数学分析7.4 不变子空间详解_第1页
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文档简介

7.4不变子空间,定义：设是的一个子空间，是的一个线性变换。若，则称在线性变换之下不变。若在之下不变，则叫做的一个不变子空间。,例1、本身和零空间在任意线性变换下不变，称为平凡不变子空间。,例2、令是的一个线性变换。证明：和在之下不变。,例3、令是数域上的一切一元多项式所成的向量空间，是求导数运算。令表示一切次数不超过的多项式连同零多项式所成的子空间。证明：在之下不变。,现在看一看，不变子空间和简化线性变换的矩阵有什么关系。,设是数域上的一个维向量空间，是的一个线性变换。假设有一个非平凡的子空间，那么取的一个基，再补充成为的一个基。在之下不变,所以，,关于基的矩阵为：,由此可见，如果线性变换有一个非平凡子空间，那么适当选取的基，可以使与对应的矩阵中有一些元素是零。特别地，若可以表成两个非平凡子空间与的直和：，那么选取的一个基和的一个基，凑成的一个基。当与在之下不变时，关于这样选取的基的矩阵是。,一般地，若向量空间可表成个不变子空间的直和，那么在每一个子空间中选一个基，凑成的一个基，则关于这个基的矩阵就有形状。,因此，给了维向量空间的一个线性变换，只要能够将分解成一些在之下不变的子空间的直和，那么就可以适当地选取的基，使得关于这个基的矩阵有较简单的形状。显然，这些不变子空间的维数越小，相应的矩阵的形状就越简单。特别，如果能够将分解成个在
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