材料力学第09章 超静定结构

中北大学理学院力学系,第九章超静定结构,第一节概述第二节拉压杆超静定问题第三节简单超静定梁的解法变形比较法第四节用力法解超静定问题第五节对称性在超静定分析中的应用总结与讨论,一、超静定结构（Staticallyindeterminatestructure）,在超静定结构中,超过维持静力学平衡所必须的约束称为多余约束，多余约束相对应的反力称为多余约束反力,多余约束的数目为结构的超静定次数（degreeofstaticallyindeterminate）.,9-1超静定结构概述（InstructionaboutStaticallyindeterminatestructure）,用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构,统称为超静定结构或系统（staticallyindeterminatestructure）,也称为静不定结构或系统.,第三类:在结构外部和内部均存在多余约束,即支反力和内力是静不定的,也称联合超静定结构.,二、超静定问题分类（Classificationforstaticallyindeterminate）,第一类:仅在结构外部存在多余约束,即支反力是静不定的,可称为外力超静定系统;,第二类:仅在结构内部存在多余约束,即内力是静不定的,可称为内力超静定系统;,判断下列结构属于哪类超静定,外力超静定,外力超静定,（d）,（a）,（b）,（c）,（e）,（f）,混合超静定,混合超静定,内力超静定,内力超静定,三、工程中的超静定结构（Staticallyindeterminatestructureinengineering）,在机械和工程结构中常采用超静定结构增加系统的刚度，提高构件的承载能力.,塔式吊车起重臂可简化为外伸粱结构,当需要延长主臂以增加其回转半径时,如何才能保持原有的承载能力?,辅助支撑,跟刀架,顶尖,在铣床上洗削工件时，为防止工件的移动并减小其变形和振动，需要增加辅助支撑，虎钳和辅助支撑构成系统,用车床加工细长轴时，经常采用顶尖和跟刀架等辅助支撑以减少其变形。卡盘和辅助支撑构成超静定系统。,五、分析方法（Analyticalmethod）,1.力法（Forcemethod）:以未知力为基本未知量的求解方法;2.位移法（Displacementmethod）:以未知位移为基本未知量的求解方法.,（1）外力超静定次数的判定:根据约束性质确定支反力的个数,根据结构所受力系的类型确定独立平衡方程的个数,二者的差即为结构的超静定次数；,（2）内力超静定次数的判定:一个平面封闭框架为三次内力超静定;平面桁架的内力超静定次数等于未知力的个数减去二倍的节点数.,四、超静定次数的判定（Determinethedegreeofstaticallyindeterminacy）,9-2拉压超静定问题(Staticallyindeterminateproblemofaxiallyloadedmembers),（1）确定静不定次数；列静力平衡方程（2）根据变形协调条件列变形几何方程（3）将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程（4）联立补充方程与静力平衡方程求解,求解超静定问题的步骤,一、拉压超静定问题,一般超静定问题举例(Examplesforgeneralstaticallyindeterminateproblem),这是一次超静定问题,例题1设1，2，3三杆用绞链连结如图所示，F=40kN，E1=E2=200GPa，弹性模量E3=100GPa。试求在沿铅垂方向的外力F作用下各杆的轴力.设计A1,A2,A3,（2）变形几何方程,由于问题在几何,物理及受力方面都是对称,所以变形后A点将沿铅垂方向下移.变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起,变形几何方程为,（3）补充方程,物理方程为,（4）联立平衡方程与补充方程求解,总结:,1.仅由静力平衡方程不能求解,2.不仅与外力和几何结构有关,还与刚度有关,3.强度总有富余,4.强度,刚度校核与静定问题相同,4.补充方程实际上是变形体的平衡条件,例题2图示平行杆系1、2、3悬吊着刚性横梁AB，在横梁上作用着荷载F。各杆的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A，l，E.试求三杆的轴力FN1,FN2,FN3.,F,解：（1）平衡方程,这是一次超静定问题,且假设均为拉杆.,（2）变形几何方程,物理方程,（3）补充方程,（4）联立平衡方程与补充方程求解,已知如图，AB为刚性杆，求拉、压杆DE、CF的内力,只写出变形协调关系,图示杆系,若3杆尺寸有微小误差,则在杆系装配好后,各杆将处于图中位置,因而产生轴力.3杆的轴力为拉力,1.2杆的轴力为压力.这种附加的内力就称为装配内力.与之相对应的应力称为装配应力(initialstresses).,二、装配应力(Initialstresses),(Staticallyindeterminatestructurewithamisfit),代表杆3的伸长,代表杆1或杆2的缩短,代表装配后A点的位移,（1）变形几何方程,（2）物理方程,（3）补充方程,（4）平衡方程,FN1，FN2，FN3,（5）联立平衡方程与补充方程求解,例题3两铸件用两根钢杆1.2连接,其间距为l=200mm.现要将制造得过长了e=0.11mm的铜杆3装入铸件之间,并保持三根杆的轴线平行且等间距a,试计算各杆内的装配应力.已知：钢杆直径d=10mm,铜杆横截面积为2030mm的矩形,钢的弹性模量E=210GPa,铜的弹性模量E3=100GPa.铸件很厚,其变形可略去不计,故可看作刚体.,A,B,C,1,2,a,a,B1,A1,C1,l,3,C1,C,e,（1）变形几何方程为,C,（3）补充方程,（4）平衡方程,（2）物理方程,C,A,B,FN3,FN1,FN2,联立平衡方程与补充方程求解,即可得装配内力，进而求出装配应力.,三、温度应力(Thermalstressesortemperaturestresses),温度变化将引起物体的膨胀或收缩.静定结构可以自由变形,不会引起构件的内力,但在超静定结构中变形将受到部分或全部约束,温度变化时往往就要引起内力,与之相对应的应力称为热应力(thermalstresses)或温度应力(temperaturestresses).,蒸汽管道,钢轨接头,例题4图示等直杆AB的两端分别与刚性支承连结.设两支承的距离（即杆长）为l,杆的横截面面积为A,材料的弹性模量为E,线膨胀系数为.试求温度升高T时杆内的温度应力.,解:这是一次超静定问题,变形相容条件是杆的总长度不变.,杆的变形为两部分,即由温度升高引起的变形lT以及与轴向压力FR相应的弹性变形lF,（1）变形几何方程,（3）补充方程,（4）温度内力,（2）物理方程,由此得温度应力,2-3简单超静定梁的解法变形比较法,求解超静定梁的步骤(procedureforsolvingastaticallyindeterminate),1.画静定基建立相当系统：将可动绞链支座作看多余约束,解除多余约束代之以约束反力RB.得到原超静定梁的基本静定系.,2.列几何方程变形协调方程,超静定梁在多余约束处的约束条件,梁的变形协调条件,根据变形协调条件得变形几何方程:,变形几何方程为,3.列物理方程变形与力的关系,查表得,将力与变形的关系代入变形几何方程得补充方程,4.建立补充方程,补充方程为,由该式解得,5.求解其它问题（反力,应力,变形等）,q,A,B,FRB,求出该梁固定端的两个支反力,代以与其相应的多余反力偶MA得基本静定系.,变形相容条件为,请同学们自行完成！,方法二,取支座A处阻止梁转动的约束为多余约束.,例题5梁AC如图所示,梁的A端用一钢杆AD与梁AC铰接,在梁受荷载作用前,杆AD内没有内力,已知梁和杆用同样的钢材制成,材料的弹性模量为E,钢梁横截面的惯性矩为I,拉杆横截面的面积为A,其余尺寸见图,试求钢杆AD内的拉力FN.,a,2a,A,B,C,q,2q,D,l,A点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点.即,解:这是一次超静定问题.将AD杆与梁AC之间的连结绞看作多余约束.拉力FN为多余反力.基本静定系如图,变形几何方程为,根据叠加法A端的挠度为,在例题中已求得,可算出:,拉杆AD的伸长为:,由此解得:,例题6求图示梁的支反力,并绘梁的剪力图和弯矩图.已知EI=5103kNm3.,4m,3m,2m,A,B,D,C,30kN,20kN/m,解:这是一次超静定问题,取支座B截面上的相对转动约束为多余约束.,基本静定系为在B支座截面上安置铰的静定梁,如图所示.,多余反力为分别作用于简支梁AB和BC的B端处的一对弯矩MB.,变形相容条件为，简支梁AB的B截面转角和BC梁B截面的转角相等.,由表中查得:,补充方程为:,解得:,负号表示B截面弯矩与假设相反.,由基本静定系的平衡方程可求得其余反力,在基本静定系上绘出剪力图和弯矩图.,2-4用力法解静不定结构（Solvingstaticallyindeterminatestructurebyforcemethod）,一、力法的求解过程（Basicprocedureforforcemethod）,1.判定超静定次数解除超静定结构的多余约束，用多余约束力X1,X2,X3代替多余约束,得到一个几何不变的静定系统,称为原静不定系统的“相当系统”;,2.在多余约束处满足“变形几何条件”,得到变形协调方程;,3.由补充方程求出多余约束力;,4.在相当系统上求解原超静定结构的内力和变形.,A,B,l,（1）去掉多余约束代之约束反力,得基本静定系,把B支座作为多余约束,X1为多余反力,AB悬臂梁为基本静定系,例题7如图所示,梁EI为常数,试求支座反力.,变形协调条件：B点的挠度为,（2）利用多余约束处的变形情况写出变形协调条件,1X1表示由于X1作用在静定基上时,X1作用B点沿X1方向的位移.,1F表示荷载F(广义力)作用在静定基上时,X1作用B点沿X1方向的位移.,若用11表示沿X1方向的单位力在其作点引起的X1方向的位移.,由于X1作用,B点的沿X1方向位移是11的X1倍,利用上式解出X1,（3）用莫尔定理求1F,（4）用莫尔定理求11,代入,解得,二、力法正则方程(Generalizedequationsintheforcemethod),上例中以多余力为未知量的变形协调方程可改写成下式,X1多余未知量；,变形协调方程的标准形式,即所谓的力法正则方程.,d11在基本静定系上,X1取单位值时引起的在X1作用点X1方向的位移;,D1F在基本静定系上,由原载荷引起的在X1作用点沿X1方向的位移;,这是三次超静定问题,对于有多个多余约束反力的静不定系统的正则方程如下：,在静定基上,由F,X1,X2,X3单独作用在点引起的水平位移分别记作1F,1X1,1X2,1X3,1表示B点的水平位移方向,B点的水平位移等于零,B点的铅垂位移等于零,2表示B点的铅垂位移方向,三次超静定系统的正则方程,正则方程的推广:,由位移互等定理知:,例题8刚架的两杆抗弯刚度都是EI,解此刚架.,F,A,B,C,D,l,l/2,l/2,解:取固定端处的反力偶为多余约束.,变形协调条件是:A点的转角等于零.,11是在A点作用单位力偶时,在A截面引起的转角.,1F是力F在A截面引起的转角.,BC:,AC:,（1）求11,BC:,CD:,AD:,（2）求1F,F,解得,代入,Me,A,B,C,D,a=50mm,例题9已知两杆抗弯刚度均为EI.不计剪力和轴力对刚架变形的影响,求支座反力q=10kN/m,Me=50kNm.,（1）用单位力法求1F,BD:,DC:,CA:,BD:,DC:,CA:,（2）用单位力法求11,代入,解得,例题10试求图示刚架的全部约束反力,刚架EI为常数.,解：（1）刚架有两个多余约束,为二次静不定结构;,（2）选取并去除多余约束,代以多余约束反力;,（3）建立力法正则方程,（4）计算系数dij和自由项DiF,用莫尔定理求得,（5）求多余约束反力,将上述结果代入力法正则方程可得,（6）求其它支反力,由平衡方程得其它支反力,全部表示于图中.,例题11求解静不定结构刚架,设两杆的EI相等.,a,a,（1）用单位荷载法求1F,2F,3F,（2）求ii,（3）求ij,（4）求X1,X2,X3,代入正则方程：,化简得:,求出:,例题12计算图（a）中所示桁架各杆的内力.设各杆的材料相同,横截面面积相等.,解：桁架内部有一个多余约束,所以各杆的内力确是超静定的.以杆件4为多余约束,假想的把它切开,并代之以多余约束力X1,得到图（b）所示的相当系统.,(a),1F表示杆4切口两侧截面因载荷而引起的沿X1方向的相对位移;11表示切口两侧截面因单位力而引起的沿X1方向的相对位移（图d）.,力法正则方程,由图（c）求出基本静定系在F作用下各杆的内力FNi,应用莫尔定理,代入方程后求得,由叠加原理可知桁架内任一杆件的实际内力,例题13轴线为四分之一圆周的曲杆A端固定,B端铰支（图a）.在F作用下,试求曲杆的弯矩图.设曲杆横截面尺寸远小于轴线半径,可以借用计算直杆变形的公式.,/4,/4,F,解:曲杆为一次超静定,解除多与支座B,得到A端固定,B端为自由端的基本静定系,多余约束力为X1（图b）.,(a),当基本静定系上只作用外载荷F时（图c）,弯矩为,当在B点沿X1方向作用一单位力时（图d）,弯矩方程为,a,应用莫尔积分,并设曲杆的EI为常量,将1F和11代入,解得,曲杆任一横截面上的弯矩,一、对称结构的对称变形与反对称变形（Symmetricalandantisymmetricaldeformationinsymmetricalstructure）,结构几何尺寸,形状,构件材料及约束条件均对称于某一轴,则称此结构为对称结构.,9-5对称及反对称性质的应用(Applicationaboutsymmetricalandantisymmetricalproperties),当对称结构受力也对称于结构对称轴,则此结构将产生对称变形;,若外力反对称于结构对称轴,则结构将产生反对称变形.,二、结构对称性的利用（Applicationofsymmetricalstructure）,对称结构（symmetricalstructure）:若将结构绕对称轴对折后,结构在对称轴两边的部分将完全重合.,对称载荷（symmetricalload）:绕对称轴对折后,结构在对称轴两边的载荷的作用点和作用方向将重合,而且每对力数值相等.,反对称载荷（Antisymmetricalload）:绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的数值相等,作用点重合而作用方向相反.,例如：,例题14试求图示刚架的全部约束反力,并作弯矩图,刚架EI为常数.,解:图示刚架有三个多余未知力.但由于结构是对称的,而载荷