自考概率论与数理统计统计章节作业

1第一章随机事件与概率一、单项选择题1掷一枚骰子，设A出现奇数点，B出现1或3点，则下列选项正确的是BAAB出现奇数点B出现5点AC出现5点DBB2设A、B为任意两个随机事件，则下列选项中错误的是AABAABCDBB3将一枚匀称的硬币投掷两次，令AI第I次正面向上（I1,2），则“至少有一次正面向上”可表示为DABCD1212A12A12A4某人向一目标射击3次，设AI表示“第I次射击命中目标”（I1，2，3），则3次都没有命中目标表示为AABCD123123A123A1235设A与B为互为对立事件，且，则下列各式中错误的是0,PBAABCD|0P|0BA0A1PB6设事件A与B相互独立,PA02,PB04,则D|B2A02B04C06D087已知事件A与B互不相容,PA0,PB0,则CAB1APBCD0PAB08设PA0,B为任一事件,则CABCA与B相互独立DA与B互不相容9已知PA04,PB05,且,则PA|BCA0B04C08D110设A与B为两事件,则BABCDABABA11设事件,PA02,PB03,则AA03B02C05D04412设事件A与B互不相容,PA04,PB02,则PA|BDA008B04C02D013设A,B为随机事件,PB0,PA|B1,则必有AABCPAPBDPABPA14从1,2,3,4,5中任意取3个数字,则这3个数字中不含5的概率为AA04B02C025D07515某学习小组有10名同学，其中6名男生、4名女生，从中任选4人参加社会活动，则4人中恰好2男2女的概率为AAB04C025D371616某种动物活20年的概率为08，活25年的概率为06，现有一只该种动物已经活了20年，它能活到25年的概率是3BA048B075C06D0817将两封信随机地投到4个邮筒内，则前两个邮筒内各有一封信的概率为AA0125B025C05D0418一批产品的合格品率为96，而合格品中有75是优质品，从该批产品中任取一件恰好是优质品的概率为AA072B075C096D07819设有10个产品，其中7个正品，3个次品，现从中任取4个产品，则这4个都是正品的概率为CABCD1047104710C471020设有10个产品，其中8个正品，2个次品，现从中抽取3次，每次任取1个，取后放回，则取到的3个产品都是正品的概率为CABCD8103810C38103810C21某人打靶的命中率为04，现独立地射击5次，则5次中恰有2次命中的概率为CABCD204306235046C2325046C22随机地抛掷质地匀称的6枚骰子,则至少有一枚骰子出现6点的概率为DABCD156C156C15665123把3个不同的球分别放在3个不同的盒子中,则出现2个空盒的概率为A4ABCD1912231324从1,2,3,4,5,6六个数字中,等可能地、有放回地连续抽取4个数字，则取到的4个数字完全不同的概率为AABCD5184646A4625某人每次射击命中目标的概率为P00，则；0|1,|,|0PABPB2若A与B互不相容，则；C|ACPC3|1|证1因为，而，所以，|PAB0PAB，0|1PAB且，；|1PB|0PB2若A与B互不相容，则AC与BC也互不相容，从而；|PCACAPBCP3由性质2得，又，由性质1知，|ABB，所以，即|1PB|1P|1|第二章随机变量及其概率分布20一、单项选择题1设随机变量X的分布律为则PX3AA00016B00272C04096D0819215设随机变量XN1，4，Y2X1，YCAN1,4BN0,1CN3,16DN3,916设，是N0,1的分布函数，则D2,XPAXBABBABCD22A17设XN1，4，是N0,1的分布函数，则P20时,X的概率密1,0XEF度1FX8设随机变量X的分布律为则0601PX9设随机变量XN3,4,则014845PX其中843,0569110设随机变量X服从参数为6的泊松分布,写出其概率分布律PXK6K/KK0，1，2，311若随机变量XB4,05,则15/161PX12若随机变量XU0,5,且Y2X,则当时,Y的概率密度1/100YYFY13设随机变量XN0,4，则0514设随机变量XU1,1，则051|2P15设随机变量X在2,4上服从均匀分布，则053X16设随机变量XN1,4，则N0，1XY17设随机变量X的分布律为，则A2/3,0,123KAP18设连续型随机变量X的概率密度为，则K,XF一1/219若随机变量XN1,16，Y2X1，则YN1，6420若随机变量XU1,6，Y3X2，则YU5，20X012P04020425三、计算题1设连续型随机变量X的分布函数为，求X的概率密20,1,XF度函数解由分布函数与概率密度函数之间的关系知，当02；4PX3解1P22|212PXF06977；1054PX3053312F275已知随机变量X的密度函数为，求1常数K；22,01KXF一分布函数；3105P解1因为，所以，故K3FXD123100|KXD即随机变量X的概率密度为；3,F一2当时，0，0XXFFTD当时，10230XTDT当时，XXFT11所以，随机变量X的分布函数为；3,01,XF3；105P3526设随机变量X的概率密度为，求X的分布函数,012,XF一解当时，0；0XXFFTD当时，；10201XTD当时，；2XXFT1XT28当时，2XXFFTD0120201XTDTDT所以，随机变量X的分布函数为2,1,XXX7设随机变量X，求1；2,0122,XF一12PX132PX解1121212FXDXD；21127|82132PX312112FXDXD32121|4X8设随机变量X在0，5上服从均匀分布，求方程有实根的2420XX概率解X，而方程有实根的充分必1,05XFX一2420XX要条件是，即，故所求概率为216X200601PP521DX299设随机变量X的分布律为求1Y2X的分布律；2Z|X|的概率分布；3X2的分布律解1由X的分布律知，Y的取值为2，0，2，4且，21PYX002PX，344所以，Y的分布律为2Z|X|的取值为0，1，2，02P1104PZXP所以，Z的分布律为243X2的取值为0，1，4且，02PX21104PXPX244所以，X2的分布律为X1012P01020304Y2024P01020304Z012P020404X2014P0204043010设XU0，4，Y3X1，求Y的概率密度解X，Y3X1的取值范围是1，131,04XFX一Y的分布函数1331YYFYPYPXFXD当时，有，；1Y0330YYDX当时，有，；14Y103042YYFYDX当时，有，13Y104304YYDX所以，Y的分布函数为，,132,YYFYY的概率密度为1,0YYFY一11已知随机变量XN1，4，Y2X3，求Y的概率密度解X31，建立Y的分布函数与X的分布函数之间的关218,XFXE系因为，3232YXYYFYPYPF两边对Y求导1XXYFF，即YN5，16223158344YEE12已知X服从参数的指数分布，Y2X1，求Y的概率密度1解由题设知，X，,0XEF方法1，1212YXYYFYPXYPF两边对Y求导，XXYFF又因为，所以，Y的概率密度为1212,0,0,YYXEEF12,0YYEF32四、应用题1一批零件中有10个合格品和2个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出废品后不再放回，用X表示在取得合格品以前已取出的废品的个数，求1随机变量X的分布律；2随机变量X的分布函数解1随机变量X的可能取值为0，1，2，且，10526P53P2106PX得到X的分布律为2X的可能取值0，1，2将分布函数FX的定义域分为四部分,当时，X0FXPXX当时，56当时，12XXX1PX当时，FPX02从而得到X的分布函数为,5016,2XFXX012P5636332袋中有标号为1，2，2，3，3，3的六个球，从中任取一个球，求所取出的球的号码X的概率分布及分布函数解X的可能取值为1，2，3且，6P2163X3162PX所以，X的概率分布为当时，1X0FXPXX当时，216当时，3XXX2PX当时，F131PX从而得到X的分布函数为0,126,31XFX3袋中有标号为1，2，2，3，3，3的六个球，从中任取两个球，X表示取出的两个球的最大号码，求X的概率分布X123P6134解X的所有可能的取值为2，3且，12625CP123645CPX从而得到X的概率分布为4设一批产品共1000个，其中40个是次品，随机抽取100个样品，按下列两种方式抽样，分别求样品中次品数X的概率分布1不放回抽样；2有放回抽样解1不放回抽样，X的可能取值为0，1，2，40XK表示100个样品中恰好有K个次品，则，得到X的概率分布为410KCP40961,240KX2有放回抽样，X的可能取值为0，1，2，100由于有放回抽样，抽取100个样品可看作进行了100重贝努里试验，且每次抽到次品的概率都是004，X23P15435抽到正品的概率为096，XB100,004则X的概率分布为1010496,210KKPC5抛掷一枚质地不均匀的硬币，每次正面出现的概率为，连续抛掷10次，13以X表示正面出现的次数，求X的分布律由题设知，XB10，则X的分布律为1310102,210KKPC6有一繁忙的交通路口，每天有大量的汽车经过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为00001在某天的该段时间内有1000辆汽车经过，问出事故的次数不小于2的概率解设X表示1000辆汽车通过路口时出事故的次数，由题意知，XB1000，00001由于N1000很大，P00001很小，故利用泊松分布近似代替二项分布计算其中，100101,2KPXE查泊松分布表可得，所求概率为362101PXPX0101E477以电话交换台每分钟收到的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求1每分钟恰有4次呼唤的概率；2每分钟的呼唤次数至少有4次的概率解设X表示电话交换台每分钟收到的呼唤次数，由题意知，XP4，其分布律为，则4,0,12KPE1每分钟恰有4次呼唤的概率；40195367PXE2每分钟的呼唤次数至少有4次的概率453KE8袋中装有8个球，其中3个红球、5个白球，现从袋中任取3个球，求取出红球数的概率分布解X表示取出3个球中含有红球的个数，则X的可能取值为0，1，2，337且，35802CPX12358CPX，13586386于是，X的概率分布为9已知某类电子元件的寿命X（单位小时）服从指数分布，其概率密度为，10,XEFX一台仪器装有3个此种类型的电子元件，其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作，假设3个电子元件损坏与否相互独立试求1一个此类电子元件能工作1000小时以上的概率P1；2一台仪器能正常工作到1000小时以上的概率P2解1一个此类电子元件能工作1000小时以上的概率为P1；1110010|XXPXEDEE2一台仪器能正常工作到1000小时以上，需要这3个电子元件的寿命都在1000小时以上，由独立性知，所求概率为P2310PXE10公共汽车车门的高度是按男子与车门顶碰头的机会在001以下来设计的设男子身高X服从（厘米），（厘米）的正态分布，即1706问车门高度应如何确定2170,6NX0123P52856138解设车门高度为H厘米，由题意知，即01PXH09PXH因为XN170，36，所以，796PXF查表得，所以，解得H1839823091123设计车门的高度为18398厘米时，可使男子与车门碰头的机会不超过001五、综合题1设10件产品中有2件次品，现进行连续无放回抽样，直至取到正品为止，求1抽样次数X的概率分布；2X的分布函数FX；32,13PX解1X的可能取值为1，2，3且，8410580945P21830945PX所以，X的概率分布为2当时，1X0FXPXX当时，2415当时，3X2XPX当时，131FPX所以，X的分布函数为X123P45814539；0,1425,31XFXX3；221PXPX或110F832452司机通过某高速路收费站等候的时间X（单位分钟）服从参数的15指数分布1求某司机在此收费站等候时间超过10分钟的概率P；2若该司机一个月要经过此收费站两次，用Y表示等候时间超过10分钟的次数，写出Y的分布律，并求1PY解1由题设知，则司机在此收费站15,0XEXF等候时间超过10分钟的概率为；1250XPPXED402由题意知，Y的分布律为2,BE22211,0,1KKKKPYCCE4103甲乙丙三人独立地等1，2，3路公共汽车，他们等车的时间（单位分钟）都服从0，5上的均匀分布，求三人中至少有两人等车不超过2分钟的概率解设一个人等车的时间为X，由题设知，XU0，5，其密度函数1,05XFX一则一个人等车不超过2分钟的概率为220145PPXFXDX设Y表示三人中等车时间不超过2分钟的人数，则YB3，04，则三人中至少有两人等车不超过2分钟的概率为0352233046PYPC4设测量距离时产生的随机误差XN0，102（单位米），现作三次独立测量，记Y为三次测量中误差绝对值大于196的次数，已知196075411求每次测量中误差绝对值大于196的概率P；2问Y服从何种分布，并写出其分布律；3求三次测量中至少有一次误差绝对值大于196的概率解1P|196|196PXPX0050|129612由题意知，YB3,005，Y的分布律为33059,0,KKPXC3三次测量中至少有一次误差绝对值大于196的概率为0142625311Y5设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（单位分钟）服从参数的指数分布某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开他一个月10要到银行5次，以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数1写出Y的分布律；2求该顾客一个月至少有一次未等到服务而离开窗口的概率解1由题设知，等待服务的时间X，10,XEFX顾客离开银行的概率为11010XPPED42由题意知，YB5，E1，其分布律为1155,0,5KKPYCE2所求概率为1PY010896设连续型随机变量X的分布函数为，求20,1,XFXA1系数A；2X的概率密度；3；037P4YX2的概率密度解1由FX的连续性知，有，得11LIMLIXXFF21LIMXA；1A2X的概率密度；2,0F一3，037P23704F或；0203|4XD4因为，所以，当时，2YXYYFYP当时，01Y2YFYPXXY，02YYFXDX当时，Y110YYYYDX所以，X的分布函数为，0,1,YFY43X的概率密度为1,0YYFY一7连续型随机变量X的分布函数为，求ARCTN,FXABX1常数A，B；2；1P3X的概率密度解1由分布函数的性质知，即LIMARCTN0XFABXLIMARCTN1XFABX，解得211,2所以，1ARCTN,2FXX21PXF1124423X的概率密度2ARCTN,FXXX448设X是连续型随机变量，其概率密度为，2,0AXF一求1系数A及分布函数FX；2；12PX3Y2X的概率密度解1由概率密度的性质知，得，20813FXDAX38A从而，23,08XF一当时，X0XFFTD当时，0223018XXTDT当时，X023XXFTDTTT所以，X的分布函数为；30,128,XFX2，221171PXFXDX45或；17128PXF3因为，22YXYYPXYF上式两边对Y求导，又因为1YXFF，2233,0,048XYYF一一所以，Y2X的概率密度为23,046YYF一9设X的分布律为求1YX12的分布律；2Y的分布函数；31P解1Y的可能取值为0，1，4，且，02X1201PYX，37P得到Y的分布律为X1123P03020104462当时，0Y0YFYP当时，12YY当时，4Y103YP当时，04FPYY所以，Y的分布函数为,0213,41YYY3PY0PY102010312三章多维随机变量及其概率分布一、单项选择题1设二维随机变量X,Y的分布律为则PXYAA03B05C07D08Y014P020107YX0120120102003010101001472设随机变量X与Y相互独立，且，则PXY113,44PXYBABCD1631683设二维随机变量X,Y的分布律为则PXY1AA04B03C02D014设二维随机变量X,Y的分布函数为FX,Y，则,XBA0BCD1XFXY5设随机变量X与Y相互独立，且XN3,4,YN2,9,则Z3XYCAN7,12BN7,27CN7,45DN11,456设二维随机变量，则YD21,YABCD21,21,21,2,7二维随机变量X,Y只取如下数组中的值0,0,1,1,1,2,0，且相13应的概率依次为，则C的值为B524CA2B3C4D5YX12310102010101010201010488设随机变量X,Y的联合概率密度为，则D,FXY1PXAB1,DXFY,FDCD1DX1,XY9设二维连续型随机变量X,Y的概率密度为，2,0,XYCEF一则常数C为CA1B05C2D310设二维随机变量X,Y的分布函数为FX,Y，其边缘分布函数为、XFX，且对某一组有，则下列结论正确的是CYFY1XY11,XYAX和Y相互独立BX和Y不独立CX和Y可能独立，也可能不独立DX和Y在点处独立1,XY11设二维随机变量，且X与Y相互独立，则B21,XYNABCD1201212,2112设随机变量X与Y相互独立，且，则下列结论2,XNY正确的是BAB2121,N211,CD2XY22,XY二、填空题1设二维连续随机变量X,Y在区域G上服从均匀分布，2,|4XY则其概率密度0,FXY2设二维随机变量X,Y的分布律为YX12349则PX103，PY1043设随机变量X与Y相互独立，且其分布律分别为12P3则PXY5/94设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为，,0XXEF2,0YYEF则二维随机变量X,Y的联合概率密度为05设二维随机变量X,Y的概率密度为，则1,01,XYFXY一0512P6设二维随机变量X,Y的概率密度为，则当,0,XYEF一时，X,Y关于Y的边缘概率密度E0YYFY7当时，随机变量X,Y的分布函数，其概率1,0XY2,FXY密度为，则1/4F4F8设二维随机变量X,Y的概率密度为，则1,2,01,XYFXY一1/431,2PY9设二维随机变量X,Y的概率密度为，则X,Y关于X21,XYFXYE1010201010010202010Y12P350的边缘概率密度EXFX10设二维随机变量X,Y的概率密度为，1,02,1,3XYXYFY一则X,Y关于X的边缘概率密度为0三、计算题1已知二维离散型随机变量X,Y的联合分布为1确定常数C；2求X,Y关于X，Y的边缘分布解1由概率分布的性质知，解得C；114682182，1304682PX4PX从而，X,Y关于X的边缘分布为X01P324，104PY1768Y152824PY从而，X,Y关于Y的边缘分布为YX01201C4681251Y012P27452已知二维离散型随机变量X,Y的联合分布为求X,Y关于X，Y的边缘分布解，150462PX，1026P34，5，所以，X,Y关于X的边缘分布为X0135P65241610241PY，04Y，3，YX124013501046012052从而，X,Y关于Y的边缘分布为Y124P5133设二维离散型随机变量X,Y的等可能值为0,0,0,1,1,0,1,1求1X,Y的联合概率分布律；2X,Y关于X,Y的边缘概率分布解1由题设知10,0,1,0,4PXYPXYPXYPXY所以，X,Y的联合概率分布为2与上面1，2题作法相同，可得X,Y关于X,Y的边缘概率分布分别为X01P0505Y01P0505YX01014534设二维随机变量X,Y只能取下列数组中的值，10,203且取这些值的概率依次为15,6321写出X,Y的分布律；2求X,Y关于X，Y的边缘分布律解1由题设可得X,Y的分布律为215023PX，106PX，521PX，所以，X,Y关于X的边缘分布为X102P51651YX01311020216000054157062PY，132PY，13PY，从而，X,Y关于Y的边缘分布为Y01P71235设二维随机变量X,Y的分布律为试问X与Y是否相互独立为什么解可求得X,Y关于X，Y的边缘概率分布分别为X12P3YX121294Y1255因为,1,2,PXIYJPXIYJIJ所以，X与Y相互独立6设二维随机变量X,Y的分布律为1求边缘分布律；2试问X与Y是否相互独立为什么解1可求得X,Y关于X，Y的边缘概率分布分别为X01P03072因为0,2,030412YPXY，,PXPX，所以，X与Y不独立7设二维随机变量X,Y的概率密度为，求4,01,XYYF一边缘概率密度P132YX0120102010020104Y012P04020456解当01X时，10,42XFXFYDXY，所以，X,Y关于X的边缘概率密度为,XF一当01Y时，10,42YFYFXYDXY，所以，X,Y关于Y的边缘概率密度为,1YF一8设二维随机变量X,Y的概率密度为，求边221,0XYRFXY一缘概率密度解当|XR时，221,RXXRXFXFYDDY，所以，X,Y关于X的边缘概率密度为2,|0,XFX一当|YR时，221,RYYRYFYFXYDDX，所以，X,Y关于Y的边缘概率密度为2,|0,YFY一579已知二维随机变量X,Y的概率密度为，2,01,AXYXYFY一求1常数A；2X,Y关于X，Y的边缘概率密度解1由概率密度的性质知，120,1FXYDAXYD，即13A，解得A2,故2,F一；2当01X时，1220,3XFXFYDXYDX，所以，X,Y关于X的边缘概率密度为2,013XF一当01Y时，1220,YFYFXYDXYD，所以，X,Y关于Y的边缘概率密度为2,013YF一10设二维随机变量X,Y的分布律为YX12358求1的分布律；1ZXY2的分布律2解1Z1XY的可能取值为0，1，2，3，4且,01P，1,0123PXY，2,3,01ZXYPXY，1301,5P，41,，所以，Z1的分布律为Z101234P0103010502Z2XY的可能取值为3，2，1，0，1，2，3且3,3PXY，1,20ZPXY，21，0,10,20,34ZP，2PXY，12ZPXY，10101010020020103059231,30PZXY，所以，Z2的分布律为Z23210123P001010401030四、综合题1箱子里装有12件产品,其中2件是次品,每次从箱子里任取一件产品,共取两次,定义随机变量X,Y如下，0,1一0,1Y一1在有放回抽样情况下，求X,Y的分布律和边缘分布律，此时X与Y是否独立2在不放回抽样情况下，求X,Y的分布律和边缘分布律，此时X与Y是否独立解1有放回抽样情况下，X的可能取值为0，1；Y的可能取值为0，1且102536PY一，12536PX一，所以，X,Y的分布律为从而，X,Y关于X的边缘分布律为YX0101253660X01P56X,Y关于Y的边缘分布律为Y01P56因为,0PXIYJXIJIJ一所以，X与Y相互独立2不放回抽样情况下，X的可能取值为0，1；Y的可能取值为0，1且1950|2P一，0|3PYX，110|1XY一，21|6P所以，X,Y的分布律为从而，X,Y关于X的边缘分布律为X01P56X,Y关于Y的边缘分布律为Y01P56因为120,23PXX0YY，所以，X与Y不相互独立YX01015236612袋中有2个白球，3个黑球，现进行无放回地摸球，定义，1,0X一1,0Y一求1X,Y的概率分布；2X,Y关于X，Y的边缘分布，并问X与Y是否相互独立解X的可能取值为0，1；Y的可能取值为0，1且320|05410PPX一，1|XY，1|XY一，21|540PP所以，X,Y的分布律为从而，X,Y关于X的边缘分布律为X01P0604X,Y关于Y的边缘分布律为Y01P0604因为0,3,36,PX0XYY，所以，X与Y不相互独立YX010103030301623已知X,Y在区域内服从均匀分布，求,|02,1GXYY1X,Y的联合概率密度；2X,Y关于X，Y的边缘概率密度，并问随机变量X与Y是否独立3X,Y的分布函数解1因为区域G的面积SG2，由均匀分布的定义知，X,Y的联合概率密度为1,02,1,XYFXY一；2当02X时，10,2XFFD，所以，X,Y关于X的边缘概率密度为,XXFX一当01Y时，201,YFYFYD，所以，X,Y关于Y的边缘概率密度为,1YYF一；因为对于,XYR有,XFXYFY，所以X与Y相互独立；【注由此问题可得矩形区域内的二维均匀分布，其边缘分布就是各自区间上的一维均匀分布63一般地，若1,0,AXBCYDBDCXYFXY一，则边缘分布为XUA，B，YUC，D】3分布函数,XYFFUVD当X0,DY0，则X与Y的相关系数09设随机变量X与Y相互独立，其分布律分别为则EXY2，DXY310设随机变量XN0,1，YN0,1，则DXY3,05COVY11设DX9，DY25，相关系数，则DXY19,XYX11P32YX011262X03P1Y02P17012设随机变量X与Y相互独立，且EXEY0，EX2EY21，则EXY22，DXY213已知二维随机变量，则31,49XN,COV14设随机变量X的分布律为令Y2X1，则EY4815设随机变量独立同分布，且均值为,若，则12,NX1NIIYXEYU三、计算题1设随机变量X的分布律为求1EX；2EX2；3E3X35解1EX0420；2EX22238；3E3X353EX35，而EX333340208，所以，550562设随机变量X的分布律为求期望EX与方差DXX1123P01020304X202P040303X123P02050371解10253021EX；249，22DEX3设随机变量X的概率密度为，求期望EX与方61,01XXF一DX解EXXFD12341006|2XDX；223563|X，DEX1044设随机变量X的概率密度为，求期望EX与方差21,|0|XFXDX解EXXFD120XD；22F211201XDX，22DXE725设随机变量X的概率密度为，求期望EX与方差,0122,XF一DX解EXXFD12312320101|XXDX；22F1234134201017|6，2DXE66设随机变量X与Y相互独立，且X服从参数的泊松分布，Y的概率密度2为，求1；21,04XFX一2,EXY3DX解1因为X服从参数2的泊松分布，所以，EXDX2由Y的概率密度知，YU0,4，所以，EY042从而，26EE，又X与Y相互独立，故4EXY；2因为DX，24013，又X与Y相互独立，所以DX4DY23737已知二维随机变量X,Y的概率分布为求协方差与相关系数,COVXY,XY解因为X,Y关于X，Y的边缘分布分别为所以，EX104261，EY03120431又因为，EXYIJIIJXYP2010230122，所以，,COVXYEXYEXEY012；因为2210468，2317E，所以，22DXE024，22DYEY101从而，相关系数,XY,COV041024373YX01231201020100200301X12P0406Y0123P03020401748设X,Y在圆域内服从均匀分布，求22,|GXYR,COVXY解求得X,Y关于X，Y的边缘概率密度分别为2,|0,RXFX一，2,|0,YRYFY一所以，2RXEXXFDDX0，2RYYYFY0，21,XYREXXFDD0（利用二重积分的对称性质）故,COVYEXYEXEY0四、应用题1甲、乙两台自动车床，生产同一种标准件，生产1000只所出的次品数分别用X、Y来表示，经过一段时间的考察，X、Y的分布律分别为问哪一台机床加工的产品质量好X0123P07010101Y0123P050302075解机床加工产品质量的好坏，可以用次品数的平均值（即期望）来衡量，平均次品数少的质量就好因为，071203106EX，57Y，所以，机床甲生产产品的质量较乙好2某车间生产的圆盘直径服从均匀分布UA，B，求圆盘面积的期望解设圆盘直径为X，圆盘面积Y214X，且由题设知，XUA，B，,0AXBFXB一圆盘面积的期望为2222211441BAEYXXFDXDAB3有甲、乙两种牌号的手表，它们日走时的误差（单位秒）分别记作X、Y，且日走时误差所服从的分布律如下问哪种牌号的手表质量更好X101P010801Y21012P010204020176解此问题应从手表日走时的平均误差以及走时的稳定性来衡量手表的质量因为10810EX，224201Y，所以，从走时误差的平均值上来看，两种牌号的手表质量一样的好又因为，2222108EX，2204101Y，所以，22D，2DYEY因为，X，说明甲牌号手表日走时误差较乙稳定，故甲牌号手表的质量更好4设市场上每年对某厂生产的29寸彩色电视机的需求量是随机变量X（单位万台），它均匀分布于10，20每出售一万台电视机，厂方获得利润50万元，但如果因销售不出而积压在仓库里，则每一万台需支付库存费10万元，问29寸彩色电视机的年产量应定为多少台，才能使厂方的平均收益最大解设29寸彩色电视机的年产量应定为T台，厂方的年收益为随机变量Y，由题意知，50,1,TXTYGXT50,61XT，102T77且X1,02XFX一,所以201EYGFDGXD201065TTXDX3T令2103TT，则,T0，令6,得唯一驻点10836T，所以，厂方年产量为1833万台时，平均收益最大五、综合题1设随机变量X的概率密度在0，1之外为0，在0，1上的密度与X2成正比求1X的分布函数；2期望EX和方差DX解1由题设知，X的概率密度为2,01KXF一由概率密度的性质120FXD，得K3当0X时，FT，当1时，230X，当X时，120FTDT所以，X的分布函数为3,1,XF；2204EXFDX，781222035EXXFDXD，所以，D382设X服从参数为的泊松分布，已知，23PX且，求1常数A；240PA1E解1由23PX知，23E，解得3因为，023341E31，03PXE，所以，31EA，A13；2因为XP3，所以3EXD，221ED，从而21E2411X473设随机变量X与Y相互独立，它们的概率密度分别为24,0,0XYXYEEFF求1EXY，EXY；792DXY，D2X3Y解由题设条件可知，X，Y分别服从参数为2，4的指数分布，从而1,24EXD；1,6EYD1EXYEXEY34，由X，Y的独立性得EXY8；2由X，Y的独立性得DXY1546XY，D2X3Y29D4设XN5,5，Y在上服从均匀分布，相关系数，求0,05XY和2EY2D解由XN5,5知，5,EXD；由YU0,知，2,1Y所以，2EX5；D4,DCOVXY,4XYDD2153805设随机变量相互独立，且服从同一分布，期望为，方差为12,NX，令，求21NII,EDX解因为随机变量12,N相互独立，且服从同一分布，所以2,1,IIN11NNIIIEX，2211NIIIDX，6设二维随机变量X,Y的分布律为求1边缘概率分布；YX101101801812协方差与相关系数；,COVXY3问随机变量X与Y是否独立是否相关318P，208P，318PX，所以，X,Y关于X的边缘分布为同理，X,Y关于Y的边缘分布为2因为323101088EX，同理EY0，又108Y，所以，协方差,COV0YEX，从而,COVXYD；3因为1,8PX，9164PY，1,Y，所以X与Y不独立又因为X与Y的相关系数0，所以X与Y不相关7设X,Y的概率密度，21,01,YXFX一求1边缘概率密度；X101P38238Y101P822EX，EY；3,COVXY解1当01X时，230,14XXFXFYDYX，所以，X,Y关于X的边缘概率密度为34,0XXFX一当01Y时，122,1YYFYFDY，所以，X,Y关于Y的边缘概率密度为2,0,YFY一2EX1405XXFDX，EY32YYYD3因为,EXF11250032XYDX，所以，,COVXEXY58设随机变量X，试求1EX，DX；2D23X；,02XF一301P解12320014|6EXXFDX，83222342001|8EXXFDX，69DE；22392；3111000|4XPXFD9设连续型随机变量X的分布函数为，0,81,XF求1X的概率密度；FX2EX，DX；3|8DXPE解1X的概率密度FX1,08XF一；282800|416EXFD，2236|XXDX，3DE；3|8P1430210|4|386PXPXDX8410设随机变量X，且，求1常数A，B；2,01AXBF一72EXDX解1由10FXDABDX，得12AB又由27EX，得732解、式，得1,；2因为222051XFDXD，所以，5714DXE11设随机变量X1与X2相互独立，且令221,XN，12Y求1DX，DY；2X与Y的相关系数解1因为X1与X2相互独立，且,XY21D，所以2121D，2YXX；2由协方差的性质，得1212,COVV122,XCOXOVCOVX85210DX，所以，,0XYCOV12设二维随机变量X,Y的概率密度为2,01,XYXFXY一求1边缘分布密度；2EXY，EXY，；,COVXY31P解1当01X时，0,2XXFXFYD，所以，X,Y关于X的边缘概率密度为2,1XXFX一当01Y时，1,YYFYFDY，所以，X,Y关于Y的边缘概率密度为2,0YFY一862因为1203XEXFDX，1YYFYD，所以，EXYEXEY1,XF1130024XYXD，所以，,COVEXY3631201,YXYPFDXDX12012YD第五章大数定律及中心极限定理一、单项选择题1设随机变量X的方差DX2,则利用切比雪夫不等式估计的|8PXE值为BABCD3121321323122设随机变量X的期望EX与方差DX都存在,则对任意正数,有CAB2|DXPE2|DXPXECD|1|13设随机变量ZNBN,P，N1,2,，其中00未知，求P的极大似1,2,KPP然估计解设12,NX是来自总体X的样本，且12,NX是样本观测值，似然函数为111XIINXIIILPPXPP，111取对数1LNLNLNILPXP，求导数，并令1L0IDPP，解得1NIPX，P的极大似然估计量为X3已知总体X服从参数为P的01分布，求未知参数P的矩估计和极大似然估计解总体X的概率分布为1,0,KKPXP因为EXP，由矩估计定义得P的矩估计为1NIIX；设12,NX是样本观测值，似然函数为11111NNXIIIINXXXIIILPPXPP，取对数11LNLLNNII，求导数，并令11L0NNIIXDLPP，解得1NIXP，112P的极大似然估计量为PX4设总体X服从正态分布,求未知参数的极大似然估计4N解X的概率密度281,XFXE设12,NX是样本观测值，似然函数为2218811NIIXXNNINIILFEE，取对数21LNL82NIINX，求导数，并令1L04IIDLX，解得1NIX，的极大似然估计量为1NIIX5设总体X的概率密度为，其中未知，1,0XEFX0113为来自总体X的样本，求1参数的矩估计；2的极大似然估12,N计解1由题设知，X服从参数为1的指数分布，故EX，由矩估计的定义得参数的矩估计为1NII；2设12,NX是样本2,NX的观测值，且设0,12,IXN似然函数为111NIIXXNNIIILFXE，取对数1LNLNI，求导数，并令21L0NIDLX，解得1NIX，的极大似然估计量为1NIIX6设总体求1的矩估计；1,01XXFX，未知，其它1142的极大似然估计7设总体均值未知，方差有限，是来自总体XEX2DX12,N的样本1若是的无偏估计，则应满足什么条件1NIA12,NA2在上述满足的条件下，称为的线性无偏估计，12,N1IX则在的一切线性无偏估计中，样本均值最有效1NII7解1由样本定义知，,2,IEXIN而111NNNIIIEAA，若1NIX是的无偏估计，则E，所以1NIA，故1NIA2因为2211NNIIIIDDX，而2111NNNIIIIAA,又11512222212111NNNIIJIIJIJJAAAA，所以，2211,NNII，即DX，故在的一切线性无偏估计中，样本均值1NIIX最有效四、应用题1设灯泡的寿命X，从大批灯泡中任取5只，测得寿命数据（单位2,N小时）如下1650，1700，1680，1820，18001已知，求这批灯泡平均寿命的置信度为95的置信区间；292当未知时，求这批灯泡平均寿命的置信度为95的置信区间解因为51730IX，5221704IISX，S7551因为29已知，所以的置信度为的置信区间为22,XUN11605,查表得052196U，的置信区间为337,70196723,165；2因为2未知，所以的置信度为的置信区间为224,4SSXTXTNN05,查表得052476T，的置信区间为7513,13216327,82对某塔的高度进行了5次测量，数据（单位米）分别是905，904，897，896，902设测量数据服从正态分布，求测量的方差的置信区间05解因为塔的高度未知，故方差2的置信度为1的置信区间为221,NSSN又N5，5221068IISX，查表得2205097543,4，所以，方差的置信度为95的置信区间为068,06,1381431173从一批零件中抽取9个零件，测得其直径（毫米）为197，201，198，199，202，200，199，200，203设零件直径服从正态分布，且已知毫米，求这批零件直径的2,N021均值的置信度分别为095和099的置信区间解因为201已知，所以的置信度为1的