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第二章张量分析,2.1标量的张量值函数的导数,自变量是标量，函数是张量，如T=T(t)，则,（设TS是有意义的）,1,2.1标量的张量值函数的导数,（是标量）,（a是矢量）,2,直接根据导数的定义证明上述公式，例如：,3,此外，在直角坐标系中,且,4,例题：设为二阶正交张量，,证明是一个反对称张量。,证：,，,即,（1）,（2）,比较(1)和(2)：,满足反对称张量定义，证毕,5,2.2梯度,2.2.1标量场的梯度,6,2.2.1标量场的梯度,7,2.2.1标量场的梯度,8,2.2.2矢量场的梯度,9,2.2.2矢量场的梯度,矩阵形式,10,2.2.2矢量场的梯度,11,2.2.2矢量场的梯度,12,2.2.2矢量场的梯度,13,2.2.3张量场的梯度,14,2.2.3张量场的梯度,15,2.3散度,2.3.1矢量场的散度,16,2.3散度,2.3.1矢量场的散度,17,18,2.3散度,2.2.2张量场的散度,19,2.3散度,2.2.2张量场的散度,20,2.4旋度,2.4.1矢量场的旋度,21,2.4旋度,2.4.1矢量场的旋度,22,2.4旋度,2.4.1矢量场的旋度,23,2.4旋度,2.4.1矢量场的旋度,24,2.4旋度,2.4.2张量场的旋度,25,2.4旋度,2.4.2张量场的旋度,26,2.5双重微分算子,27,2.6张量函数的导数,2.6.1张量函数,自变量是张量，而函数值是标量、矢量和张量的函数，如,一般而言，这些分量函数的形式在不同坐标系中是不同的。如果它们对所有的正交基都是相同的，则称为各向同性张量函数。,28,2.6张量函数的导数,2.6.2张量函数的梯度,29,2.6张量函数的导数,2.6.2张量函数的梯度,注意：,30,2.6张量函数的导数,2.6.2张量函数的梯度,例如：,31,2.6张量函数的导数,2.6.2张量函数的梯度,32,2.6张量函数的导数,2.6.2张量函数的梯度,，,33,1.7.4张量的并积,设分别为m和n阶张量，它们的并积为，则,可见，其结果张量是m+n阶的。,34,1.7.5张量的点积,矢量a,b的点积：,换指标,35,1.7.5张量的点积,张量T,S（设为二阶）的点积：,矩阵形式：,36,设均为二阶张量，用基张量表示点积，并证明（作业）,一般地，任意个二阶张量依次点积，结果仍为二阶张量，即,37,张量的双重点积：,若A为三阶张量，B为二阶张量，则,结果为一阶张量。,38,张量的双重点积：,若S，T均为二阶张量，则,结果为零阶张量。,39,1.7.6张量的叉积,两个矢量a，b的叉积：,40,三个矢量a，b，c的叉积：,已知，则,41,三个矢量a，b，c的叉积：,即,试验证（作业）：,42,三个矢量的混合积：,即,几何意义：以为边的棱柱体积，有向。,换指标,43,两个任意张量的叉积：,44,1.7.7二阶张量的迹,矢量a,b并矢ab的迹定义为：,45,任意二阶张量T的迹：,T的主对角线之和。,4
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