变换T得221XXDDEE3300SINCOSCOINXXARTXEC所以32200I1SISNDD4X3、求心脏线1COS,0RA4、已知35XS的周长。求X。解220SD解241X1COSA0482所以201XSDTLN5、已知01COSIN2NAXBX，,求,NAB。解0ND0SISIBXXYFXAB0YX11022COSNNXD十四、设YF为,AB上严格增的连续函数，证明，使得图中两阴影的面积相等。证设TAFFXDBTFXD则0B而，AF，所以,AB，0F“”即AFXDBTFXD，故结论成立。十五、证明不等式20112EE证2220010XXXXE2211XDDE22220010XXXXED21XED1故结论成立。六、证明函数列21NXF在,上一致收敛。证因为21NX而1LIM02N所以1NXF在,上一致收敛。七、求2LFX的麦克劳林展开式。解因为2LXX而1LN1NX，所以122LN1NX故21NNF,X八、一个半径为20米的半球形容器内盛满了水，求把水抽尽所作的功。解如图建立坐标系，在0,中取微元D，则体积微元20DVXD，质量微元2MGX，微功20WGXD，求积分得总功为220WGXD2024GXD7696902千焦此即所求。第六套一、选择题（每题3分，共15分）1、A；2、D；3、D；4、B；5、B。二、填空题（每题3分，共15分）1、XEC；2、5；3、1；4、2；5、21NXXE三、计算题（每题4分，共20分）1、计算DX2、计算20COSINDX解1T解21S2LNTTC0SIINDXXX12U43、求心椭圆21YAB所围的面积。解VAB4、求21NX的收敛半径、收敛区间、收敛域。解2R，收敛区间、收敛域为2，25、求函数F，0,2X的傅里叶展开式。解2010XAFDD2201COSCOSNFXNN01IIXBX，1S2NFX四、设YF连续可微函数，求XADTFDT。解XXAADTFTFXXAAFTTDFXY020YX五、证明不等式4LN36EXD证设FX，则2LNXF，令0F得2XE2,E时LNX上升，2,4E时LN下降，所以1LE，故LN36XD六、证明23LNX在0,1上一致收敛。证因为1关于单调上升，所以2233LNLNX而2N收敛，所以由优级数判别法知231L在0,1上一致收敛。七、求FX的麦克劳林展开式。解31X2133NXX2311NX八、有一等腰梯形闸门，它的上、下两条底边各长10米、6米，高为20米，计算当水面与上底边齐时闸门一侧所受的静压力。解腰的直线方程为50XY在0，20中取微元DX，则面积微元21DSD压力微元2510P所以压力为05XP1437333千牛第七套九、单项选择（每小题3分，共15分）1、D2、C3、B4、C5、A十、填空（每小题3分，共12分）1、2、23、（1，3）4、XY0205十一、计算不定积分或求定积分的值。（每小题6分，共24分）解43221121LN2XXXDXDC111112LNLLNLN2EEEEEX00003ECOSCOS2SIN2SIN2COS114E5XXXXXXDDED4、设TXF2SIN，求DF1,I22X21COS0S21SIN011021010XDXDXFFDFXF四、用定积分求极限222NLIMN。9分解原式01110KNXDXLI五、求幂级数1NX的收敛域及和函数S。（10分）解1N,XDTNX1LN1010L1NXXXLIMNA,收敛域为1,1六、求曲线2XY、42和1Y所围平面区域的面积。（10分）0141032DA七、证明（每小题10分，共20分）1、设XF是以T为周期的连续函数，证明TAF0证明TAAAFF0,令XTX1YOXAATADTFTTFDXF00TATATAFFF004、函数列21NN在,上一致收敛。证明LIMXFF5、021,2,0XNXFXFNNX0时也成立。6、所以函数列21XNFN在,上一致收敛。第八套一、单项选择（每小题3分，共15分）1、C2、C3、A4、B5、A二、填空（每小题3分，共12分）1、2、21X3、4、2LNXC三、计算不定积分或求定积分的值。（每小题8分，共24分）DX0解令T,原式CXCTDTTT12121100XD、LN2解原式XXDXXX9LN3LN33L33221D解令TDXTXT2,1,原式201ARCTN210T四、用定积分求极限NNLIMN。9分解原式2L0L101XXKLIN五、求幂级数1NX的收敛域及和函数S。（10分）解XN10,逐项求导得20N1X，21NNXLIMA,收敛域为1,六、求椭圆2BYX绕X轴旋转一周而成的旋转体的体积。（10分）解223202040VABXBDADA七、证明（每小题10分，共20分）1、设XF在A,A上连续，证明当XF为偶函数时，AAFF0当为奇函数时，0F证明AAADFXDF,令TXATTX000,当为偶函数时,TFFAAAFXFFF002当T为奇函数时,TT00AAADFFDXF2、函数项级数241XN在,上一致收敛。证明224X，（X0时也成立）21N收敛，241N在,上一致收敛。第九套一、内点集为|,12102YXYE，外点集为|,2X聚点集为2边界为,|,12或点YY二、0000XFFFXX,LIM,同理，0,YF若处可微，则在,YDY,而SINCOSINCOLILI21200DXI,YXX中200DYXLIM,所以处不可微。在,YF三、证明126123372031002YXXYXYYX中,MIN,时当四、UVVUVZUZSINCOS2COINYXYXYY2五、1XFSI,21在点,0的邻域内连续；20；3YYXYXCOS,在点,的邻域内连续；421,YF；所以方程2210YYXFDFXYXCOS,SIN,，函数内有连续导函数的隐的一个定义在的某邻域内确定了唯一在点六、设底面半径为X,高为Y,则VX,表面积为2,SXYXY设,L2令33220VYYXVYXL,XY七、221173VDZDXYZDXYZD八、2222130XYSDDXYDXYZDXYDDR九、由格林公式，2122012LDXYDXYXYDXYD十、由高斯公式，3332252250008SINCOSSVAXDYZXZDYXYZDXYARRA第十套一、内点集为|,0XYE，外点集为|,YX聚点集为边界为|,或二、MYXF中YX,当,都有时0001,0A2,0B2,1C,1D三、23222,YXYXYXF所以5312,XF四、令SINCORY，则0224020RYXRYXSINCOLIMLI,五、YXYVUVZXUZ222COSSICSINCYXYYXYY2SININO六、24601231223ZYXZYXLZZZYX,令设七、设YXFDXYYXYXFYXXARCTGFYXX,LN,22222211则八、九、120112320746VDDZDXYZDXYZDXY。Z0AARARVD32SIN34DDCOS9412032022十、2212222000148519533LOABXXYDSXYDSXDY第十一套一，选择题（每题3分，共15分）1、A；2、C；3、A；4、D；5、C。二，填空题（每题3分共15分）1、；2、YSIN2XY；3、4，X；5，三，计算题（每题5分，共计20分）1，求ULNX2Y在4,3点处的全微分。解DU|（4，3），此即所求。2、求曲面9X2Y2Z29在点（1，1，1）处的切平面与法线方程。解设F（X，Y，Z）9X2Y2Z29，则FX1，1，19，FY1，1，12，FZ3，1，12。切平面方程为9X12Y12Z1解0,O2,0A,BXY4、计算二重积分，D0YX，0X1。解四、求圆X32Y21与抛物线YX2之间的最短距离。10分解目标函数DX32Y2约束条件YX20作拉