2016年高考试题数学理北京卷解析版

第1页共17页2016年普通高等学校全国统一考试（北京卷）理科数学本试卷共5页，150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合|2AX，1,023B，则AB（）A0,1B,CD,【答案】C考点集合交集【名师点睛】1首先要弄清构成集合的元素是什么即元素的意义，是数集还是点集，如集合|XFY，|XFY，|,XFY三者是不同的2集合中的元素具有三性确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错3数形结合常使集合间的运算更简捷、直观对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助VENN图实施，对连续的数集间的运算，常利用数轴进行，对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用4空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能另外，不可忽视空集是任何元素的子集2若X，Y满足203XY，则2XY的最大值为（）A0B3C4D5【答案】C【解析】第2页共17页考点线性规划【名师点睛】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解如变式2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察Z的大小变化，得到最优解3执行如图所示的程序框图，若输入的A值为1，则输出的K值为（）A1B2C3D4开始输入AK0,BAAB输出K结束KK11否是【答案】B【解析】试题分析输入1A，则0K，1B；进入循环体，2，否，A，否，K，1A，此时1B，输出K，则2，选B第3页共17页考点算法与程序框图【名师点睛】解决循环结构框图问题，要先找出控制循环的变量的初值、步长、终值或控制循环的条件，然后看循环体，循环次数比较少时，可依次列出，循环次数较多时，可先循环几次，找出规律，要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误4设A，B是向量，则“|AB”是“|AB”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】D考点1充分必要条件；2平面向量数量积【名师点睛】由向量数量积的定义COS|BA为A，B的夹角可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法5已知X，YR，且0XY，则（）A10BSINC102XYDLN0XY【答案】C【解析】试题分析A由0YX，得YX1，即0，A不正确；B由及正弦函数SIN的单调性，可知0SINYX不一定成立；C由120，0YX，得YX21，故21，C正确；D由，得，不一定大于1，故LYX不一定成立，故选C考点函数性质【名师点睛】函数单调性的判断1常用的方法有定义法、导数法、图象法及复合函数法2两个增减函数的和仍为增减函数；一个增减函数与一个减增函数的差是增减函数；3奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性第4页共17页6某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A16B13C12D1【答案】A【解析】试题分析分析三视图可知，该几何体为一三棱锥PABC，其体积1326V，故选A考点1三视图；2空间几何体体积计算【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征常见的有以下几类三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱7将函数SIN23YX图象上的点,PT向左平移S（0）个单位长度得到点P，若位于函数I的图象上，则（）第5页共17页A12T，S的最小值为6B32T，S的最小值为6CT，的最小值为3DT，的最小值为3【答案】A考点三角函数图象平移【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩特别注意平移变换时，当自变量X的系数不为1时，要将系数先提出翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换8袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C乙盒中红球不多于丙盒中红球D乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【答案】C考点概率统计分析【名师点睛】本题将小球与概率知识结合，创新味十足，是能力立意的好题如果所求事件对应的基本事件有多种可能，那么一般我们通过逐一列举计数，再求概率，此题即是如此列举的关键是要有序有规律，从而确保不重不漏另外注意对立事件概率公式的应用第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分第6页共17页9设AR，若复数1IA在复平面内对应的点位于实轴上，则A_【答案】【解析】试题分析111IAAIRA，故填考点复数运算【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化10在612X的展开式中，2X的系数为_（用数字作答）【答案】60【解析】试题分析根据二项展开的通项公式162RRRTCX可知，2的系数为260C，故填6考点二项式定理【名师点睛】1所谓二项展开式的特定项，是指展开式中的某一项，如第N项、常数项、有理项、字母指数为某些特殊值的项求解时，先准确写出通项RNRBAT1，再把系数与字母分离出来注意符号，根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征，列出方程或不等式来求解即可；2、求有理项时要注意运用整除的性质，同时应注意结合N的范围分析11在极坐标系中，直线COS3IN10与圆2COS交于A，B两点，则|_【答案】2考点极坐标方程与直角方程的互相转化【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式SIN,COYX即可将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用X以及2YX，0TANXY，同时要掌握必要的技巧12已知NA为等差数列，NS为其前项和，若1，35A，则6S_【答案】6第7页共17页【解析】试题分析NA是等差数列，35420A，4A，4136D，2，615616SD，故填6考点等差数列基本性质【名师点睛】在等差数列五个基本量1A，D，N，A，NS中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前N项和公式列出关于基本量的方程组来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用13双曲线21XYAB（0A，B）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则A_【答案】2考点双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容对渐近线1掌握方程；2掌握其倾斜角、斜率的求法；3会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为12BYAX的形式，当0A，B，A时为椭圆，当0AB时为双曲线14设函数3,AF若0A，则FX的最大值为_；若F无最大值，则实数A的取值范围是_【答案】2，,1【解析】试题分析如图作出函数3GX与直线2YX的图象，它们的交点是1,2A，0,O，1,2B，由2，知1是函数G的极大值点，当A时，3,0XF，因此FX的最大值是12F；第8页共17页由图象知当1A时，FX有最大值是12F；只有当1A时，由32A，因此FX无最大值，所求的范围是,，故填，,考点1分段函数求最值；2数形结合的数学思想【名师点睛】1分段函数的函数值时，应首先确定所给自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系若自变量值为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期若给出函数值求自变量值，应根据每一段函数的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否属于相应段自变量的范围；2在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次函数、幂函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程三、解答题（共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15（本小题13分）在ABC中，22ACBAC（1）求B的大小；（2）求OSAC的最大值【答案】（1）4；（2）1第9页共17页考点1三角恒等变形；2余弦定理【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量如面积、外接圆、内切圆半径和面积等提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据其主要方法有化角法，化边法，面积法，运用初等几何法注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想16（本小题13分）A、B、C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位小时）；A班6657758B班6789101112C班345675910512135（1）试估计C班的学生人数；（2）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（3）再从A、B、C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，825（单位小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记1，表格中数据的平均数记为0，试判断0和1的大小，（结论不要求证明）【答案】（1）40；（2）38；（3）10【解析】试题分析（）根据图表判断C班人数，由分层抽样的抽样比计算C班的学生人数；（）根据题意列出“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”的所有事件，由独立事件概率公式求概率（）根据平均数公式进行判断即可第10页共17页考点1分层抽样；2独立事件的概率；3平均数【名师点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式1AP，即运用逆向思维的方法正难则反求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便17（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PA平面BCD，PA，PD，AB，1AB，2，5第11页共17页（1）求证PD平面AB；（2）求直线与平面C所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点M，使得/平面PCD若存在，求AMP的值；若不存在，说明理由【答案】（1）见解析；（2）3；（3）存在，14A第12页共17页（3）设M是棱PA上一点，则存在1,0使得APM因此点,1,0B因为平面CD，所以平面PCD当且仅当0NB，即02,，解得41所以在棱PA上存在点M使得B平面，此时41AM考点1空间垂直判定与性质；2异面直线所成角的计算；3空间向量的运用【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂第13页共17页线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系，构造寻找二面角的平面角或得到点到面的距离等18（本小题13分）设函数AXFEB，曲线YFX在点2,F处的切线方程为14YEX，（1）求，的值；（2）求FX的单调区间【答案】（）2A，BE；（2）XF的单调递增区间为,从而,0XG综上可知，F，,，故XF的单调递增区间为,考点导数的应用【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点第14页共17页19（本小题14分）已知椭圆C21XYAB（0AB）的离心率为32，,0AA，,BB，0,O，AB的面积为1（1）求椭圆C的方程；（2）设P的椭圆上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与X轴交于点N求证BMAN为定值【答案】（1）214XY；（2）详见解析（2）由（）知，1,0,2BA，第15页共17