2016年四川省高考数学适应性试卷（文科）含答案解析

第 1 页（ 共 17 页） 2016 年四川省高考数学适应性试卷（文科） 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 M， N 满足 M N=1， 2， 3， MN=a，则（ ） A a=1 B a=2 C a=3 D a M N 2若不等式 x2+ax+b 0 的解集为（ 1， 2），则 值为（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 3复数 z= ，则 |z|=（ ） A 1 B C 2 D 4若 “ x 1， m（ m 1）， |x| 1 0”是假命题，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ 1， 1） B（ 1， 1 C 1， +） D 0， 1 5已知 =（ 2， 1）， =（ 3， ）若（ 2 ） ，则 的值为（ ） A B C 3 D 1 或 3 6执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） A 2 B C D 3 7已知 、 为锐角，若 ， +） = ，则 值为（ ） A B C 或 D 8已知 P， Q， R 是圆 x2+2x 8=0 上不同三点，它们到直线 l： x+ y+7=0 的距离分别为 等差数列，则公差的最大值为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 9设 P 是左、右顶点分别为 A， B 的双曲线 上的点，若直线 倾斜角为 ，则直线 倾斜角是（ ） A B C D 10设 0 a 1，已知函数 f（ x） = ，若存在实数 b 使函数 g（ x） =f（ x） b 有两个零点，则 a 的取值范围是（ ） A B C（ 0， 1） D 第 2 页（ 共 17 页） 二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将 答案填在答题纸上） 11若抛物线 y=焦点 F 的坐标为（ 0， 1），则实数 a 的值为 _ 12某几何体的三视图如图所示，其中左视图为半圆，则主视图中 角的正切值为 _ 13若函数 f（ x） =x+ 在 1， 3上的最小值为 2 ，则正数 k 的最大值与最小值之和为_ 14当实数 a 在区间 1， 6随机取值时， 函数 f（ x） = x2+ 在区间（ 2， +）上是单调减函数的概率是 _ 15已知实数 a， b 满足： 5 a 3b 12 3a， a，则 的取值范围为 _ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分 明过程或演算步骤 .） 16为了解学生寒假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表： 本数 人数 性别 0 1 2 3 4 5 男生 0 1 4 3 2 2 女生 0 0 1 3 3 1 （ I）分别计算男生、女生阅读名著本数的平均值 方差 ， ； （ 阅读 4 本名著的学生中选两名学生在全校交流读后心得，求选出的两名学生恰好是一男一女的概率 17已知数列 前 n 项和 Sn=k3n m，且 ， 7 （ I）求证：数列 等比数列； （ ，求数列 前 n 项和 18在斜三棱柱 ，底面 正三角形， E 是 点， 平面 （ I）证明： 平面 （ ，求三棱锥 体积 第 3 页（ 共 17 页） 19如图 平面四边形， 0， ， （ ）若 ，求 长； （ ）若 0，求 值 20已知圆锥曲线 E： （ I）求曲线 E 的离心率及标准方程； （ M（ 曲线 E 上的任意一点，过原点作 M：（ x 2+（ y 2=8 的两条切线，分别交曲线 E 于点 P、 Q 若直线 斜率存在分别为 证： ； 试问 否为定值若是求出这个定值，若不是请说明理由 21设函数 f（ x） =g（ x） = （ I）求函数 y=f（ x）（ x+1）的最小值； （ 明 ：当 k 1 时，存在 0，使对于任意 x （ 0， 有 f（ x） g（ x）； （ 对于任意 x （ 0， +）， |f（ x） g（ x） | x 恒成立，求实数 k 的取值范围 第 4 页（ 共 17 页） 2016 年四川省高考数学适应性试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 M， N 满足 M N=1， 2， 3， MN=a，则（ ） A a=1 B a=2 C a=3 D a M N 【考点】 交集及其运算；并集及 其运算 【分析】 根据集合关系进行判断即可 【解答】 解： M N=1， 2， 3， MN=a， a=1，或 a=2 或 a=3， 即 a M N， 故选： D 2若不等式 x2+ax+b 0 的解集为（ 1， 2），则 值为（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 【考点】 一元二次不等式的解法 【分析】 根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，利用根与系数的关系求出 a、 b 的值，再计算 值 【解答】 解：不等式 x2+ax+b 0 的解集为（ 1， 2）， 所以方程 x2+ax+b=0 的实数根为 1 和 2， 所以 ，解得 a= 1， b= 2， 所以 1 （ 2） =2 故选： D 3复数 z= ，则 |z|=（ ） A 1 B C 2 D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 根据复数的运算性质化简 z，从而求出 z 的模即可 【解答】 解： z= = =i， 则 |z|=1， 故选： A 4若 “ x 1， m（ m 1）， |x| 1 0”是假命题，则实数 m 的取值范围是（ ） A（ 1， 1） B（ 1， 1 C 1， +） D 0， 1 【考点】 特称命题 【分析】 由 |x| 1 0，解得 x 1 或 x 1由 “ x 1， m（ m 1）， |x| 1 0，可得 m 1利用 “ x 1， m（ m 1）， |x| 1 0”是假命题，即可得出 第 5 页（ 共 17 页） 【解答】 解：由 |x| 1 0，解得 x 1 或 x 1 “ x 1， m（ m 1）， |x| 1 0， m 1 “ x 1， m（ m 1）， |x| 1 0”是假命题， 1 m 1 故选： B 5已知 =（ 2， 1）， =（ 3， ）若（ 2 ） ，则 的值为（ ） A B C 3 D 1 或 3 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 求出向量 2 ，利用向量共线列出方程，求解即可 【解答】 解： =（ 2， 1）， =（ 3， ） 2 =（ 1， 2 ） （ 2 ） ， 可得： 3（ 2 ） =， = 故选： A 6执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） A 2 B C D 3 【考点】 程序框图 【分析】 根据程序 框图，依次计算运行的结果，观察规律可得当 a= ， k=4 时，满足条件 k 4，退出循环，输出 a 的值为 【解答】 解：模拟执行程序，可得 a= ， k=0 执行循环体， a=3， k=1 不满足条件 k 100，执行循环体， a= 2， k=2 不满足条件 k 100，执行循环体， a= ， k=3 第 6 页（ 共 17 页） 不满足条件 k 100，执行循环体， a= ， k=4 此时，满足条件 k 4，退出循环，输出 a 的值为 故选： C 7已知 、 为锐角，若 ， +） = ，则 值为（ ） A B C 或 D 【考点】 两角和与差的余弦函数 【分析】 利用同角三角函数的基本关系求得 值，由题意求得范围 + ，从而可求 +）的值，进而可求 值，再利用二倍角的余弦公式求得 值 【解答】 解： 、 都是锐角，且 ， +） = ， = ， +） = = ， +） =（ 2= ， 2， ， ， +） = ， + ， +） = ， ， （ 2= ， 2 ， 解 ，得 ， 1= 故选： A 8已知 P， Q， R 是圆 x2+2x 8=0 上不同三点，它们到直线 l： x+ y+7=0 的距离分别为 等差数列，则公差的最大值为（ ） 第 7 页（ 共 17 页） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 直线与圆的位置关系 【分析】 求出圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系，继而得出圆上的点 到直线的距离的最大值和最小值，则距离最值的差的一半为最大公差 【解答】 解：圆的圆心为（ 1， 0），半径 r=3， 圆心到直线 l 的距离 d= = =4，所以直线 l 与圆相离 圆上的点到直线 l 的距离的最小值为 d r=1，最大值为 d+r=7 当 ， 时，等差数列的公差取得最大值 =3 故选 C 9设 P 是左、右顶点分别为 A， B 的双曲线 上的点，若直线 倾斜角为 ，则直线 倾斜角是（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 设 P（ m， n），则 ，求得 A， B 的坐标，运用两点的直线的斜率公式，计算可得 ，再由倾斜角与斜率的关系，即可得到所求 【解答】 解：设 P（ m， n），则 ， 由题意可得 A（ 1， 0）， B（ 1， 0）， 即有 = = =1， 由直线 倾斜角为 ，可得 ， 即有 ，可得直线 倾斜角是 故选： C 10设 0 a 1，已知函数 f（ x） = ，若存在实数 b 使函数 g（ x） =f（ x） b 有两个零点，则 a 的取值范围是（ ） A B C（ 0， 1） D 【考点】 函数零点的判定定理 【分析】 由 g（ x） =f（ x） b 有两个零点可得 f（ x） =b 有两个零点，即 y=f（ x）与 y=利用 a= 时， 8，可求 a 的范围 【解答】 解： g（ x） =f（ x） b 有两个零点 f（ x） =b 有两个零点，即 y=f（ x）与 y=b 的图象有两个交点， 由于 y=（ 0， a递减， y=8（ a， 1递增， 第 8 页（ 共 17 页） a= 时， 8 存在实数 b 使函数 g（ x） =f（ x） b 有两个零点， 0 a 故选： B 二、填空题（每题 5 分，满分 25 分，将答案填在答题纸上） 11若抛物线 y=焦点 F 的坐标为（ 0， 1），则实数 a 的值为 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 先把抛物线方程整理成标准方程，进而 根据抛物线的焦点坐标，可得 a 的值 【解答】 解：抛物线 y=标准方程为 y， 抛物线 y=焦点坐标为（ 0， 1）， = 1， a= 故答案为： 12某几何体的三视图如图所示，其中左视图为半圆，则主视图中 角的正切值为 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可知：该几何体为圆锥的一半可得母线长 l=3，底面半径 r=1，圆锥的高 h= ，利用直角三角形的边角关系即可得出 【解答】 解：由三视图可知：该几何体为圆锥的一半 母线长 l=3，底面半径 r=1 圆锥的高 h= =2 = 故答案为： 第 9 页（ 共 17 页） 13若函数 f（ x） =x+ 在 1， 3上的最小值为 2 ，则正数 k 的最大值与最小值之和为 10 【考点】 基本不等式 【分析】 运用基本不等式可得 f（ x） 2 ，由等号成立的条件可得 1， 3，继而求出 k 的最大值与最小值 【解答】 解：由题意得： x 0， f（ x） =x+ 2 ， 函数 f（ x） =x+ 在 1， 3上的最小值为 2 ， 当 x= 时，函数 f（ x）取得最小值 2 ， 1， 3， k 的最小值为 1，最大值为 9 正数 k 的最大值与最小值之和为 10 故答案为： 10 14当实数 a 在区间 1， 6随机取值时，函数 f（ x） = x2+ 在区间（ 2， +）上是单调减函数的概率是 【考点】 几何概型 【分析】 由题意，本题属于几何概型的概率求法，由此只要求 出所有事件的区域长度以及满足条件的 a 的范围对应的区域长度，利用几何概型概率公式可求 【解答】 解： 函数 f（ x） = x2+ 在区间（ 2， +）上是单调减函数， 2， a 4， 1 a 6， 1 a 4，长度为 3， 1 a 6，长度为 5 函数 f（ x） = x2+ 在区间（ 2， +）上是单调减函数的概率是 故答案为： 15已知实数 a， b 满足： 5 a 3b 12 3a， a，则 的取值范围为 ， 【考点】 不等式的基本性质 【分析】 作出不等式组表示的平面区域，则 表示与原点的连线的斜率额取值范围 【解答】 解： a， b 5 a 3b 12 3a， 画出如图所示的可行域， 第 10 页（ 共 17 页） 由 ， 解得 a= ， b= ， 即 A（ ， ）， = 设 b= b= ， 当 b=1 时，此时斜线的斜率最大，即为 =k= ， 综上所述， 的取值范围为 ， 故答案为： ， 三、解答题（本大 题共 6 小题，共 75 分 明过程或演算步骤 .） 16为了解学生寒假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表： 本数 人数 性别 0 1 2 3 4 5 男生 0 1 4 3 2 2 女生 0 0 1 3 3 1 （ I）分别计算男生、女生阅读名著本数的平均值 方差 ， ； （ 阅读 4 本名著的学生中选两名学生在全校交流读后心得，求选出 的两名学生恰好是一男一女的概率 第 11 页（ 共 17 页） 【考点】 极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ ）利用公式分别求出男生、女生阅读名著本数的平均数与方差即可；（ ）利用列举法计算基本事件数，即可求出对应的概率值 【解答】 解：（ ）全班有 12 个男生 8 个女生， 男生阅读名著本数的平均值 =3， 女生阅读名著本数的平均值 = ， ； （ 读 4 本名著的学生共有 5 人，其中两名男生，三名女生， 设两名男生分别为 名女生分别为 从这 5 人中任选两人的选法有： 2， 1， 2， 3， 1， 2， 3， 2， 3， 3 共 10 种， 其中一男一女的选法有： 1， 2， 3， 1， 2， 3 共 6 种， 所以从这 5 人中选 出的两人是一男一女的概率为 17已知数列 前 n 项和 Sn=k3n m，且 ， 7 （ I）求证：数列 等比数列； （ ，求数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和；等比关系的确定 【分析】 （ I）利用递推关系与等比数列的定义即可证明 （ 用 “错位相减法 ”、等比数列的求和公式即可得出 【解答】 （ I）证明： ， S1=k m=3， 3 8k=27，解得 则当 n 2 时， ， 又 ， n N*， 则 为常数，故由等比数列的定义可知，数列 等比数列 （ ： ， 则 ， 第 12 页（ 共 17 页） ， 则 ， 即 （ n N*） 18在斜三棱柱 ，底面 正三角形， E 是 点， 平面 （ I）证明： 平面 （ ，求三棱锥 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定 【分析】 （ ）根据线面平行的判定定理进行证明即可 （ ）根据三棱锥的体积公式求出相应的底面积和高即可 【解答】 解：（ I）证明：设 于 F 点，连接 E， F 分别是线段 A B， 中点， 平面 面 平面 已知易得 平面 点 B 到平面 距离等于点 平面 距离 则三棱锥 体积等于三棱锥 B 体积 而三棱锥 B 体积又等于三棱锥 体积， 由已知易得正三角形 面积为 ， 平面 易得 ， 三棱锥 A 体积 故三棱锥 体积为 第 13 页（ 共 17 页） 19如图 平面四边形， 0， ， （ ）若 ，求 长； （ ）若 0，求 值 【考点】 正弦定理；余弦定理 【分析】 （ I）设 ， 在 ， ，可得 在 ，可得 在 ，利用余弦定理即可得出 （ ，在 ，由正弦定理可得： = ，化为理在 ，利用正弦定理可得： 60 ），化简解出即可得出 【解答】 解：（ I）设 ， 在 ， = = ， = 在 ， = ， = += 在 ， =21 （ ，在 ， = ，化为 第 14 页（ 共 17 页） 在 ， = ，化为： 60 ）， 60 ），化为： 360 ）， 3 20已知圆锥曲线 E： （ I）求曲线 E 的离心率及标准方程； （ M（ 曲线 E 上的任意一点，过原点作 M：（ x 2+（ y 2=8 的两条切线，分别交曲线 E 于点 P、 Q 若直线 斜率存在分别为 证： ； 试问 否为定值若是求出这个定值，若不是请说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ I）由椭圆定义可知，曲线 E 是以 和 为焦点，长轴长为的椭圆，即可得出 （ 若过原点与 M 相切的直线斜率存在设为 k，则切线方程为 y=得，整理得 由题设可知 以上关于 k 的一元二次方程的两个实根，利用根与系数的关系即可得出 设 P（ Q（ 当直线 O P， 斜率存在时，由 易得 ，利用两点之间的距离、根与系数的关系即可得出当直线 O P， 斜率不存在时直接验证即可得出 【解答】 解：（ I）由椭圆定义可知，曲线 E 是以 和 为焦点，长轴长为 的椭圆， 设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为 a、 b、 c ， ，则 ， 第 15 页（ 共 17 页） 椭圆的离心率 ， E 的标准方程为 （ 证明：若过原点与 M 相切的直线斜率存在设为 k， 则切线方程为 y= ， 整理得 由题设可知 以上关于 k 的一元二次方程的两个实根， ，即 设 P（ Q（ 当直线 O P， 斜率存在时， 由 易得 ， ， 而 = = 当直线 O P 或 斜率不存在时，圆 M 与 y 轴相切，且圆 M 也与 x 轴相切 P， Q 是椭圆 E 的两个顶点， O Q2=a2+6 综上所述： O 定值 36 21设函数 f（ x） =g（ x） = （ I）求函数 y=f（ x）（ x+1）的最小值； （ 明：当 k 1 时，存在 0，使对于任意 x （ 0， 有 f（ x） g（ x）； （ 对于任意 x （ 0， +）， |f（ x） g（ x） | x 恒成立，求实数 k 的取值范围 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可； （ ）设 h（ x） =f（ x） g（ x），求出函数的导数，得到函数的单调性，从而证出结论； （ ） 当 k 1 时，求出 h（ x）的单调区间，得到函数的最小值，证出结论成立； 当k 1 时，问题等价于 f（ x） g（ x） x，设 （ x） = k+1） x 1（ x 0）， 根据函数的单调性证明即可 【解答】 解：（ I）由已知 y=x 1， y=1， 设 y 0 得 x 0，设 y 0 得 x 0， 第 16 页（ 共 17 页） 函数 y=x 1 在（ ， 0）上递减，在（ 0， +）上递增， 则当 x=0 时， y 有最小值为 0 证明：（ h（ x） =f（ x） g（ x），即 h（ x） =1， h（ x） =k，设 h（ x） =0，得 x=k 1）， k 1， 当 x （ 0， ， h（ x） 0， 即 h（ x）在（ 0， 单调递减， 而 h（ 0） =0，且 h（ x）是 R 上的连续函数， h（ x）