拉普拉斯变换及其性质

5.1拉普拉斯变换,第5章连续时间LTI系统的复频域分析,5.2拉普拉斯变换的基本性质,5.7连续时间LTI系统的稳定性,5.3拉普拉斯逆变换,5.4连续时间LTI系统的复频域分析,5.5连续时间LTI系统,5.6系统方框图和信号流图,5.8拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系,1,5.1拉普拉斯变换,一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换,一个信号f(t)满足狄里赫利条件时，便可构成一对傅里叶变换式，即,当函数f(t)不满足绝对可积条件时，则其傅里叶变换不一定存在。此时，可采取给f(t)乘以因子et(为任意实常数)的办法，这样即得到一个新的时间函数f(t)et，使其满足条件,则函数f(t)et即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子et起着使函数f(t)收敛的作用办法，故称et为收敛因子。,2,3,它是+j的函数，可以写为,设函数f(t)et满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过选取恰当的值来达到)，根据傅里叶变换的定义，则有,F(+j)的傅里叶反变换为,即,5.1拉普拉斯变换,二拉普拉斯变换的定义,4,s=+j，s为一复数变量，称为复频率。,以上两式分别称为双边拉普拉斯变换和双边拉普拉斯反变换。,5.1拉普拉斯变换,正变换,反变换,记作，称为原函数，称为象函数,采用系统，相应的单边拉氏变换为,考虑到实际信号都是有起因信号,所以,5.1拉普拉斯变换,5,三拉氏变换的收敛域,收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。记为：ROC(regionofconvergence)实际上就是拉氏变换存在的条件；,5.1拉普拉斯变换,6,7,例信号拉普拉斯变换的收敛域(即收敛坐标0),解:,要使该式成立，必须有，故其收敛域为全s平面，0=。,0时该式成立，故其收敛域为s平面的右半开平面，0=0。,0时上式成立，故其收敛域为s平面的右半开平面，0=0。,要使该式成立，必须有a+0，即a。故其收敛域为a以右的开平面，0=a。,四一些常用函数的拉氏变换,1.阶跃函数,2.指数函数,全s域平面收敛,3.单位冲激信号,8,4幂函数tnu(t),四一些常用函数的拉氏变换,9,5正余弦信号,收敛域,收敛域,四一些常用函数的拉氏变换,10,6衰减的正余弦信号,收敛域,收敛域,四一些常用函数的拉氏变换,11,5.2拉普拉斯变换的基本性质,线性性质延时特性尺度变换特性复频移特性时域微分定理时域积分定理频域微积分定理初值定理和终值定理卷积定理,12,一线性性质,解：,例：,13,二延时特性（时域平移）,若则,注意：(1)一定是的形式的信号才能用时移性质(2)信号一定是右移(3)表达式等所表示的信号不能用时移性质,14,因为,所以,解：,二延时性质（时域平移）,15,解：4种信号的波形如图,例：,二延时性质（时域平移）,16,只有信号可以用延时性质,二延时性质（时域平移）,17,时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。,结论：单边周期信号的拉普拉斯变换等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以,例：周期冲击序列的拉氏变换为,二延时性质（时域平移）,18,例,解：,解：,例,二延时性质（时域平移）,19,三尺度变换,时移和尺度变换都有:,若则,20,四复频移特性（s域平移）,若则,例：求的拉氏变换,解：,21,五时域微分定理,推广：,若则,22,六时域积分定理,若则,因为第一项与t无关，是一个常数,23,例：求图示信号的拉普拉斯变换,求导得,所以,解：,六时域积分定理,24,七s域微积分定理,若则取正整数,证明：对拉普拉斯正变换定义式求导得,若则,25,七s域微积分定理,例,解：因为,所以,26,八初值定理和终值定理,终值存在的条件:,若的拉氏变换存在，且则,初值定理,的所有极点有负实部,终值定理,初值存在的条件:当t0时，f(t)=0，且f(t)不包含冲激信号及其各阶导数项,27,由时域微分定理可知,所以,初值定理证明：,所以,八初值定理和终值定理,28,终值定理证明,根据初值定理证明时得到的公式,八初值定理和终值定理,29,F(s)为真分式,的所有极点有负实部,八初值定理和终值定理,30,例：确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值,初值,终值,初值,终值,注意应用终值定理的条件是满足的。,解：,八初值定理和终值定理,