等比数列前n项和说

等比数列的前n项和,教师：武占斌,人民教育出版社高中数学第一册（上）第三章,教学思路与认识,教材分析,教法选取,学法指导,程序设计,教学反思,一.教材分析,1.教材背景分析,一.教材分析,2.教学目标,知识目标：使学生掌握等比数列前n项和公式及归纳、猜想、证明法，理解错位相消法，并能灵活运用公式,能力目标：通过公式的推导过程，培养学生类比、归纳、猜想、分析、综合等方面的能力，善于运用特殊与一般、分类与整合、方程的数学思想思考和解题，提升学生的逻辑思维能力,情感目标：通过公式的探索发现过程，学生亲历结论的“再创造”过程，体验成功与快乐，感悟数学美,一.教材分析,3.重点和难点,重点：等比数列前n项和公式、推导及应用,难点：等比数列前n项和公式推导思路的获得,突破关键,二.教学方法,展示数学游戏,提出问题,启发引导,发现公式,类比猜想,激励,分析寻找,证明猜想,发现错位相消法,深化,反思,示范,演练,实现目标,教师,学生,(独立思考、合作交流),一.开篇变“棋盘上麦粒历史典故”成“数学游戏问题”原因：更加有趣又贴近生活蕴涵两个等比数列，公比分别为与q1开门见山，体现分类讨论思想,直击学生易错点,二.教学方法,与教材相比较：,二.一改直接采用错位相消这一传统做法，先归纳、猜想再证明进而发现错位相消法原因:注重了知识的再创造过程，有效克服了技巧性强，学生被动接受的困难使用数学一通法（归纳、猜想、证明），重视了数学思想方法的渗透,二.教学方法,二.教学方法,三.引出错位相消法之后，进一步深化思维目标，和式两边同乘以q-1，q2是否也可以起到化简的目的？择优选取原因:有利于理解错位相消法的本质有利于发展学生思维批判性、灵活性,二.教学方法,采用多媒体技术，体现直观性，激发学习兴趣、激活学生思维，在解决重、难点等方面起到辅助作用,三.学法指导,“治学之道”求知之法,改变学生被动的学习状态,三.学法指导,学生的思维波动过程:激发活跃高潮再掀高潮缓和,学生的学习环节:类比猜想分析证明反思发现演练提高,使学生不断形成勤于思考,实践“探究式发现法”这一学习数学的重要方法,四.程序分析,第一环节:创设情境引出问题第二环节:启发引导探索发现第三环节:发散思维深化目标第四环节:课堂演练巩固提高,教学过程,第一层：分析问题第二层：展示发现过程第三层：展示证明过程,第一方面：反思证明过程第二方面：集思广益第三方面：公式的灵活应用,第五环节:总结反馈布置作业,回顾:1.什么是等比数列？2.公比对等比数列有何影响？3.项与项之间的关系如何？,四.程序设计,第一环节创设情境、提出问题（1）,目的：建立联系扫清障碍突破难点为发现错位相消法埋下伏笔,四.程序设计,第一环节创设情境、提出问题（2）,甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍。问谁赢谁亏？,数学游戏问题：,四.程序设计,第一环节创设情境、提出问题（3）,应用问题数学化，具体问题一般化,分析：数学建模an：100，100，100100q=1bn：1，2，22229q=2S30=100+100+100与T30=1+2+22+229比较大小，求和问题如何化简？an：q=1，等比数列求和问题化归成等差数列求和问题bn：q=2，学生陷入沉思中,四.程序设计,明确问题,等比数列an,第一环节创设情景、提出问题（4）,当q=1时，Sn=a1+a2+a3+an-1+an=na1,当q1时，Sn=a1+a2+a3+an-1+an=？如何化简,二者能否合并?,四.程序设计,第二环节：启发引导探索发现（1）,第一层:分析问题启发:等比数列an的前n项和Sn也可以构成一个新的数列Sn。自然的化简Sn的问题就成了求新数列Sn的通项问题。,引导:归纳、猜想、证明是学生学习数列获得的一种重要方法，是解决数列问题的通法。能否利用此法解决问题呢？顿时打破沉思状态,四.程序设计,第二环节：启发引导探索发现（2）,第二层次展示探索公式发现的过程：1.引导学生从等比数列通项公式的推导方法出发，即通过观察a1、a2、a3、a4的特点归纳an的一般形式，联想求和公式的思考方法。投影演示等比数列通项公式的推导过程a1=a1a2=a1qa3=a2q=a1q2a4=a3q=a1q3an=an-1q=a1qn-1,四.程序设计,第二环节：启发引导探索发现（3）,2.设等比数列的前n项和为Sn，请学生写出S1、S2、S3、S4的表达式即S1=a1S2=a1+a2=a1+a1q=a1（1+q）S3=a1+a2+a3=a1+a1q+a1q2=a1（1+q+q2）S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3=a1（1+q+q2+q3）,四.程序设计,第二环节：启发引导探索发现（4）,3.我们发现q1时,随着n的增大Sn的形式愈加复杂，能否用简洁的形式来表示Sn呢？,引导学生观察S3，发现S3中有一项1+q+q2，我们在哪个公式见过这一项呢？,四.程序设计,第二环节：启发引导探索发现（5）,引导学生在S3=a1（1+q+q2）的分子分母同乘以1-q(q1)会得到什么结论？S1、S2、S4是否有同样的变形？,4.让学生尝试变形：,四.程序设计,第二环节：启发引导探索发现（6）,猜想得：,四.程序设计,第二环节：启发引导探索发现（7）,第三层次展示公式的证明过程：,分析：欲证成立,只需证SnqSn=a1（1qn）(q1),得：Sn（1q）=a1a1qn,第二环节：启发引导探索发现（8）,四.程序设计,故:等比数列an前n项和,二者不能兼容体现分类讨论的必要性,2301(分)10737418.23(元)远大于3000元,数学游戏问题答案：,第一方面:探求公式其它推导方法由前面证明过程的分析SnqSn这一思路正是用等比数列的重要性质，出现众多公共项，我们把这种方法叫错位相消法.那么与是否可以起到同样的化简效果？体现思维的批判性，择优选取，揭示化简本质.为学生熟练掌握错位相差起到了重要作用。,第三环节：发散思维深化目标（1）,四.程序设计,第三环节：发散思维深化目标（2）,四.程序设计,Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1(1),qSn=a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1+a1qn(2),=a1q-1+a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2(3),q2Sn=a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1+a1qn+a1qn+1(4),(1)(2)(1)(3)(1)(4)效果如何有何启发,四.程序设计,第三环节：发散思维深化目标（3）,第二方面:公式的灵活应用:,1、注意q=1与q1两种情形2、q1时，,3、五个量n、a1、q、an、Sn中，解决“知三求二”问题。,第四环节：课堂演练巩固提高（1）,四.程序设计,例一：“棋盘上的麦粒”（以2为底的幂）历史典故大家都见过国际象棋吧！它的棋盘是正四方形，黑白相间共64格，传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调的生活苦恼中，发现了也就是现今的国际象棋如此的有趣和奥妙之后，决定要重赏发明人他的宰相西萨班达依尔，让他随意选择奖品，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格四粒麦子以此类推每一格上的麦子数都是前一格的两倍，国王一听，几粒麦子，加起来也不过一小袋，他就答应了宰相的要求。实际国王能满足宰相的要求吗？,解：a1=1，q=2，n=64由：得出,第四环节：课堂演练巩固提高（2）,四.程序设计,=18446744073709551615（粒）人们估计，如果把这些麦粒依次排列,它的长度就相当于地球到太阳距离的2万倍。若按万粒400克计算，可达7000亿吨。而我国现年产量在1亿吨左右.,第四环节：课堂演练巩固提高（3）,四.程序设计,练习:,等比数列an中a1=8，an=0.5,q=0.5,求Sn；a1=2，S3=26,求a3,q;a1=2,S3=6,求q.,练习题设计:由易到难,循序渐进,考察公式灵活应用针对易错点考察分类讨论思想的应用,第五环节：课堂小结布置作业一.师生小结：由学生从知识、思想方法、解决问题的办法等方面进行小结，老师适时补充，以推动学生建立完整的知识框架结构.二.布置作业：A.研读课文、整理笔记、课后习题3.5(1)(2)、用函数观点看待SnB.思考题(投影给出),四.程序设计,思考一：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。问截n次后截去的总长是多少？庄子天下篇（除用公式外，引导学生用间接法）思考二：探索求和公式的其它推导方法，提示如：方程法、借助等比定理法,四.程序设计,思考题（供学有余力的同学完成）,请同学用提示公式作答,板书设计,3.3等比数列的前n项和例1：*公式的发现过程公式的推导证明过程练习*解：*,五.教学反思,说课到此结束,恳请批评指正,二.本节课涉及多种思想方法，是数学教学走向本质的一大尝试，也是在实际教学中需要不断思考的一个课题.,一.本节课的设计试图以教学大纲为依据，在教法设计上遵循以教师为主导，学生为主体，思维训练为主