高中数学231抛物线及其标准方程课件新人教B选修

2.3抛物线,1知识与技能通过本节学习，了解抛物线的定义、标准方程，能根据条件确定抛物线的标准方程，并注意标准方程的形式，掌握四种形式的特点，会利用待定系数法求抛物线的标准方程2过程与方法掌握开口向右的抛物线标准方程的推导过程，进一步理解求曲线方程的方法坐标法，从而培养学生观察、类比、分析、计算的能力,3情感、态度与价值观通过本节的学习，让学生体验研究解析几何的基本思想，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想，提高学生分析问题和解决问题的能力,本节重点：抛物线的定义及标准方程本节难点：建立标准方程时坐标系的选取,1对于抛物线定义的理解，可以通过以下几种途径：通过多媒体设备展示与抛物线有关的实物模型；也可让学生举出生活中与抛物线有关的物体和现象，加强知识与实际的联系，增强学生的学习兴趣2对抛物线定义的理解应注意定点不在定直线上，否则动点的轨迹是一条直线3由抛物线的定义推导出它的标准方程时，要考虑怎样选择坐标系由定义可知直线KF是曲线的对称轴，所以把KF作为x轴可以使方程不出现y的一次项因为抛物线KF的中点适合条件，所以它在抛物线上，因而以KF的中点为原点，就不会出现常数项，这样建立坐标系，得出的方程形式比较简单,1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的点的轨迹叫做抛物线定点F叫做抛物线的，定直线l叫做抛物线的,距离相等,焦点,准线,y22px,y22px,x22py,x22py,例1判断适合下列条件的动点的轨迹是何种曲线：(1)过点P(0,3)且与直线y30相切的动圆的圆心M的轨迹；(2)到点A(0,2)的距离比到直线ly4的距离小2的动点P的轨迹,解析(1)依题意，圆心M到点P的距离等于M到直线y3的距离，动圆的圆心M的轨迹是以点P为焦点，以直线y3为准线的抛物线(2)依题意，动点P到点A(0,2)的距离与到直线ly2的距离相等，点P的轨迹是以点A为焦点，以直线y2为准线的抛物线,已知点B(4,0)，过y轴上的一点A作直线ly轴，求l与线段AB的中垂线的交点P的轨迹解析依题意，|PA|PB|，且|PA|为点P到y轴的距离，点P到点B的距离与到y轴的距离相等，其轨迹是以点B为焦点，以y轴为准线的抛物线.,例2求过点(3,2)的抛物线的标准方程说明判断抛物线的开口方向，用待定系数法求之,例3已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离是5.(1)求抛物线方程和m值(2)求抛物线的焦点和准线方程解析(1)设抛物线方程为y22px(p0),说明1.求抛物线方程的方法(1)定义法，直接利用定义求解(2)待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在x轴上的抛物线方程统一设成y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2ay(a0),根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)经过点P(4，2)；(2)焦点在直线3x4y120上解析(1)点P在第四象限，抛物线开口向右或向下，标准方程可设为y22px(p0)或x22py(p0)将点P(4，2)代入y22px，得2p1；将P(4，2)代入x22py，得2p8.所求抛物线的标准方程为y2x或x28y.,(2)由于有标准方程的抛物线的焦点在坐标轴上，故由直线3x4y120与坐标轴的交点可得抛物线的焦点令x0，得y3，令y0，得x4.抛物线的焦点为(0，3)或(4,0)当焦点为(0，3)时，3,2p12，此时抛物线的标准方程为x212y；,例4已知抛物线的方程为x28y，F是其焦点点A(2,4)在抛物线的内部，在此抛物线上求一点P，使|PF|PA|的值最小分析如图所示，根据抛物线的定义把PF转化为PQ，使折线段PA，PQ的两端点A，Q分别落在抛物线的两侧，再通过“数形结合”可知当A，P，Q三点共线时距离达到最小,若点A的坐标为(3,2)，F为抛物线y22x的焦点，点P在该抛物线上移动，为使得|PA|PF|取得最小值，则P点坐标为()A(0,0)B(1,1),解析由抛物线定义，|PF|等于点P到抛物线准线的距离|PP|，如图所示，因此，当且仅当点P、A、P在同一条直线上时，有|PF|PA|PP|PA|最小，此时点P的纵坐标等于A点纵坐标，即y2，故此时P点坐标为(2,2)故选C.,说明确定圆锥曲线上的点到两定点的距离之和最短时的位置，通常有两种情况：(1)当两定点在曲线两侧时，连结两定点的线段与曲线的交点即为所求点；(2)当两定点在曲线同侧时，由圆锥曲线定义作线段的等量长度转移，转变为(1)的情形即可.,例5直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且与抛物线相交于A(x1，y1)和B(x2，y2)两点,说明解法1分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，同学们容易忽略斜率不存在的情形，应引起重视；解法2对直线方程的设法避免了直线的斜率不存在这一情况，解答更为简洁，在学习过程中应深刻体会,斜率为1的直线经过抛物线y24x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长解析如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)，准线方程x1.,由题设，直线AB的方程为：yx1.代入抛物线方程y24x，整理得：x26x10.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x1的距离|AA|，即|AF|AA|x11，同理|BF|x21，|AB|AF|BF|x1x22628.说明利用抛物线定义，把过焦点的这一特殊的弦分成两个焦半径的和，转化为到准线的距离，这是解决有关抛物线的焦点弦问题很重要的一种数学思想：等价转化的思想,例6如图，一位运动员在距离篮球架4m远处跳起投篮，球运行的路线是抛物线当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m，如图所示建立平面直角坐标系,(1)试求球运行路线所在抛物线的方程；(2)球出手时，球离开地面的高度是多少？解析(1)设球运行所在的抛物线方程为x22py(p0)，由题意知抛物线经过点(1.5，0.45)，代入抛物线方程得1.522p(0.45)，解得2p5，所求抛物线方程为x25y.,(2)把x2.5代入x25y得(2.5)25y，y1.25，球出手时球离开地面的高度是3.51.252.25(m)说明关键是确定抛物线的方程,如图所示，设田地喷灌水管AB高出地面1.5米，在B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间，喷出的水流是抛物线状，喷头B与水流最高点C的连线与水平地面成45角，若C比B高出2米，在所建立的坐标系中，求水流的落地点D到点A的距离是多少米？,解析如上图依题可知，BECE2(米)，CFCEEF3.5(米)，点B的坐标为(0,1.5)，抛物线的方程为ya(x2)23.5.由于它经过点B，故1.5a(02)23.5.,误解选C.辨析抛物线的定义中，定点不在定直线上，而本题点F(1,1)恰好在直线3xy40上，因而对抛物线的定义认识不清而错选了C.正解D,一、选择题1抛物线y220 x的焦点坐标为()A(20,0)B(10,0)C(5,0)D(0,5)答案C,2过点A(3,0)与y轴相切的圆的圆心轨迹为()A圆B椭圆C直线D抛物线答案D解析设P为轨迹上一点，则P到A的距离等于P到y轴的距离，所以P的轨迹为以A为焦点，y轴为准线的抛物线,3(2010四川文，3)抛物线y28x的焦点到准线的距离是()A1B2C4D8答案C解析本题考查抛物线的焦点到准线的距离,二、填空题4到点A(1,0)和直线x3距离相等的点的轨迹方程是_答案y288x,答案y220 x解析双曲线的左焦点为(5,0)，故设抛物线方程为