2016年4月广东省江门市高考数学模拟试卷(文科)含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年广东省江门市高考数学模拟试卷（文科）（ 4 月份） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若集合 M=x|1， N= 2， 0， 1，则 MN=（ ） A 2， 0， 1 B 0， 1 C 2， 0 D 2设数列 足 ， i 是虚数单位， n N*，则数列 前 2015 项和为（ ） A i B i C 1 D 1 3设向量 =（ 2， 4）， =（ 6， x），若 | |=| |，则 x=（ ） A 3 B 3 C 12 D 12 4一个几何体的三视图如图所示，其中，俯视图是半径为 2、圆心角为 的扇形该几何体的表面积是（ ） A 3+12 B 5 C 5+12 D 8+12 5实数 x， y 满足 ，则 |x|+|y|的最大值为（ ） A 6 B 8 C 10 D 14 6执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（ ） A 9 B 121 C 130 D 17021 7已知函数 f（ x） = 0 是常数， x R，且图象上相邻两个最高点的距离为 ，则下列说法正确的是（ ） A =1 B曲线 y=f（ x）关于点（ ， 0）对称 C曲线 y=f（ x）与直线 对称 D函数 f（ x）在区间 单调递增 8若 a， b 都是不等于 1 的正数，则 “ “2a 2b”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 第 2 页（共 20 页） C充要条件 D非充分非必要条件 9已知 （ a 0， b 0），曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线经过点 ，则 有（ ） A最小值 9 B最大值 9 C最小值 4 D最大值 4 10已知 F 是抛物线 x 的焦点， P 是抛物线上一点，延长 抛物线于点 Q，若 |5，则 |（ ） A B C D 2 11某商店经营一批进价为每千克 的商品，调查发现，此商品的销售单价 x（元 /千克）与日销量 y（千克）之间有如下关系： x 5 6 7 8 y 20 17 15 12 若 x 与 y 具有线性相关关系 y= x+ ，且 = 使日销售利润最大，则销售单价应定为（结果保留一位小数）（ ） A 2已知定义在 R 上的函数 f（ x）是奇函数，满足 f（ x+3） =f（ x）， f（ 2） = 3，数列足 1，且前 n 项和 足 ，则 f（ +f（ =（ ） A 3 B 3 C 0 D 6 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13从 2， 0， 1， 6 四个数中随机取两个数组成一个两位数，并要求所取得较大的数为十位数字，较小的数为个位数字，则所组成的两位数是奇数的概率 P=_ 14若双曲线 （ a 0， b 0）的渐近线与圆 C： 相切，且圆C 的圆心是双曲线的其中一个焦点，则双曲线的实轴长为 _ 15已知四面体 P 四个顶点都在球 O 的球面上，若 平面 ， C=2，则球 O 的表面积 S=_ 16若数列 足 ，且 （ n N*），则数列 前 n 项和 _ 三、解答 题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，若向量 与共线 （ ）求角 C 的大小； （ ）若 ，求 a 的大小 18环保组织随机抽检市内某河流 2015 年内 100 天的水质，检测单位体积河水中重金属含量 x，并根据抽检数据绘制了如下图所示的频率分布直方图 第 3 页（共 20 页） （ ）求图中 a 的值； （ ）假设某企业 每天由重金属污染造成的经济损失 y（单位：元）与单位体积河水中重金属含量 x 的关系式为 ，若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天经济损失不超过 500 元的概率 19如图，在直三棱柱 ， ， A=DC=a，点 E、 F 分别是中点 （ ）证明： （ ）求点 E 到平面 距离 20已知椭圆 ： （ a b 0）的焦距为 4，且经过点 （ ）求椭圆 的方程； （ ）若直线 l 经过 M（ 0， 1），与 交于 A、 B 两点， ，求 l 的方程 21已知函数 f（ x） =（ e x（ a R） （ ）当 时，试证明 f（ x） 1； （ ）讨论 f（ x）在区间（ 1， 3）上的单调性 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号 选修 4何证明选讲 22如图， O 的直径， C 为 O 上一点， 过 C 点的切线互相垂直，垂足为 D （ ）求证： 分 第 4 页（共 20 页） （ ）若 ， ，求 选修 4标系与参数方程 23直角坐标系 ，曲线 C 的参数方程为 （ 为参数， 0， 2），以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （ ）写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程； （ ）求直线 l 与曲线 C 交点的直角坐标 选修 4等式选讲 24（ ）解不等式 |3 2x| 5； （ ）若 x 1， 2， x |x a| 1 恒成立，求常数 a 的取值范围 第 5 页（共 20 页） 2016 年广东省江门市高考数学模拟试卷（文科）（ 4 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满 分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1若集合 M=x|1， N= 2， 0， 1，则 MN=（ ） A 2， 0， 1 B 0， 1 C 2， 0 D 【考点】 交集及其运算 【分析】 求出 M 中不等式的解集确定出 M，找出 M 与 N 的交集即可 【解答】 解：由 M 中不等式 1，解得： 1 x 1，即 M=x| 1 x 1， N= 2， 0， 1， MN=0， 1， 故选： B 2设数列 足 ， i 是虚数单位， n N*，则数列 前 2015 项和为（ ） A i B i C 1 D 1 【考点】 复数代数形式的混合运算 【分析】 利用复数的周期性、运算法则即可得出 【解答】 解： ， i 是虚数单位， n N*， a1=i， 1， i， ， 2015 4=503 4+3， 数列 前 2015 项和为 i+（ 1） +（ i） = 1， 故选： D 3设向量 =（ 2， 4）， =（ 6， x），若 | |=| |，则 x=（ ） A 3 B 3 C 12 D 12 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 对 | |=| |两边平方，得出 ，列出方程解 出 x 【解答】 解： | |=| |， = ， ， 12 4x=0，解得 x=3 故选： A 第 6 页（共 20 页） 4一个几何体的三视图如图所示，其中，俯视图是半径为 2、圆心角为 的扇形该几何体的表面积是（ ） A 3+12 B 5 C 5+12 D 8+12 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体是四分之一圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由圆的面积公式、圆柱的侧面积公式求出该几何体的表面积 【解答】 解：根据三视图可知几何体是四分之一圆柱， 且底面圆的半径是 2，母线长为 3， 该几何体的表面积 S= =5+12， 故选： C 5实数 x， y 满足 ，则 |x|+|y|的最大值为（ ） A 6 B 8 C 10 D 14 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，设 z=|x|+|y|，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可 【解答】 解：设 z=|x|+|y|，即 |y|= |x|+z， 即 y= |x|+z 或 y=|x| z， 作出不等式组对应的平面区域如图： 平移 y= |x|+z，当曲线 y= |x|+z 经过点 A 时， y= |x|+z 对应的截距最大，此时 z 最大， 由 ，得 ，即 A（ 2， 8），此时 z=| 2|+|8|=2+8=10， 平移 y=|x| z，当曲线 y=|x| z 经过点 C 时， y=|x| z 对应的截距最小，此时 z 最大， 由 ，得 ，即 C（ 4， 2），此时 z=|4|+|2|=2+4=6， 综上 |x|+|y|的最大值为 10， 故选： C 第 7 页（共 20 页） 6执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（ ） A 9 B 121 C 130 D 17021 【考点】 程序框图 【分析】 执行程序框图，依次写出每次循环得到的 a， b， c 的值，当 c=16900 时，不满足条件 c 2016，退出循环，输出 a 的值为 121 【解答】 解：模拟执行程序，可得 a=1， b=2， c=3 满足条件 c 2016， a=2， b=9， c=11 满足条件 c 2016， a=9， b=121， c=130 满足条件 c 2016， a=121， b=16900， c=17021 不满足条件 c 2016，退出循环，输出 a 的值为 121 故选： B 7已知函数 f（ x） = 0 是常数， x R，且图象上相邻两个最高点的距离为 ，则下列说法正确的是（ ） A =1 B曲线 y=f（ x）关于点（ ， 0）对称 C曲线 y=f（ x）与直线 对称 D函数 f（ x）在区间 单调递增 【考点】 正 弦函数的图象 【分析】 化简可得 f（ x） = x ），分别由三角函数的周期性、对称性和单调性，逐个选项验证可得 【解答】 解：化简可得 f（ x） =x ）， 函数 f（ x）图象上相邻两个最高点的距离为 ， 第 8 页（共 20 页） 周期 T= =，解得 =2，故 A 错误； 函数解析式为 f（ x） = 2x ）， 显然图象不过（ ， 0），故 B 错误； 当 x= 时，函数值取不到 ，故 C 错误； 解 2 2x 2可得 x ， k Z， 故函数的一个单调递增区间为（ ， ），故 D 正确 故选： D 8若 a， b 都是不等于 1 的正数，则 “ “2a 2b”的（ ） A充分非必要条件 B必要 非充分条件 C充要条件 D非充分非必要条件 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 由 2a 2b 分别求出 a， b 的关系，然后利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法得答案 【解答】 解：由 ， ， 得 0 a b 1 或 0 b 1 a 或 b a 1， 由 2a 2b，得 a b， “2a 2b”的非必要非充分条件 故选： D 9已知 （ a 0， b 0），曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线经过点 ，则 有（ ） A最小值 9 B最大值 9 C最小值 4 D最大值 4 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出 f（ x）的导数，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，化简可得 4a+b=1，由=（ 4a+b）（ ），化简整理，运用基本不等式即可得到所求最小值 【解答】 解： （ a 0， b 0）的导数为 f（ x） =2， 可得曲线 y=f（ x）在点（ 1， f（ 1）处的切线斜率为 k=2a b， 切点为（ 1， a+b）， 第 9 页（共 20 页） 可得 2a b= ， 化为 4a+b=1， 则有 =（ 4a+b）（ ） =5+ + 5+2 =9， 当且仅当 b=2a= 时，取得最 小值 9 故选： A 10已知 F 是抛物线 x 的焦点， P 是抛物线上一点，延长 抛物线于点 Q，若 |5，则 |（ ） A B C D 2 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 利用抛物线的性质得出 P 点坐标（ 4， 4），根据点共线得出 Q 点坐标，从而得出 | 【解答】 解：抛物线的准线方程为： x= 1，交点 F（ 1， 0） 设 P（ ， a）， |5， +1=5，解得 a=4，即 P（ 4， 4） 设 Q（ ， b）， P， F， Q 三点共线， 即 ，解得 b= 1即 Q（ ， 1） | = 故选： B 11某商店经营一批进价为每千克 的商品，调查发现，此商品的销售单价 x（元 /千克）与日销量 y（千克）之间有如下关系： x 5 6 7 8 y 20 17 15 12 若 x 与 y 具有线性相关关系 y= x+ ，且 = 使日销售利润最大，则销售单价应定为 （结果保留一位小数）（ ） A 考点】 线性回归方程 【分析】 利用 、 求出线性相关关系 y= x+ ，写出日销售利润函数 z，再根据二次函数的图象与性质求出 x 取何值时函数有最大值 【解答】 解：计算 = （ 5+6+7+8） = 第 10 页（共 20 页） = （ 20+17+15+12） =16， 代人线性相关关系 y= x+ 中，且 = 即 16= ， 解得 = 所以 y= 则日销售利润 z=y（ x =（ x = 2x 所以当 x= ， 即销售单价应定为 /千克）时，日销售利润最大 故选： C 12已知定义在 R 上的函数 f（ x）是奇函数，满足 f（ x+3） =f（ x）， f（ 2） = 3，数列足 1，且前 n 项和 足 ，则 f（ +f（ =（ ） A 3 B 3 C 0 D 6 【考点】 函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用 【分析】 可由 得到 an+n，从而可得出 1 1，这样即可求出 31， 63，而由 f（ x+3） =f（ x）可知 f（ x）的周期为 3，从而可以得出 f（ +f（ f（ 2） +f（ 0），而由条件可以得出 f（ 2） =3， f（ 0） =0，从而便可得出 f（ +f（ 值 【解答】 解：由 得， an+n； n 1=2an+n 21 n+1； 1 1，又 1； 3， 7， 15， 31， 63； 由 f（ x+3） =f（ x）知， f（ x）的周期为 3，且 f（ 2） = 3， f（ 0） =0， f（ x）为 R 上的奇函数； f（ +f（ =f（ 31） +f（ 63） =f2+3 （ 11） +f0+3 （ 21） =f（ 2） +f（ 0）=3 故选： A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 13从 2， 0， 1， 6 四个数中随机取两个数组成一个两位数，并要求所取得较大的数为十位数字，较小的数为个位数字，则所组成的两位数是奇数的概率 P= 【考点】 列举法计算基本事件数及事件发生的概率 第 11 页（共 20 页） 【分析】 利用列举法求出基本事件总数和所组成的两位数是奇数，包含的基本事件个数，由此能求出所组成的两位数是奇数的概率 【解答】 解：从 2， 0， 1， 6 四个数中随机取两 个数组成一个两位数，并要求所取得较大的数为十位数字，较小的数为个位数字， 基本事件有 10， 20， 21， 60， 61， 62， 所组成的两位数是奇数，包含的基本事件有 21， 61， 所组成的两位数是奇数的概率 p= = 14若双曲线 （ a 0， b 0）的渐近线与圆 C： 相切，且圆C 的圆心是双曲线的其中一个焦点，则双曲线的实轴长为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得圆 C 的圆心和半径，双曲线的渐近线方程，运用直线和圆相切的条件： d=r，化简可得 a=b，由 c=1，可得 a，进而得到实轴长 2a 【解答】 解：圆 C： 的圆心为（ 1， 0），半径为 r= ， 双曲线 （ a 0， b 0）的渐近线方程为 y= x， 由直线和圆相切的条件： d=r， 可得 = ， 化简为 a=b， 由题意可得 c=1， 由 c2=a2+得 a=b= ， 即有双曲线的实轴长为 2a= 故答案为： 15已知四面体 P 四个顶点都在球 O 的球面上，若 平面 ， C=2，则球 O 的表面积 S=9 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 根据条件，根据四面体 P 造长方体，然后根据长方体和球的直径之间的关系，即可求出球的半径 【解答】 解： 平面 ， ， C=2， 构造长方体，则长方体的外接球和四面体的外接球是相同的， 则长方体的体对角线等于球的直径 2R， 则 2R= =3， R= ， 第 12 页（共 20 页） 则球 O 的表面积为 4 =9， 故答案为： 9 16若数列 足 ，且 （ n N*），则数列 前 n 项和 【考点】 数列的求和 【分析】 由 （ n N*），利用累加法可得 =2（ ），从而利用裂项求和法求和 【解答】 解： （ n N*）， =2， =3， ， =n， 累加可得， =2+3+4+5+n， =1+2+3+4+5+n= ， =2（ ）， （ 1 ） +2（ ） +2（ ） +2（ ） +2（ ） =2（ 1 + + + + ） =2（ 1 ） = ， 故答案为： 三 、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 13 页（共 20 页） 17已知 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，若向量 与共线 （ ）求角 C 的大小； （ ）若 ，求 a 的大小 【考点】 平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 （ ）由向量共线的坐标表示列式，结合正弦定理化为 B+C）=一步得到 ，由此求得角 C 的大小； （ ）由 ，结合（ ）中求得的 C 的值可得 B，得到 直角三角形，故 ，代入 即可求得 a 值 【解答】 解：（ ） 向量 与 共线， c 2a b） 由正弦定理得， 2 即 B+C） = 又 B+C= A， B+C） = 得 ，又 0 C ，则 ； （ ）由 ，得 ， ， ， 则 或 ， 又 ，则 ， 直角三角形，故 ， ， 由 ，得（ 2a b） 2+， 代入得， ，解得 18环保组织随机抽检市内某河流 2015 年内 100 天的水质，检测单位体积河水中重金属含量 x，并根据抽检数据绘制了如下图所示的频率分布直方图 （ ）求图中 a 的值； （ ）假设某企业每天由重金属污染造成的经济损失 y（单位：元）与单位体积河水中重金属含量 x 第 14 页（共 20 页） 的关系式为 ，若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天经济损失不超过 500 元的概率 【考点】 频率分布直方图 【分析】 （ ）由样本的频率分布直方图求出 a， （ ）由题意可得 4x 400 500，或 5x 600 500，即可求出 【解答】 解：（ ）依题意， a 50+2 50+50+50=1， 解得 a= （ ）解 4x 400 500，得 x 225， 解 5x 600 500，得 x 220， 所求概率为 2 50+50+50+= 19如图，在直三棱柱 ， ， A=DC=a，点 E、 F 分别是中点 （ ）证明： （ ）求点 E 到平面 距离 【考点】 点、线、面间的距离计算 【分析】 法一：（ I）由已知得 ， 用线面垂直的判定定理可得 平面 是 已知可得 到 可证明 平面 （ ）设三棱锥 体积为 V，点 E 到平面 距离为 h，利用= 即可得出 第 15 页（共 20 页） 法二：（ I）由已知得 ，可得 图所示，建立空间直角坐标 系计算 =0，即可证明 （ 平面 法向量为 =（ x， y， z），可得 ，解得 ，可得点 E 到平面 距离 d= 【解答】 法一：（ I）证明：由已知得 ， 连接 已知得 C=D， 平面 又 平面 C=a， ， 0， E 又 E=D， 平面 （ ）设三棱锥 体积为 V，点 E 到平面 距离为 h， ， ， 过 F 作 G，则 ， 面积 ， ，解得 ） 法二：（ I）证明：由已知得 ， 如图所示，建立空间直角坐标系 D（ 0， 0， 0）， A（ a， 0， 0）， C（ 0， a， 0）， B（ a， a，0）， E（ ， a， 0）， F（ 0， ， 0）， 0， 0， a） = ， = = + +0=0， （ ： =（ a， 0， a）， = 设平面 法向量为 =（ x， y， z），则 ， ， 取 =（ 1， 2， 1）， 第 16 页（共 20 页） 点 E 到平面 距离 d= = = 20已知椭圆 ： （ a b 0）的焦距为 4，且经过点 （ ）求椭圆 的方程； （ ）若直 线 l 经过 M（ 0， 1），与 交于 A、 B 两点， ，求 l 的方程 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ ）由题意可得 c=2，求得焦点坐标，运用椭圆的定义可得 2a=6，即 a=3，运用 a，b， c 的关系，可得 b，进而得到椭圆方程； （ ）讨论若 l 与 x 轴垂直，求出 A， B 的坐标，检验不成立；若 l 与 x 轴垂直，设 l 的方程 y=，代入椭圆方程，消去 y，可得 x 的方程，运用韦达定理，再由向量共线的坐标表示，可得 k 的方程，解得 k，即可得到所求直线的方程 【解答】 解：（ ）依 题意， 2c=4，椭圆 的焦点为 2， 0）， 2， 0）， 由椭圆的定义可得 2a=| + = + =6， 即有 a=3，则 b2=， 则椭圆 的方程为 ； （ ）若 l 与 x 轴垂直，则 l 的方程为 x=0， A、 B 为椭圆短轴上两点 ，不符合题意； 若 l 与 x 轴垂直，设 l 的方程 y=， 第 17 页（共 20 页） 由 得，（ 9） 836=0， 设 A（ B（ 则 ， ， 由 得， ， 即有 ，代入韦达定理，可得 ， ，即有 ， 解得 ，直线 l 的方程为 21已知函数 f（ x） =（ e x（ a R） （ ）当 时，试证明 f（ x） 1； （ ）讨论 f（ x）在区间（ 1， 3）上的单调性 【考点】 利用导数研究函数的单调性；导数的运算 【分析】 （ ）求导，根据导数和函数的最值得关系即可判断； （ ）先求导，再求 f（ x） =0 的值，分类讨论即可求出答案 【解答】 解：（ ） ， f（ x） =（ x2+x+1） e x 设 g（ x） =f（ x），则 g（ x） =（ 3x） e x 解 g（ x） =（ 3x） e x=0 得， x=0 或 x=3 x （ ， 0） 0 （ 0， 3） 3 （ 3， +） g（ x） + 0 0 + g（ x） 极大值 极小值 g（ 0） =1， g（ 3） = 5e 3，且 x+时， g（ x） =（ x2+x+1） e x0， 所以 g（ x）的最大值为 g（ 0） =1， g（ x） =f（ x） 1 （ ） f（ x） = （ a 1） x 2ae x 解 f（ x） =0 得， 或 x （ ， +） f（ x） 0 + 0 f（ x） 极小值 极大值 f（ 1） =e 1 0（即 1 （ ，解 得 第 18 页（共 20 页） 当 时， ， f（ x）在区间（ 1， 3）上的单调递增 当 时， ， f（ x）在区间 上的单调递增，在区间 上的单调减 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号 选修 4何证明选讲 22如图， O 的直径， C 为 O