普通高等学校招生全国统一考试数学理试题全国卷,正式解析

1绝密启封并使用完毕前试题类型新课标2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（全国卷3）注意事项1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷1至3页，第卷3至5页。2答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第卷一选择题本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设集合S|230,|0XTX，则SITA2，3B（，2U3,）C3,）D（0，23,）【答案】D考点1、不等式的解法；2、集合的交集运算（2）若2ZI，则41IZA1B1CIDI【答案】C【解析】试题分析44121IIIZ，故选C考点1、复数的运算；2、共轭复数（3）已知向量3,BAUV,3,2BUV则ABCA300B450C600D1200【答案】A2【解析】试题分析由题意，得131322COS|BAC，所以30ABC，故选A考点向量夹角公式（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。下面叙述不正确的是A各月的平均最低气温都在00C以上B七月的平均温差比一月的平均温差大C三月和十一月的平均最高气温基本相同D平均气温高于200C的月份有5个【答案】D考点1、平均数；2、统计图（5）若3TAN4，则2COSINA62B485C1D1625【答案】A【解析】试题分析由3TAN4，得34SIN,COS5或34IN,COS5，所以321624COSIN55，故选A考点1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式（6）已知43A，25B，13C，则（A）（B）AB（C）BCA（D）CAB【答案】A【解析】试题分析因为4235AB，123354CA，所以BC，故选A考点幂函数的图象与性质（7）执行下图的程序框图，如果输入的6A，那么输出的N（A）3（B）4（C）5（D）6【答案】B考点程序框图（8）在ABC中，4，BC边上的高等于13BC,则COSA4（A）310（B）10（C）10（D）310【答案】C【解析】试题分析设C边上的高线为AD，则3，所以25ACA，2ABD由余弦定理，知2225910COSBCD，故选C考点余弦定理9如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）18365（B）4185（C）90（D）81【答案】B考点空间几何体的三视图及表面积10在封闭的直三棱柱1ABC内有一个体积为V的球，若ABC，6，8B，13A，则V的最大值是（A）4（B）92（C）6（D）32【答案】B【解析】试题分析要使球的体积V最大，必须球的半径R最大由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，5球的半径取得最大值32，此时球的体积为33492R，故选B考点1、三棱柱的内切球；2、球的体积（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C210XYAB的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点P为C上一点，且PX轴过点A的直线L与线段PF交于点M，与Y轴交于点E若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（A）13（B）12（C）3（D）4【答案】A考点椭圆方程与几何性质（12）定义“规范01数列”AN如下AN共有2M项，其中M项为0，M项为1，且对任意2KM，12,KA中0的个数不少于1的个数若M4，则不同的“规范01数列”共有（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个【答案】C【解析】试题分析由题意，得必有10A，8，则具体的排法列表如下011101101011100110101100100110101601101011001101010考点计数原理的应用第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题本大题共3小题，每小题5分（13）若,XY满足约束条件102XY则ZXY的最大值为_【答案】32考点简单的线性规划问题（14）函数SIN3COSYX的图像可由函数SIN3COSYX的图像至少向右平移_个单位长度得到【答案】3【解析】7试题分析因为SIN3COS2IN3YXX，SIN3COS2IN3YXX2SIN3X，所以函数ICOY的图像可由函数ICOSY的图像至少向右平移个单位长度得到考点1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数（15）已知FX为偶函数，当0X时，LN3FXX，则曲线YFX在点1,3处的切线方程是_。【答案】21YX考点1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义（16）已知直线L30MXY与圆21XY交于,AB两点，过,分别做L的垂线与X轴交于,CD两点，若2AB，则|CD_【答案】4【解析】试题分析因为|23，且圆的半径为23，所以圆心0,到直线30MXY的距离为22|ABR，则由2|1M，解得，代入直线L的方程，得23X，所以直线L的倾斜角为30，由平面几何知识知在梯形ABDC中，|4COS30AB考点直线与圆的位置关系三、解答题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）已知数列NA的前N项和1NNSA，其中0（I）证明是等比数列，并求其通项公式；（II）若5312S，求8【答案】（）11NNA；（）1【解析】考点1、数列通项NA与前项和为NS关系；2、等比数列的定义与通项及前N项和为NS（18）（本小题满分12分）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位亿吨）的折线图（I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合Y与T的关系，请用相关系数加以说明；（II）建立Y关于T的回归方程（系数精确到001），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量。参考数据71932I，7140ITY，72105II，264679参考公式相关系数1221YNIINIIITR，回归方程YABT中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为12NIIITB，YT【答案】（）理由见解析；（）182亿吨（）由31729Y及（）得103289712IIITYB，9204TBA所以，Y关于的回归方程为TY将2016年对应的9T代入回归方程得82190所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约182亿吨考点线性相关与线性回归方程的求法与应用（19）（本小题满分12分）如图，四棱锥PABC中，地面ABCD，10ADBC，3AC，4PAB，M为线段AD上一点，2MD，N为P的中点（I）证明MNA平面PB；（II）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）见解析；（）852设,ZYXN为平面PMN的法向量，则0PNNM，即0254ZYX，可取1,2N，11于是258|,COS|ANN考点1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积（20）（本小题满分12分）已知抛物线C2YX的焦点为F，平行于X轴的两条直线12,L分别交C于AB，两点，交C的准线于PQ，两点（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；（II）若的面积是的面积的两倍，求B中点的轨迹方程【答案】（）见解析；（）21YX12考点1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法（21）（本小题满分12分）设函数COS21COSFXAX，其中0A，记|FX的最大值为A（）求；（）求A；（）证明|2FX【答案】（）2SIN1SINFXAXX；（）213,056,81AA；（）见解析【解析】试题分析（）直接可求FX；（）分1,0A两种情况，结合三角函数的有界性求出A，但须注意当01A时还须进一步分为5两种情况求解；（）首先由（）得到|2|FX，然后分1A，0,1A三种情况证明试题解析（）2SINSINFXXX（）当1A时，|SINCO1|FX21A32A0F13因此，32AA4分当01时，将FX变形为2COS1COSFXAXX令21GTT，则A是|GT在,上的最大值，1GA，32，且当4A时，取得极小值，极小值为226488A令1，解得3A（舍去），15考点1、三角恒等变换；2、导数的计算；3、三角函数的有界性请考生在22、23、24题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。22（本小题满分10分）选修41几何证明选讲如图，O中AB的中点为P，弦CD，分别交AB于EF，两点（I）若2F，求的大小；（II）若EC的垂直平分线与F的垂直平分线交于点G，证明OCD14【答案】（）60；（）见解析考点1、圆周角定理；2、三角形内角和定理；3、垂直平分线定理；4、四点共圆23（本小题满分10分）选修44坐标系与参数方程在直角坐标系XOY中，曲线1C的参数方程为3COSINXY为参数，以坐标原点为极点，以X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2的极坐标方程为SI24（I）写出1C的普通方程和2的直角坐标方程；（II）设点P在上，点Q在C上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标【答案】（）1的普通方程为213XY，2的直角坐标方程为40XY；（）31,215考点1、椭圆的参数方程；2、直线的极坐标方程24（本小题满分10分）选修45不等式选讲已知函数|2|FXA（I）当A2时，求不等式6FX的解集；（II）设函数|1|,G当R时，3FXG，求A的取值范围【答案】（）|3X