2016年湖南省高考考前演练文科数学试卷（四）含答案解析

第 1 页（共 20 页） 2016 年湖南省普通高等学校全国统一考前演练数学试卷（文科）（ 4） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知 i 为虚部单位，若（ 1 i） z=2i，则 z 的虚部为（ ） A 1 B i C 1 D i 2已知全集 U=R，集合 A=x|（ x 1）（ x+3） 0，集合 B=x|（ ） x 9，则（ B=（ ） A（ 2， 1） B（ 3， +） C（ ， 3） （ 2， +） D（ 1， +） 3在四边形 ， =（ 2， 3）， =（ 6， 4），则该四边形的面积为（ ） A 2 B 13 C D 26 4执行如图所示的程序，则输出的结果为（ ） A B C D 5从某校随机选取 5 名高三学生，其身高与体重的数据如下表所示： 身高 x/65 168 170 172 175 体重 y/9 51 55 61 69 根据上表可得回归直线 =2x a则预测身高为 180学生的体重为（ ） A 73 75 77 79已知向量 =（ 1）， =（ ， 2），且 若数列 前 n 项的和为 ，则 ） A 2n 1 B 1 2n C 2（ ） n 1 D（ ） n 2 7已知实数 x、 y 满足 ，目标函数 z=x+ y，则 z 的最大值为（ ） A 3 B 2 C D 第 2 页（共 20 页） 8某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的表面积为（ ） A B C D 9能够把圆 x2+2 的周长和面积同时平分为相等的两部分的函数称为该圆的 “和谐函数 ”，下列函数不是圆 x2+ 的 “和谐函数 ”的是（ ） A f（ x） =2x+ B f（ x） =C f（ x） =x3+x D f（ x） =10已知函数 f（ x） =（ m 1） 是幂函数，对任意的 （ 0， +），且足 0，若 a、 b R，且 a+b 0， 0，则 f（ a） +f（ b）的值（ ） A恒小于 0 B恒大于 0 C等于 0 D无法判断 11将函数 f（ x） =4x+ ）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平移个单位长度，得到函数 y=g（ x）的图象，则下面对函数 y=g（ x ） +g（ x）的叙述正确的是（ ） A函数的最大值为 2 ，最小值为 2 B x= 是函数的一条对称轴 C函数的增区间为 ， ， k Z D将 y=g（ x ） +g（ x）图象向左平移 个单位得到函数 y= 图象 12已知直线 l 与双曲线 =1 交于 A、 B 两点，现取 中点 M 在第一象限，并且在抛物线 x 上， M 到抛物线焦点的距离为 2，则直线 l 的斜率为（ ） A 1 B 2 C D 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上） 第 3 页（共 20 页） 13已知 x 0， ，使 的概率为 _ 14已知 A、 B 为双曲线 E 的左右顶点，点 M 在 E 上， 等腰三角形，且顶角为120，则 E 的离心率为 _ 15已知数列 首项为 3， 等差数列，且 bn= n N*），若 2， 2则_ 16设过曲线 f（ x） =ex+x（ e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 存在过曲线 g（ x） =2一点处的切线 得 实数 a 的取值范围为 _ 三、解答题 （解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17在锐角 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，且 2 （ ）求角 B 的大小； （ ）若 b=2，求 y=a+c 的取值范围 18某媒体对 “推迟退休 ”这一公众关注的问题进行了民意调查，下面是在某两单位得到的数据（人数） 赞同 反对 合计 企业职工 10 20 30 事业职工 20 5 25 合计 30 25 55 （ 1）是否有 把握认为赞同 “推迟退休 ”与职业有关？ （ 2）用分层抽样的方法从赞同 “推迟退休 ”的人员中随机抽取 6 人作进一步调查分析，将这6 人作为一个样本，从中任选 2 人，求恰有 1 名为企业职工和 1 名事业职工的概率 P（ K2 ： 19如图：四边形 等腰梯形，且 E 为 点， D=沿 起成四棱锥 C O 为 中点 （ 1）在棱 是否存在一点 M，使得 平面 C证明你的结论； （ 2）若 ，求四棱锥 C 体积的最大值 20已知圆 C 过定点 A（ 0， p），圆心 C 在抛物线 p 0）上，圆 C 与 x 轴交于 M、N 两点，当 C 在抛物线顶点时，圆 C 与抛物线的准线交于 G、 H，弦 长为 2 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）当圆心 C 在抛物线上运动时 |否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 记 |m， |n求 + 的最大值，并求出此时圆 C 的方程 第 4 页（共 20 页） 21设函数 f（ x） =a， b R （ 1）若函数 f（ x）在 x=1 处与直线 y= 相切； 求实数 a， b 的值； 求函数 f（ x）在 ， e上的最大值； 当 b=0 时，若不等式 f（ x） m+x 对所有的 a 0， ， x （ 1， 成立，求实数 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号【选修 4何证明选讲】 22如图，已知圆 O 是 外接圆， C， 上的高， 圆 O 的直径过点 C 作圆 O 的切线交 延长线于点 F （ ）求证： C=E； （ ） 若 ， ，求 长 【选修 4标系与参数方程】 23在直角坐标系 ，以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 （ 为参数），曲线 （ 为参数） （ 1）化 方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （ 2）若 的点 P 对应的参数为 = ， Q 为 的动点，求 点 M 到直线 （ =6 距离的最大值 【选修 4等式选讲】 24已知函数 f（ x） =|x 1|+|x 2| （ ）求不等式 f（ x） 4 的解集； （ ）使 f（ x） m 恒成立的实数 m 的最大值为 t，若 a、 b 均为正实数，且满足 a+b=2t求a2+最小值 第 5 页（共 20 页） 2016 年湖南省普通高等学校全国统一考前演练数学试卷（文科）（ 4） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大 题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1已知 i 为虚部单位，若（ 1 i） z=2i，则 z 的虚部为（ ） A 1 B i C 1 D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由（ 1 i） z=2i，得 ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z，则答案可求 【解答】 解：由（ 1 i） z=2i， 得 = 则 z 的虚部为： 1 故选： C 2已知全集 U=R，集合 A=x|（ x 1）（ x+3） 0，集合 B=x|（ ） x 9，则（ B=（ ） A（ 2， 1） B（ 3， +） C（ ， 3） （ 2， +） D（ 1， +） 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据不等式的解法求出集合的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可 【解答】 解： A=x|（ x 1）（ x+3） 0=x|x 1 或 x 3， 则 x| 3 x 1， B=x|（ ） x 9=x|x 2 则（ B=x|x 3， 故选： B 3在四边形 ， =（ 2， 3）， =（ 6， 4），则该四边形的面积为（ ） A 2 B 13 C D 26 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 运用向量数量积的坐标表示和向量垂直的条件：数量积为 0，求得向量的模，由四边形的面积公式 | | |，计算即可得到所求 【解答】 解：由 =（ 2， 3）， =（ 6， 4）， 可得 =2 6+3 （ 4） =0， 即 又 | |= = ， | |= =2 ， 第 6 页（共 20 页） 则该四边形的面 积为 | | |= 2 =13 故选： B 4执行如图所示的程序，则输出的结果为（ ） A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出 S=1+ + + 的值，利用裂项法即可计算得解 【解答】 解：由程序框图知，本程序的功能是计算 S=1+ + + +的值 由于： S=1+（ 1 ） +（ ） +（ ） +（ ） =1+1 = = 故选： D 5从某校随机选取 5 名高三学生，其身高与体重的数据如下表所示： 身高 x/65 168 170 172 175 体重 y/9 51 55 61 69 根据上表可得回归直线 =2x a则预测身高为 180学生的体重为（ ） A 73 75 77 79考点】 线性回归方程 第 7 页（共 20 页） 【分析】 根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出 a 的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的 x 的值，代入线性回归方程，预报身高为 180高三男生的体重 【解答】 解： =170， =57， =2x a， 57=2 170 a， a=283， 当 x=180 时， y=2 180 283=77， 故选 C 6已知向量 =（ 1）， =（ ， 2），且 若数列 前 n 项的和为 ，则 ） A 2n 1 B 1 2n C 2（ ） n 1 D（ ） n 2 【考点】 等比数列的前 n 项和；平面向量共线（平行）的坐标表示 【分析】 由 ，可得 2an=，再利用等比数列的通项公式及其求和公式即可得 出 【解答】 解：由 ，则 2an=， 以 1 为首项的等比数列，公比 q=2， =2n 1 故选： A 7已知实数 x、 y 满足 ，目标函数 z=x+ y，则 z 的最大值为（ ） A 3 B 2 C D 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域， 由 z=x+ y，得 y= 2x+2z， 平移直线 y= 2x+2z， 由图象知当直线 y= 2x+2z 经过点 A 时，直线 y= 2x+2z 的截距最大， 此时 z 最大， 由 得 ，即 A（ 2， 2），此时 z=2+1=3， 故选： A 第 8 页（共 20 页） 8某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的表面积为（ ） A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为 120，又由侧视图知几何体的高为 4，底面圆的半径为 2，把数据代入圆锥的表面积公式计算 【解答】 解：由三视图知，该几何体是圆锥的一部分，底面为扇形，圆心角为 120，半径为 2，锥体的高为 4 其表面积为： + + = 故选 D 9能够把圆 x2+2 的周长和面积同时平分为相等的两部分的函数称为该圆的 “和谐函数 ”，下列函数不是圆 x2+ 的 “和谐函数 ”的是（ ） A f（ x） =2x+ B f（ x） =C f（ x） =x3+x D f（ x） =【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 确定 B、 C、 D 三个函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，且图象过原点，而A 不能，即可得出结论 【解答】 解：因为 B、 C、 D 三个函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，且图象过原点，而圆 2+ 是中心对称图形并关于原点对称， 所以 B、 C、 D 三个函数的图象均能平分该圆的面积与周长，而 A 不能， 故选 A 第 9 页（共 20 页） 10已知函数 f（ x） =（ m 1） 是幂函数，对任意的 （ 0， +），且足 0，若 a、 b R，且 a+b 0， 0，则 f（ a） +f（ b）的值（ ） A恒小于 0 B恒大于 0 C等于 0 D无法判断 【考点】 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【分析】 利用幂函数的定义求出 m，利用函数的单调性求解即可 【解答】 解：由已知函数 f（ x） =（ m 1） 是幂函数，可得 m 1=1，解得 m=2 或 m= 1， 当 m=2 时， f（ x） = m= 1 时， f（ x） =x 3 对任意的 （ 0， +），且 足 0， 函数是单调减函数， m= 1， f（ x） =x 3 a+b 0， 0，可知 a， b 异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值， 则 f（ a） +f（ b）恒小于 0 故选： A 11将函数 f（ x） =4x+ ）图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平移个单位长度，得到函数 y=g（ x）的图象，则下面对函数 y=g（ x ） +g（ x）的叙述正确的是（ ） A函数的最大值为 2 ，最小值为 2 B x= 是函数的一条对称轴 C函数的增区间为 ， ， k Z D将 y=g（ x ） +g（ x）图象向左平移 个单位得到函数 y= 图象 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由条件利用函数 y=x+）的图象变换规律，正弦函数的最值、单调性、以及它的图象的对称性，得出结论 【解答】 解：将函数 f（ x） =4x+ ）图象上所有点 的横坐标伸长到原来的 2 倍，可得y=2x+ ）的图象， 再向右平移 个单位长度，得到函数 y=g（ x） =（ x ） + =2x ）的图象， 第 10 页（共 20 页） 所给的函数 y=g（ x ） +g（ x） =（ x ） +2x ） = = 2x ）， 所 以 y 的最大值为 ，最小值为 ，故 A 错误； 但 x= 时， y=0，故 x= 不是对称轴，故 B 错误； 令 2 2x 2，解 得 x 故 C 正确； 将函数向左平移 个单位得到 y= 2x+ ），故 D 错误， 故选： C 12已知直线 l 与双曲线 =1 交于 A、 B 两点，现取 中点 M 在第一象限，并且在抛物线 x 上， M 到抛物线焦点的距离为 2，则直线 l 的斜率为（ ） A 1 B 2 C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据点与抛物线的关系求出中点 M 的坐标，设 A（ B（ 代入双曲线的方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式 【解答】 解：由已知设 M（ a， b）， 抛物线 x 的焦点坐标为（ 1， 0），准线方程为 x= 1 M 到抛物线焦点（ 1， 0）的距离为 2， a+1=2，即 a=1，此时 ，则 b=2，即 M（ 1， 2） 设 A（ B（ 可得 =1， =1， 两式相减可得， （ x1+ （ y1+=0， M 为 中点，即有 x1+， y1+， 可得直线 斜率为 k= = = = 故选： C 二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上） 13已知 x 0， ，使 的概率为 【考点】 几何概型 【分析】 求出满足 的区间宽度，代入几何概型概率计算公式，可得答案 第 11 页（共 20 页） 【解答】 解：由 x 0， ， ，可得 x ， 所求概率为 P= = ， 故答案为： 14已知 A、 B 为双曲线 E 的左右顶点，点 M 在 E 上， 等腰三角形，且顶角为120，则 E 的离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由题意画出图形，过点 M 作 x 轴，得到 过求 解直角三角形得到 M 坐标，代入双曲线方程可得 a 与 b 的关系，结合 a， b， c 的关系和离心率公式，求得双曲线的离心率 【解答】 解：设双曲线方程为 =1（ a 0， b 0）， 如图所示， | 20， 过点 M 作 x 轴，垂足为 N，则 0， 在 ， |2a， 0， 即有 |2a， |2 a， 故点 M 的坐标为 M（ 2a， a）， 代入双曲线方程得 =1， 即为 a2= 则 e= = 故答案为： 15已知数列 首项为 3， 等差数列，且 bn= n N*），若 2， 2则21 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 利用等差数的通项公式可得 利用 “累加求和 ”方法与等差数列的求和公式即可得出 第 12 页（共 20 页） 【解答】 解：设等差数列 公差为 d， 2， 2 d= 2， d=12，解得 6， d=2 6+2（ n 1） =2n 8 bn= n N*）， 1） +（ 1 2） +（ + 2n 10） +（ 2n 12） +（ 6） +3 = +3 =9n+11 当 n=10 时， 02 9 10+11=21 故答案为： 21 16设过曲线 f（ x） =ex+x（ e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 存在过曲线 g（ x） =2一点处的切线 得 实数 a 的取值范围为 1， 2 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求得 f（ x）的导数，设（ f（ x）上的任一点，可得切线的斜率 得 g（ x）的导数，设 g（ x）图象上一点（ 得切线 斜率为 用两直线垂直的条件：斜率之积为 1，分别求 y1=a+2值域 A， 的值域 B，由题意可得 B A，可得 a 的不等式，可得 a 的范围 【解答】 解： f（ x） =ex+x 的导数为 f（ x） =， 设（ f（ x）上的任一点， 则 过（ 的切线 斜率为 k1=， g（ x） =2导数为 g（ x） = 2a， 过 g（ x）图象上一点（ 的切线 斜率为 a 2 由 得（ ） （ a 2= 1， 即 a+2， 任意的 R，总存在 R 使等式成立 则有 y1=a+2值域为 A=a 2， a+2 的值域为 B=（ 0， 1）， 有 B A，即（ 0， 1） a 2， a+2， 即 ， 解得 1 a 2 故答案为： 1， 2 三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17在锐角 ，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，且 2 （ ）求角 B 的大小； （ ）若 b=2，求 y=a+c 的取值范围 第 13 页（共 20 页） 【考点】 正弦定理；三角函数的化简求值 【分析】 （ ） 利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 1=0，进而解得 值，结合范围 B （ 0， ），即可得解 B 的值 （ ）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得 y=a+c=4A+ ），求得范围，利用正弦函数的性质可得 A+ ） （ ， 1，进而可求 y=a+c 的取值范围 【解答】 解：（ ）由 2， 有 1 A+C） + 1=0， 或 1， 又 B （ 0， ）， B= （ ）由正弦定理 ， y=a+c=2 （ = A） = A+ ） =4A+ ） 而 c= A ， ， A+ ） （ ， 1， y=4A+ ） （ 2 ， 4 18某媒体对 “推迟退休 ”这一公众关注的问题进行了民意调查，下面是在某两单位得到的数据（人数） 赞同 反对 合计 企业职工 10 20 30 事业职工 20 5 25 合计 30 25 55 第 14 页（共 20 页） （ 1）是否有 把握认为赞同 “推迟退休 ”与职业有关？ （ 2）用分层抽样的方法从赞同 “推迟退休 ”的人员中随机抽取 6 人作进一步调查分析，将这6 人作为一个样本，从中任选 2 人，求恰有 1 名为企业职工和 1 名事业职工的概率 P（ K2 ： 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 （ 1）由题设知 = 此得到结果； （ 2）所抽样本中男士有 ，女士有 4 人，基本事件总数为 15 个，满足恰有 1 名为企业职工和 1 名事业职工的基本事件有 2 4=8 个，由此能求出事件 “恰有 1 名为企业职工和 1 名事业职工 ”的概率 【解答】 解：（ 1） = 有 把握认为赞同 “推迟退休 ”与职业有关 （ 2）由分层抽样是按比例抽取，所以 ， 企业抽取 2 人记为 a、 b，事业抽取 4 人记为 1、 2、 3、 4 总的事件：共 15 个基本事件，符合条件的事件为： 8 个， 所求概率为 P= 19如图：四边形 等腰梯形，且 E 为 点， D=沿 起成四棱锥 C O 为 中点 （ 1）在棱 是否存在一点 M，使得 平面 C证明你的结论； （ 2）若 ，求四棱锥 C 体积 的最大值 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定 【分析】 （ 1）根据线面垂直的判定定理进行证明即可 （ 2）底面 面积不变为 2 当平面 C平面 ，锥体的高最大，根据棱锥的体积公式进行求解即可 【解答】 解：（ 1）存在，当 M 为 中点时， 平面 C 取 中点 F，连结 中位线 第 15 页（共 20 页） 又 D， O 为 点， O 四边形 平行四边形 而 面 面 平面 （ 2） 底面 面积不变为 2 当平面 C平面 ，锥体的高最大 即 CO 平面 ，体积最大，此时 ， 最大体积为 =2 20已知圆 C 过定点 A（ 0， p），圆心 C 在抛物线 p 0）上，圆 C 与 x 轴交于 M、N 两点，当 C 在抛物线顶点时，圆 C 与抛物线的准线交于 G、 H，弦 长为 2 （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）当圆心 C 在抛物线上运动时 |否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 记 |m， |n求 + 的最大值，并求出此时圆 C 的方程 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 （ 1）根据抛物线的定义，结合圆的弦长公式建立方程进行求解即可 （ 2） 根据直线和圆相交的弦长公式进行计算即可 求出相应的长度，结合基本不等式进行求解 【解答】 解：（ 1）抛物线的准线为 y= ，当 C 在抛物线顶点时，圆 C 的半径为 p，圆 x2+y2= 弦长 l=2 =2 = p=2 p=2， 抛物线的方程为 y （ 2） 记 C（ a， ），圆 C 的半径 r= 由垂径定理知 |2 =2 =2 2=4 |定值 4 由 知， M（ a 2， 0）， N（ a+2， 0）， 第 16 页（共 20 页） | = ， | = + = = = =2 =2 ， 当 a=0 时， + =2 当 a 0 时， + =2 =2 2 =2 当且仅当 a= 2 时， + 有最大值为 2 ， 此时圆 C 的方程为（ x 2 ） 2+（ y 2） 2=8 21设函数 f（ x） =a， b R （ 1）若函数 f（ x）在 x=1 处与直线 y= 相切； 求实数 a， b 的值； 求函数 f（ x）在 ， e上的最大值； 当 b=0 时，若不等式 f（ x） m+x 对所有的 a 0， ， x （ 1， 成立，求实数 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 求出函数的导数，根据切线方程，得到切线的斜率和切点，进而得到 a， b； 求出导数，求出极值和端点的函数值，比较即可得到最大值； 当 b=0 时，即有 m+x 对所有的 a 0， ， x （ 1， 成立，即 m a 0， ， x （ 1， 成立，令 h（ a） =x，求出最小值，再求 x 的最小值即可 【解答】 解： 函数 f（ x） =导数 f（ x） = 2 由于函数 f（ x）在 x=1 处与直线 y= 相切，则 a 2b=0， b= ， 解得 a=1， b= ； f（ x） =f（ x） = x， f（ x） =0，解得 x=1， 1 ， e， 且 f（ 1） = ， f（ ） = 1 ， f（ e） =1 第 17 页（共 20 页） 则函数 f（ x）在 ， e上的最大值为： f（ 1） = ； 当 b=0 时，不等式 f（ x） m+x 对所有的 a 0， ， x （ 1， 成立， 则 m+x 对所有的 a 0， ， x （ 1， 成立， 即 m x 对所有的 a 0， ， x （ 1， 成立， 令 h（ a） =x，则 h（ a）为一次函数， 由于 x （ 1， 则 0，在 a 0， 上单调递增， 则 h（ a） h（ 0） = x，即有 m x 对所有的 x （ 1， 成立 则 m （ x） 即有实数 m 的取值范围是（ ， 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号【选修 4何证明选讲】 22如图，已知圆 O 是 外接圆， C， 上的高， 圆 O 的直径过点 C 作圆 O 的切线交 延长线于点 F （ ）求证： C=E； （ ）若 ， ，求 长 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ I）如图所示，连接 于 O 的直径，