2016年玉林、贵港、梧州市高考数学模拟试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年广西玉林、贵港、梧州市高考数学模拟试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=0， 1， 2， 3， 4， B=x|x 3，则 AB=（ ） A 1， 2 B 2， 3 C 1， 2， 3 D 0， 1， 2 2复数 z= 的虚部为（ ） A 2 B 2 C 2i D 3 3命题 “若 b，则 a ”的逆否命题为（ ） A若 b，则 a 或 a B若 b，则 a 或 a C若 a 或 a ，则 b D若 a 或 a ，则 b 4已知 ） = ， 0，则 ） A B C D 2 5已知变量 x， y 之间的线性回归方程为 = 变量 x， y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ） x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A变量 x， y 之间呈现负相关关系 B m=4 C可以预测，当 x=11 时， y=由表格数据知，该回归直线必过点（ 9， 4） 6已知 a=b=c=（ ） A c a b B b c a C c b a D b a c 7已知函数 y=2x+）（ 0， 0 ）的图象上相邻两个最高点的距离为 ，若将函数 f（ x）的图象向左平移 个单位长度后，所得图象关于 x= 轴对称，则 f（ x）的解析式为（ ） A f（ x） =2x+ ） B f（ x） =22x+ ） C f（ x） =2x+ ） D f（ x） =22x+ ） 8若不等式组 ，表示的平面区域为 D，则将 D 绕原点旋转一周所得区域的面积为（ ） A 30 B 28 C 26 D 25 9若数列 各项都是正数的等比数列，且 ， a3+数列 前 10项和 ） 第 2 页（共 20 页） A 15 B 15 C 31 D 31 10已知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x 0 时， f（ x） =x+1），若 f（ 1） 1，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ 1， 1） C（ ， ） （ ， +） D（ ， 1） （ 1， +） 11网格纸上小正方形的边长为 1，如图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 44 B 56 C 68 D 72 12已知双曲线 ，双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 M 是双曲线 条渐近线上的某一点，且 离心率相同，且 S =16，则双曲线 实轴长为（ ） A 4 B 8 C 16 D 32 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上 13已知平面向量 ， 的夹角为 ， | |=4， | |=2，则 | 2 |=_ 14运行如图程序框图若输入的 n 的值为 3，则输出的 n 的值为 _ 第 3 页（共 20 页） 15等差数列 前 n 项和为 ， 则 的最小值为 _ 16若函数 f（ x） =|在 0， 1上单调递减，则实数 a 的取值范围是 _ 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c已知 c= （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 b c= ， a=3+ ，求 上的高 18小明和小红进行一次答题比赛，共 4 局，每局 10 分，现将小明和小红的各局得分统计如表： 小明 6 6 9 9 小红 7 9 6 10 （ 1）求小明和小红在本次比赛中的平均得分 方差 ， ； （ 2）从小明和小红两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，并将小明和小红的 得分分别记为 a，b，求 a b 的概率 19已知四棱柱 ， 平面 面 菱形 （ 1）若 E 为线段 中点，证明： （ 2）若 ， ， 20，求三棱锥 B 体积 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且（ 4， 0）在椭圆 C 上，圆 M：x2+y2=直线 l： y=8x 的一个交点的横坐标为 1 （ 1）求椭圆 C 的方程与圆 M 的方程； （ 2）已知 A（ m， n）为圆 M 上的任意一点，过点 A 作椭圆 C 的两条切线 探究直线 位置关系，并说明理由 21已知函数 f（ x） =2（ a） g（ x） =2 （ 1）若 a=2，求函数 f（ x）在（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）当 a 时，若 f（ x） 2g（ x）在（ 1， +）上恒成立，求实数 a 的取值范围 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4何证明选讲 22如图， 圆 O 的直径， A 为圆 O 上一点，过点 A 的直线与圆 O 相切，且与线段 ， E 为线段 长线上的一点，且 第 4 页（共 20 页） （ 1）求证 D=D； （ 2）若 ， ，求 长 选修 4标系与参数方程 23已知曲线 C 的参数方程为 ，（ 为参数），以坐标原点为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点 A 的极坐标为（ 2 ， ） （ 1）写出曲线 C 的极坐标方程，并求出曲线 C 在点（ ， 1）处的切线 l 的极坐标方程； （ 2）若过点 A 的直线 m 与曲线 C 相切，求直线 m 的斜率 k 的值 选修 4等式选讲 24已知 m， n R+，且 m n （ 1）若 n 1，比较 m2+n 与 mn+m 的大小关系，并说明理由； （ 2）若 m+2n=1，求 + 的最小值 第 5 页（共 20 页） 2016 年广西玉林、贵港、梧州市高考数学模拟试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1已知集合 A=0， 1， 2， 3， 4， B=x|x 3，则 AB=（ ） A 1， 2 B 2， 3 C 1， 2， 3 D 0， 1， 2 【考点】 交集及其运算 【分析】 直接根据交集的定义即可求出 【解答】 解：集合 A=0， 1， 2， 3， 4， B=x|x 3， 则 AB=0， 1， 2 故选： D 2复数 z= 的虚部为（ ） A 2 B 2 C 2i D 3 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 【分析】 根据复数的运算法则，化简复数 z，进而得到数 z 的虚部 【解答】 解： z= = = 3 2i， 则复数 z= 的虚部为 2， 故选： A 3命题 “若 b，则 a ”的逆否命题为（ ） A若 b，则 a 或 a B若 b，则 a 或 a C若 a 或 a ，则 b D若 a 或 a ，则 b 【考点】 四种命题间的逆否关系 【分析】 直接利用逆否命题与原命题的关系写出结果即可 【解答】 解：命题 “若 b，则 a ”的逆否命题为若 a 或 a ，则 b 故选： C 4已知 ） = ， 0，则 ） A B C D 2 【考点】 三角函数的化简求值 【分析】 判断角所在象限，求出余弦函数值，然后求解即可 第 6 页（共 20 页） 【解答】 解： ） = ，可得 ， 0， 所以 0， 是第一象限角， = = 故选： B 5已知变量 x， y 之间的线性回归方程为 = 变量 x， y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ） x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A变量 x， y 之间呈现负相关 关系 B m=4 C可以预测，当 x=11 时， y=由表格数据知，该回归直线必过点（ 9， 4） 【考点】 线性回归方程 【分析】 求出 ，代入回归方程解出 ，列方程解出 m 【解答】 解： = =9， = 9+ ，解得 m=5 故选 B 6已知 a=b=c=（ ） A c a b B b c a C c b a D b a c 【考点】 对数值大小的比较 【分析】 利用对数函数的单调性可得： a= 1， b=（ 1， 0），c=0，即可得出 【解答】 解： a= 1， b=（ 1， 0）， c=0， c b a， 故选： C 7已知函数 y=2x+）（ 0， 0 ）的图象上相邻两个最高点的距离为 ，若将函数 f（ x）的图象向左平移 个单位长度后，所得图象关于 x= 轴对称，则 f（ x）的解析式为（ ） A f（ x） =2x+ ） B f（ x） =22x+ ） C f（ x） =2x+ ） D f（ x） =22x+ ） 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 第 7 页（共 20 页） 【分析】 由周期求出 ，根据 y=x+）的图象变换规律、正弦函数的对称性，求出 的值，可得函数的解析式 【解答】 解：由题意知： =，得 =2，向左平移 个单位长度后得 f（ x） =22x+）， 因为，所得图象关于 x= 轴对称， 所以， + +=， k Z， 所以， =， k Z， 因为， 0 ， 所 以， = 可得 f（ x）的解析式为 f（ x） =22x+ ） 故选： B 8若不等式组 ，表示的平面区域为 D，则将 D 绕原点旋转一周所得区域的面积为（ ） A 30 B 28 C 26 D 25 【考点】 简单线性规划 【分析】 由题意作出可行域 D，可得将 D 绕原点旋转一周所得区域为圆环，求出大圆的半径及小圆的半径，则答案可求 【解答】 解：由约束条件 作出平面区域 D 如图， 联立 ，解得 B（ 5， 3）； 联立 ，解得 C（ 3， 5）； 第 8 页（共 20 页） 又 A（ 0， 2）， 将 D 绕原点旋转一周所得区域为圆环，且大圆的半径为 ，小圆的半径为 2 则圆环的面积为 34 4=30 故选： A 9若数列 各项都是正数的等比数列，且 ， a3+数列 前 10项和 ） A 15 B 15 C 31 D 31 【考点】 等比数列的前 n 项和 【分析】 利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出 【解答】 解：设等比数列 公比为 q 0， a3+ =2 +为： 2=0，解得 ， q= =， 解得 1 则数列 前 10 项和 =25 1=31， 故选： D 10已知函数 f（ x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x 0 时， f（ x） =x+1），若 f（ 1） 1，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， ） B（ 1， 1） C（ ， ） （ ， +） D（ ， 1） （ 1， +） 【考点】 函数奇偶性的 性质 【分析】 根据函数的奇偶性不等式 f（ 1） 1 等价为 f（ |1|） f（ 2），利用函数的单调性解不等式即可得到结论 【解答】 解：由于函数 y=f（ x）的图象关于 y 轴对称，且在 x 0 上为增函数， f（ 2） =1 不等式 f（ 1） 1 等价为 f（ |1|） f（ 2） 即 |1| 2，由此解得 a ， 故选： A 11网格纸上小正方形的边长为 1，如图画出的是某几何体的三视图 ，则该几何体的体积为（ ） 第 9 页（共 20 页） A 44 B 56 C 68 D 72 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图知该几何体为一个长方体切掉一个三棱柱和一个棱锥得到的几何体，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积 【解答】 解：由三视图可知，该几何体为一个长方体切掉一个三棱柱和一个棱锥得到的几何体， 且长方体长、宽、高为 4、 4、 6； 三棱柱的底面是直角边分别为 4、 3 的直角三角形，高为 4； 三棱柱的底面是直角边分别为 2、 4 的直角三角形，高为 3； 该几何体的体积 V=4 4 6 =68， 故选： C 12已知双曲线 ，双曲线 =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 M 是双曲线 条渐近线上的某一点，且 离心率相同，且 S =16，则双曲线 实轴长为（ ） A 4 B 8 C 16 D 32 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线 离心率，求得双曲线 条渐近线方程为 y= x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得 a=8，进而得到双曲线的实轴长 【解答】 解：双曲线 的离心率为 ， 设 c， 0），双曲线 条渐近线方程为 y= x， 第 10 页（共 20 页） 可得 | = =b， 即有 | =a， 由 S =16，可得 6， 即 2，又 a2+b2= = ， 解得 a=8， b=4， c=4 ， 即有双曲线的实轴长为 16 故选： C 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上 13已知平面向量 ， 的夹角为 ， | |=4， | |=2，则 | 2 |= 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 由条件即可求出 ，且 ，从而进行数量积的运算便可求出 的值，从而便可得出 的值 【解答】 解：根据条件： ； =16+16+16 =16 3； 故答案为： 14运行如图程序框图若输入的 n 的值为 3，则输出的 n 的值为 1 第 11 页（共 20 页） 【考点】 程序框图 【分析】 计算循环中 n 与 i 的值，当 i=7 时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可 【解答】 解：模拟执行程序，可得 i=0， n=3 执行循环体，满足条件 n 为奇数， n=10， i=1 不满足条件 i 7，执行循环体，不满足条件 n 为奇数， n=5， i=2 不满足条件 i 7，执行循环体，满足条件 n 为 奇数， n=16， i=3 不满足条件 i 7，执行循环体，不满足条件 n 为奇数， n=8， i=4 不满足条件 i 7，执行循环体，不满足条件 n 为奇数， n=4， i=5 不满足条件 i 7，执行循环体，不满足条件 n 为奇数， n=2， i=6 不满足条件 i 7，执行循环体，不满足条件 n 为奇数， n=1， i=7 满足条件 i 7，退出循环，输出 n 的值为 1 故答案为： 1 15等差数列 前 n 项和为 ， 则 的最小值为 4 【考点】 等差数列的 前 n 项和 【分析】 设等差数列 公差为 d，由 ， 利用等差数列的通项公式、求和公式可得 d，进而得到： 入 = +n 15，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出 【解答】 解：设等差数列 公差为 d， ， 8d=8， d=4， 解得 ， d= 2 2（ n 1） =10 2n， =9n 第 12 页（共 20 页） 则 = = +n 15， 令 f（ x） = 15，（ x 1） f（ x） =1 = ，可知：当 x= 时， f（ x）取得最小值， 又 f（ 5） =6+5 15= 4， f（ 6） =5+6 15= 4 f（ n）的最小值为 4 故答案为： 4 16若函数 f（ x） =|在 0， 1上单调递减，则实数 a 的取值范围是 （ ， ） 【考点】 函数单调性的性质 【分析】 可看出，为去掉绝对值号，需讨论 a：（ 1） a 0 时，得出 ，求导数，根据题意 f（ x） 0 在 x 0， 1上恒成立，从而得到 a x 0， 1上恒成立，从而得出 a 2） a=0 时，显然不满足题意；（ 3） a 0 时，可看出函数 在 R 上单调递增，而由 可解得 ，从而得出 f（ x）在 上单调递减，从而便可得出 ，这又可求出一个 a 的范围，以上 a 的范围求并集便是实数 a 的取值范围 【解答】 解：（ 1）当 a 0 时， ， ； f（ x）在 0， 1上单调递减； x 0， 1时， f（ x） 0 恒成立； 即 x 0， 1时， a 成立； y= 0， 1上的最大值为 a （ 2）当 a=0 时， f（ x） = 0， 1上单调递增，不满足 0， 1上单调递减； a 0； （ 3）当 a 0 时， 在 R 上单调递增； 令 得， ； f（ x）在 上为减函数，在 上为增函数； 又 f（ x）在 0， 1上为减函数； 第 13 页（共 20 页） ； a 综上得，实数 a 的 取值范围为（ ， +） 故答案为：（ ， +） 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17在 ，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c已知 c= （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 b c= ， a=3+ ，求 上的高 【考点】 余弦定理 ；正弦定理 【分析】 （ ） 由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知等式可得 0，解得 合 A 的范围即可得解 （ ）由余弦定理可解得： ，设 上的高为 h，由 ，即可解得 h 的值 【解答】 （本题满分为 15 分） 解：（ ）由 及正弦定理可得： ， 因为 A+B） = 所以 ， 因为 0，所以 ， 因为 0 A ，所以 （ ）由余弦定理可知： ， 所以： ， 解得 ： 设 上的高为 h，由 ， 得： ， 解得： h=1 18小明和小红进行一次答题比赛，共 4 局，每局 10 分，现将小明和小红的各局得分统计如表： 小明 6 6 9 9 小红 7 9 6 10 （ 1）求小明和小红在本次比赛中的平均得分 方差 ， ； 第 14 页（共 20 页） （ 2）从小明和小红两人的 4 局比赛中随机各选取 1 局，并将小明和小红的得分分别记为 a，b，求 a b 的概率 【考点】 极差、方差与标准差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 （ 1）根据题意，利用定义计算平均数与方差即可； （ 2）利用列举法计算基本事件数，求对应的概率即可 【解答】 解：（ 1）根据题意，平均数 = =8； = （ 4） = = （ 1 2+4 2） = （ 2）记小明的 4 局比赛为 各局的得分分别是 6， 6， 9， 9； 小红的 4 局比赛为 各局的得分分别是 7， 9， 6， 10； 则从小明和小红的 4 局比赛中随机各选取 1 局，所有可能的结果有 16 种， 它们是：（ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ （ 其中满足条件的有： （ （ （ （ （ （ （ （ 故所求的概率为 19已知四棱柱 ， 平面 面 菱形 （ 1）若 E 为线段 中点，证明： （ 2）若 ， ， 20，求三棱锥 B 体积 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质 【分析】 （ 1）连接 过证明 平面 出 （ 2）利用菱形的性质计算 S 是 = S 【解答】 解：（ 1）连接 四边形 菱形， 第 15 页（共 20 页） 平面 平面 面 又 面 面 ， 平面 E 是 AC的中点，四边形 ABCD是菱形， E 是 中点， 面 （ 2） 四边形 菱形， C=， 20， S = = ， = S = 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，且（ 4， 0）在椭圆 C 上，圆 M：x2+y2=直线 l： y=8x 的一个交点的横坐标为 1 （ 1）求椭圆 C 的方程与圆 M 的方程； （ 2）已知 A（ m， n）为圆 M 上的任意一点，过点 A 作椭圆 C 的两条切线 探究直线 位置关系，并说明理由 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由题意列关于 a， b， c 的方程组，求解方程组得到 a， b 的值，则椭圆方程可求；求得直线和圆的交点（ 1， 8），即可得到圆的方程； （ 2）当过点 A 与椭圆 C 相切的一条切线的斜率不存在时，切线方程为 x= 4，得到直线 y= 7 恰好为过点 A 与椭圆相切的另一条切线，于是两切线 相垂直；当过点 A（ m， n）与椭圆 C 相切的切线的斜率存在时，设切线方程为 y n=k（ x m），联立直线方程和椭圆方程，得到关于 x 的一元二次方程，利用判别式等于 0 能推导出直线 终相互垂直 【解答】 解：（ 1）由题意得 b=4， e= = ， 又 6， 解得 a=7， b=4， c= 椭圆 C 的方程为 + =1； 由题意可得圆 M： x2+y2=直线 l： y=8x 的一个交点为（ 1， 8）， 第 16 页（共 20 页） 即有 5， 则圆 M 的方程： x2+5； （ 2）如图， 当过点 A 与椭圆 C： + =1 相切的一条切线的斜率不存在时， 此时切线方程为 x= 4， 点 A 在圆 M： x2+5 上，则 A（ 4， 7）， 直线 y= 7 恰好为过点 A 与椭圆相切的另一条切线，于是两切线 相垂直； 当过点 A（ m， n）与椭圆 C 相切的切线的斜率存在时， 设切线方程为 y n=k（ x m）， 由 ， 得（ 49+162k（ n x+1632649 16=0， 由于直线与椭圆相切， =1024n 2 4（ 49+16 1632649 16） =0， 整理，得（ 16 9 ， ， P（ m， n）在圆 x2+5 上， m2+5， 16 m2=49， 1，则两直线互相垂 直 综上所述，直线 终相互垂直 21已知函数 f（ x） =2（ a） g（ x） =2 （ 1）若 a=2，求函数 f（ x）在（ 1， f（ 1）处的切线方程； （ 2）当 a 时，若 f（ x） 2g（ x）在（ 1， +）上恒成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）求出函数的导数，求出切点坐标，切 线斜率，即可得到所求切线方程 第 17 页（共 20 页） （ 2）通过 ，对 x 1 恒成立；构造函数 ，求出导数求出极值点，判断函数的单调性，求解函数的最值，即可推出 a 的范围 【解答】 解：（ 1）依题意， ， 故 f（ 1） = 2，因为 f（ 1） =1， 故所求切线方程为 y 1= 2（ x 1），得 y= 2x+3； （ 2）依题意，因为 x （ 1， +），故 0， 故 ，对 x 1 恒成立； 令 ，则 ，令 h（ x） =0，得 ， 当 时， h（ x）单调递减； 时， h（ x）单调递增 所以当 时， h（ x）取得最小 值 又 ， 请考生在 22、 23、 24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4何证明选讲 22如图， 圆 O 的直径， A 为圆 O 上一点，过点 A 的直线与圆 O 相切，且与线段 ， E 为线段 长线上的一点，且 （ 1）求证 D=D； （ 2）若 ， ，求 长 【考点】 相似三角形的性质 【分析】