克拉默法则及习题课

7克拉默（克莱姆）法则,其中,一、克拉默法则,机动目录上页下页返回结束,证明：,1)存在性。,Dj=b1A1j+b2A2j+bnAnj=,把代入第j(j=1,2,n)个方程，得,故是方程组的解。,克拉默法则证明，存在性,机动目录上页下页返回结束,克拉默法则证明，唯一性,2)唯一性,设(c1,c2,cn)是方程组的一个解，则,得,所以方程组有唯一解。,左端相加,右端相加,从而ckD=Dk,机动目录上页下页返回结束,例19解线性方程组,解,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,于是得,机动目录上页下页返回结束,程的个数与未知量的个数不等时,就不能用克拉,通过上述例子,我们看到用克拉默法则求解,线性方程组时,要计算n+1个n阶行列式,这个,计算量是相当大的,所以,在具体求解线性方程,组时,很少用克拉默法则.,另外,当方程组中方,默法则求解.,但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论,中的重要地位.,克拉默法则不仅给出了方程组有,唯一解的条件,并且给出了方程组的解与方程组,的系数和常数项的关系.,机动目录上页下页返回结束,定理4如果线性方程组,克拉默法则可叙述为下面的重要定理.,式D0,则(8)一定有解,且解是唯一的.,二、线性方程组有解的条件,定理4的逆否命题为,定理4如果线性方程组(8)无解或有,两个不同的解,则它的系数行列式必为零,的系数行列,机动目录上页下页返回结束,一定是（9）式的解,零解。,若有一组不全为零的数是（9）式的解,非零解。,定理5如果齐次线性方程组（9）的系数行列式D0，则（9）,式没有非零解（有唯一零解）。,定理5如果齐次线性方程组（9）有非零解，则它的系数行列式,必为零。,机动目录上页下页返回结束,解,得、或。,机动目录上页下页返回结束,典型例题,主要内容,机动目录上页下页返回结束,第一章行列式,习题课,全排列,机动目录上页下页返回结束,一行列式定义,1.二阶三阶行列式的对角线法则,2.n阶行列式的定义,注意:逆序数的求法,n阶行列式的性质,机动目录上页下页返回结束,二.行列式的计算,1.利用定义法,2.利用性质(6条性质)（如化三角形行列式）,3.利用展开定理(降阶法）,4.利用已知结果（如范德蒙行列式）,5.利用加边法（升阶法）,6.利用递推公式法,7.利用数学归纳法,注意：代数余子式的重要性质：,关于代数余子式的重要性质,机动目录上页下页返回结束,三.克拉默法则,克拉默法则的理论价值,定理5如果齐次线性方程组（9）的系数行列式D0，则（9）式没有非零解（有唯一零解）。,定理5如果齐次线性方程组（9）有非零解，则它的系数行列式必为零。,典型例题,一、计算排列的逆序数,二、计算（证明）行列式,三、克拉默法则,机动目录上页下页返回结束,典型例题,一、计算排列的逆序数（例）,解,例,机动目录上页下页返回结束,一、计算排列的逆序数,机动目录上页下页返回结束,于是排列的逆序数为,当为奇数时，排列为奇排列,当为偶数时，排列为偶排列,二、计算（证明）行列式用定义计算（证明）,用定义计算,例用行列式定义计算,机动目录上页下页返回结束,二、计算（证明）行列式,例解,解,机动目录上页下页返回结束,利用范德蒙行列式计算,利用范德蒙行列式计算,例3计算,利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。,机动目录上页下页返回结束,例解,解,机动目录上页下页返回结束,上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由范德蒙行列式知,机动目录上页下页返回结束,用化三角形行列式计算,用化三角形行列式计算,例4计算,机动目录上页下页返回结束,解,机动目录上页下页返回结束,例解,提取第一列的公因子，得,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,用降阶法计算,用降阶法计算,例5计算,解,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,5用递推法计算（例7）,5用递推法计算,例6计算,解,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,由此递推，得,如此继续下去，可得,机动目录上页下页返回结束,6扩充行列式例8,机动目录上页下页返回结束,6用加边(升阶)法计算,例7计算,机动目录上页下页返回结束,把第1列的-1倍加到其余各列,把第i行的倍加到第一行,机动目录上页下页返回结束,用数学归纳法（例）,用数学归纳法,例8证明,机动目录上页下页返回结束,例证明,证,对阶数n用数学归纳法,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,小结,计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方法综合应用在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再考察它是否能用常用的几种方法,小结,机动目录上页下页返回结束,当线性方