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第 1 页(共 20 页) 2016 年湖南省普通高等学校全国统一考前演练数学试卷(文科)( 4) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1已知 i 为虚部单位,若( 1 i) z=2i,则 z 的虚部为( ) A 1 B i C 1 D i 2已知全集 U=R,集合 A=x|( x 1)( x+3) 0,集合 B=x|( ) x 9,则( B=( ) A( 2, 1) B( 3, +) C( , 3) ( 2, +) D( 1, +) 3在四边形 , =( 2, 3), =( 6, 4),则该四边形的面积为( ) A 2 B 13 C D 26 4执行如图所示的程序,则输出的结果为( ) A B C D 5从某校随机选取 5 名高三学生,其身高与体重的数据如下表所示: 身高 x/65 168 170 172 175 体重 y/9 51 55 61 69 根据上表可得回归直线 =2x a则预测身高为 180学生的体重为( ) A 73 75 77 79已知向量 =( 1), =( , 2),且 若数列 前 n 项的和为 ,则 ) A 2n 1 B 1 2n C 2( ) n 1 D( ) n 2 7已知实数 x、 y 满足 ,目标函数 z=x+ y,则 z 的最大值为( ) A 3 B 2 C D 第 2 页(共 20 页) 8某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的表面积为( ) A B C D 9能够把圆 x2+2 的周长和面积同时平分为相等的两部分的函数称为该圆的 “和谐函数 ”,下列函数不是圆 x2+ 的 “和谐函数 ”的是( ) A f( x) =2x+ B f( x) =C f( x) =x3+x D f( x) =10已知函数 f( x) =( m 1) 是幂函数,对任意的 ( 0, +),且足 0,若 a、 b R,且 a+b 0, 0,则 f( a) +f( b)的值( ) A恒小于 0 B恒大于 0 C等于 0 D无法判断 11将函数 f( x) =4x+ )图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移个单位长度,得到函数 y=g( x)的图象,则下面对函数 y=g( x ) +g( x)的叙述正确的是( ) A函数的最大值为 2 ,最小值为 2 B x= 是函数的一条对称轴 C函数的增区间为 , , k Z D将 y=g( x ) +g( x)图象向左平移 个单位得到函数 y= 图象 12已知直线 l 与双曲线 =1 交于 A、 B 两点,现取 中点 M 在第一象限,并且在抛物线 x 上, M 到抛物线焦点的距离为 2,则直线 l 的斜率为( ) A 1 B 2 C D 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上) 第 3 页(共 20 页) 13已知 x 0, ,使 的概率为 _ 14已知 A、 B 为双曲线 E 的左右顶点,点 M 在 E 上, 等腰三角形,且顶角为120,则 E 的离心率为 _ 15已知数列 首项为 3, 等差数列,且 bn= n N*),若 2, 2则_ 16设过曲线 f( x) =ex+x( e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 存在过曲线 g( x) =2一点处的切线 得 实数 a 的取值范围为 _ 三、解答题 (解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 17在锐角 ,角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c,且 2 ( )求角 B 的大小; ( )若 b=2,求 y=a+c 的取值范围 18某媒体对 “推迟退休 ”这一公众关注的问题进行了民意调查,下面是在某两单位得到的数据(人数) 赞同 反对 合计 企业职工 10 20 30 事业职工 20 5 25 合计 30 25 55 ( 1)是否有 把握认为赞同 “推迟退休 ”与职业有关? ( 2)用分层抽样的方法从赞同 “推迟退休 ”的人员中随机抽取 6 人作进一步调查分析,将这6 人作为一个样本,从中任选 2 人,求恰有 1 名为企业职工和 1 名事业职工的概率 P( K2 : 19如图:四边形 等腰梯形,且 E 为 点, D=沿 起成四棱锥 C O 为 中点 ( 1)在棱 是否存在一点 M,使得 平面 C证明你的结论; ( 2)若 ,求四棱锥 C 体积的最大值 20已知圆 C 过定点 A( 0, p),圆心 C 在抛物线 p 0)上,圆 C 与 x 轴交于 M、N 两点,当 C 在抛物线顶点时,圆 C 与抛物线的准线交于 G、 H,弦 长为 2 ( 1)求抛物线的解析式; ( 2)当圆心 C 在抛物线上运动时 |否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由 记 |m, |n求 + 的最大值,并求出此时圆 C 的方程 第 4 页(共 20 页) 21设函数 f( x) =a, b R ( 1)若函数 f( x)在 x=1 处与直线 y= 相切; 求实数 a, b 的值; 求函数 f( x)在 , e上的最大值; 当 b=0 时,若不等式 f( x) m+x 对所有的 a 0, , x ( 1, 成立,求实数 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分作答时请写清题号【选修 4何证明选讲】 22如图,已知圆 O 是 外接圆, C, 上的高, 圆 O 的直径过点 C 作圆 O 的切线交 延长线于点 F ( )求证: C=E; ( ) 若 , ,求 长 【选修 4标系与参数方程】 23在直角坐标系 ,以原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知曲线 ( 为参数),曲线 ( 为参数) ( 1)化 方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; ( 2)若 的点 P 对应的参数为 = , Q 为 的动点,求 点 M 到直线 ( =6 距离的最大值 【选修 4等式选讲】 24已知函数 f( x) =|x 1|+|x 2| ( )求不等式 f( x) 4 的解集; ( )使 f( x) m 恒成立的实数 m 的最大值为 t,若 a、 b 均为正实数,且满足 a+b=2t求a2+最小值 第 5 页(共 20 页) 2016 年湖南省普通高等学校全国统一考前演练数学试卷(文科)( 4) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大 题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1已知 i 为虚部单位,若( 1 i) z=2i,则 z 的虚部为( ) A 1 B i C 1 D i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由( 1 i) z=2i,得 ,然后利用复数代数形式的乘除运算化简复数 z,则答案可求 【解答】 解:由( 1 i) z=2i, 得 = 则 z 的虚部为: 1 故选: C 2已知全集 U=R,集合 A=x|( x 1)( x+3) 0,集合 B=x|( ) x 9,则( B=( ) A( 2, 1) B( 3, +) C( , 3) ( 2, +) D( 1, +) 【考点】 交、并、补集的混合运算 【分析】 根据不等式的解法求出集合的等价条件,结合集合的基本运算进行求解即可 【解答】 解: A=x|( x 1)( x+3) 0=x|x 1 或 x 3, 则 x| 3 x 1, B=x|( ) x 9=x|x 2 则( B=x|x 3, 故选: B 3在四边形 , =( 2, 3), =( 6, 4),则该四边形的面积为( ) A 2 B 13 C D 26 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 运用向量数量积的坐标表示和向量垂直的条件:数量积为 0,求得向量的模,由四边形的面积公式 | | |,计算即可得到所求 【解答】 解:由 =( 2, 3), =( 6, 4), 可得 =2 6+3 ( 4) =0, 即 又 | |= = , | |= =2 , 第 6 页(共 20 页) 则该四边形的面 积为 | | |= 2 =13 故选: B 4执行如图所示的程序,则输出的结果为( ) A B C D 【考点】 程序框图 【分析】 模拟执行程序,可得程序的功能是计算并输出 S=1+ + + 的值,利用裂项法即可计算得解 【解答】 解:由程序框图知,本程序的功能是计算 S=1+ + + +的值 由于: S=1+( 1 ) +( ) +( ) +( ) =1+1 = = 故选: D 5从某校随机选取 5 名高三学生,其身高与体重的数据如下表所示: 身高 x/65 168 170 172 175 体重 y/9 51 55 61 69 根据上表可得回归直线 =2x a则预测身高为 180学生的体重为( ) A 73 75 77 79考点】 线性回归方程 第 7 页(共 20 页) 【分析】 根据所给的表格做出本组数据的样本中心点,根据样本中心点在线性回归直线上,利用待定系数法做出 a 的值,现在方程是一个确定的方程,根据所给的 x 的值,代入线性回归方程,预报身高为 180高三男生的体重 【解答】 解: =170, =57, =2x a, 57=2 170 a, a=283, 当 x=180 时, y=2 180 283=77, 故选 C 6已知向量 =( 1), =( , 2),且 若数列 前 n 项的和为 ,则 ) A 2n 1 B 1 2n C 2( ) n 1 D( ) n 2 【考点】 等比数列的前 n 项和;平面向量共线(平行)的坐标表示 【分析】 由 ,可得 2an=,再利用等比数列的通项公式及其求和公式即可得 出 【解答】 解:由 ,则 2an=, 以 1 为首项的等比数列,公比 q=2, =2n 1 故选: A 7已知实数 x、 y 满足 ,目标函数 z=x+ y,则 z 的最大值为( ) A 3 B 2 C D 【考点】 简单线性规划 【分析】 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义进行求解即可 【解答】 解:作出不等式组对应的平面区域, 由 z=x+ y,得 y= 2x+2z, 平移直线 y= 2x+2z, 由图象知当直线 y= 2x+2z 经过点 A 时,直线 y= 2x+2z 的截距最大, 此时 z 最大, 由 得 ,即 A( 2, 2),此时 z=2+1=3, 故选: A 第 8 页(共 20 页) 8某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的表面积为( ) A B C D 【考点】 由三视图求面积、体积 【分析】 根据三视图判断几何体是圆锥的一部分,再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为 120,又由侧视图知几何体的高为 4,底面圆的半径为 2,把数据代入圆锥的表面积公式计算 【解答】 解:由三视图知,该几何体是圆锥的一部分,底面为扇形,圆心角为 120,半径为 2,锥体的高为 4 其表面积为: + + = 故选 D 9能够把圆 x2+2 的周长和面积同时平分为相等的两部分的函数称为该圆的 “和谐函数 ”,下列函数不是圆 x2+ 的 “和谐函数 ”的是( ) A f( x) =2x+ B f( x) =C f( x) =x3+x D f( x) =【考点】 函数奇偶性的性质 【分析】 确定 B、 C、 D 三个函数为奇函数,所以其图象关于原点对称,且图象过原点,而A 不能,即可得出结论 【解答】 解:因为 B、 C、 D 三个函数为奇函数,所以其图象关于原点对称,且图象过原点,而圆 2+ 是中心对称图形并关于原点对称, 所以 B、 C、 D 三个函数的图象均能平分该圆的面积与周长,而 A 不能, 故选 A 第 9 页(共 20 页) 10已知函数 f( x) =( m 1) 是幂函数,对任意的 ( 0, +),且足 0,若 a、 b R,且 a+b 0, 0,则 f( a) +f( b)的值( ) A恒小于 0 B恒大于 0 C等于 0 D无法判断 【考点】 幂函数的概念、解析式、定义域、值域 【分析】 利用幂函数的定义求出 m,利用函数的单调性求解即可 【解答】 解:由已知函数 f( x) =( m 1) 是幂函数,可得 m 1=1,解得 m=2 或 m= 1, 当 m=2 时, f( x) = m= 1 时, f( x) =x 3 对任意的 ( 0, +),且 足 0, 函数是单调减函数, m= 1, f( x) =x 3 a+b 0, 0,可知 a, b 异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值, 则 f( a) +f( b)恒小于 0 故选: A 11将函数 f( x) =4x+ )图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,再向右平移个单位长度,得到函数 y=g( x)的图象,则下面对函数 y=g( x ) +g( x)的叙述正确的是( ) A函数的最大值为 2 ,最小值为 2 B x= 是函数的一条对称轴 C函数的增区间为 , , k Z D将 y=g( x ) +g( x)图象向左平移 个单位得到函数 y= 图象 【考点】 正弦函数的图象 【分析】 由条件利用函数 y=x+)的图象变换规律,正弦函数的最值、单调性、以及它的图象的对称性,得出结论 【解答】 解:将函数 f( x) =4x+ )图象上所有点 的横坐标伸长到原来的 2 倍,可得y=2x+ )的图象, 再向右平移 个单位长度,得到函数 y=g( x) =( x ) + =2x )的图象, 第 10 页(共 20 页) 所给的函数 y=g( x ) +g( x) =( x ) +2x ) = = 2x ), 所 以 y 的最大值为 ,最小值为 ,故 A 错误; 但 x= 时, y=0,故 x= 不是对称轴,故 B 错误; 令 2 2x 2,解 得 x 故 C 正确; 将函数向左平移 个单位得到 y= 2x+ ),故 D 错误, 故选: C 12已知直线 l 与双曲线 =1 交于 A、 B 两点,现取 中点 M 在第一象限,并且在抛物线 x 上, M 到抛物线焦点的距离为 2,则直线 l 的斜率为( ) A 1 B 2 C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 根据点与抛物线的关系求出中点 M 的坐标,设 A( B( 代入双曲线的方程,运用点差法,结合中点坐标公式和直线的斜率公式 【解答】 解:由已知设 M( a, b), 抛物线 x 的焦点坐标为( 1, 0),准线方程为 x= 1 M 到抛物线焦点( 1, 0)的距离为 2, a+1=2,即 a=1,此时 ,则 b=2,即 M( 1, 2) 设 A( B( 可得 =1, =1, 两式相减可得, ( x1+ ( y1+=0, M 为 中点,即有 x1+, y1+, 可得直线 斜率为 k= = = = 故选: C 二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上) 13已知 x 0, ,使 的概率为 【考点】 几何概型 【分析】 求出满足 的区间宽度,代入几何概型概率计算公式,可得答案 第 11 页(共 20 页) 【解答】 解:由 x 0, , ,可得 x , 所求概率为 P= = , 故答案为: 14已知 A、 B 为双曲线 E 的左右顶点,点 M 在 E 上, 等腰三角形,且顶角为120,则 E 的离心率为 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由题意画出图形,过点 M 作 x 轴,得到 过求 解直角三角形得到 M 坐标,代入双曲线方程可得 a 与 b 的关系,结合 a, b, c 的关系和离心率公式,求得双曲线的离心率 【解答】 解:设双曲线方程为 =1( a 0, b 0), 如图所示, | 20, 过点 M 作 x 轴,垂足为 N,则 0, 在 , |2a, 0, 即有 |2a, |2 a, 故点 M 的坐标为 M( 2a, a), 代入双曲线方程得 =1, 即为 a2= 则 e= = 故答案为: 15已知数列 首项为 3, 等差数列,且 bn= n N*),若 2, 2则21 【考点】 等差数列的通项公式 【分析】 利用等差数的通项公式可得 利用 “累加求和 ”方法与等差数列的求和公式即可得出 第 12 页(共 20 页) 【解答】 解:设等差数列 公差为 d, 2, 2 d= 2, d=12,解得 6, d=2 6+2( n 1) =2n 8 bn= n N*), 1) +( 1 2) +( + 2n 10) +( 2n 12) +( 6) +3 = +3 =9n+11 当 n=10 时, 02 9 10+11=21 故答案为: 21 16设过曲线 f( x) =ex+x( e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为 存在过曲线 g( x) =2一点处的切线 得 实数 a 的取值范围为 1, 2 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求得 f( x)的导数,设( f( x)上的任一点,可得切线的斜率 得 g( x)的导数,设 g( x)图象上一点( 得切线 斜率为 用两直线垂直的条件:斜率之积为 1,分别求 y1=a+2值域 A, 的值域 B,由题意可得 B A,可得 a 的不等式,可得 a 的范围 【解答】 解: f( x) =ex+x 的导数为 f( x) =, 设( f( x)上的任一点, 则 过( 的切线 斜率为 k1=, g( x) =2导数为 g( x) = 2a, 过 g( x)图象上一点( 的切线 斜率为 a 2 由 得( ) ( a 2= 1, 即 a+2, 任意的 R,总存在 R 使等式成立 则有 y1=a+2值域为 A=a 2, a+2 的值域为 B=( 0, 1), 有 B A,即( 0, 1) a 2, a+2, 即 , 解得 1 a 2 故答案为: 1, 2 三、解答题(解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 17在锐角 ,角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c,且 2 ( )求角 B 的大小; ( )若 b=2,求 y=a+c 的取值范围 第 13 页(共 20 页) 【考点】 正弦定理;三角函数的化简求值 【分析】 ( ) 利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 1=0,进而解得 值,结合范围 B ( 0, ),即可得解 B 的值 ( )由正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简可得 y=a+c=4A+ ),求得范围,利用正弦函数的性质可得 A+ ) ( , 1,进而可求 y=a+c 的取值范围 【解答】 解:( )由 2, 有 1 A+C) + 1=0, 或 1, 又 B ( 0, ), B= ( )由正弦定理 , y=a+c=2 ( = A) = A+ ) =4A+ ) 而 c= A , , A+ ) ( , 1, y=4A+ ) ( 2 , 4 18某媒体对 “推迟退休 ”这一公众关注的问题进行了民意调查,下面是在某两单位得到的数据(人数) 赞同 反对 合计 企业职工 10 20 30 事业职工 20 5 25 合计 30 25 55 第 14 页(共 20 页) ( 1)是否有 把握认为赞同 “推迟退休 ”与职业有关? ( 2)用分层抽样的方法从赞同 “推迟退休 ”的人员中随机抽取 6 人作进一步调查分析,将这6 人作为一个样本,从中任选 2 人,求恰有 1 名为企业职工和 1 名事业职工的概率 P( K2 : 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 ( 1)由题设知 = 此得到结果; ( 2)所抽样本中男士有 ,女士有 4 人,基本事件总数为 15 个,满足恰有 1 名为企业职工和 1 名事业职工的基本事件有 2 4=8 个,由此能求出事件 “恰有 1 名为企业职工和 1 名事业职工 ”的概率 【解答】 解:( 1) = 有 把握认为赞同 “推迟退休 ”与职业有关 ( 2)由分层抽样是按比例抽取,所以 , 企业抽取 2 人记为 a、 b,事业抽取 4 人记为 1、 2、 3、 4 总的事件:共 15 个基本事件,符合条件的事件为: 8 个, 所求概率为 P= 19如图:四边形 等腰梯形,且 E 为 点, D=沿 起成四棱锥 C O 为 中点 ( 1)在棱 是否存在一点 M,使得 平面 C证明你的结论; ( 2)若 ,求四棱锥 C 体积 的最大值 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定 【分析】 ( 1)根据线面垂直的判定定理进行证明即可 ( 2)底面 面积不变为 2 当平面 C平面 ,锥体的高最大,根据棱锥的体积公式进行求解即可 【解答】 解:( 1)存在,当 M 为 中点时, 平面 C 取 中点 F,连结 中位线 第 15 页(共 20 页) 又 D, O 为 点, O 四边形 平行四边形 而 面 面 平面 ( 2) 底面 面积不变为 2 当平面 C平面 ,锥体的高最大 即 CO 平面 ,体积最大,此时 , 最大体积为 =2 20已知圆 C 过定点 A( 0, p),圆心 C 在抛物线 p 0)上,圆 C 与 x 轴交于 M、N 两点,当 C 在抛物线顶点时,圆 C 与抛物线的准线交于 G、 H,弦 长为 2 ( 1)求抛物线的解析式; ( 2)当圆心 C 在抛物线上运动时 |否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由 记 |m, |n求 + 的最大值,并求出此时圆 C 的方程 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 ( 1)根据抛物线的定义,结合圆的弦长公式建立方程进行求解即可 ( 2) 根据直线和圆相交的弦长公式进行计算即可 求出相应的长度,结合基本不等式进行求解 【解答】 解:( 1)抛物线的准线为 y= ,当 C 在抛物线顶点时,圆 C 的半径为 p,圆 x2+y2= 弦长 l=2 =2 = p=2 p=2, 抛物线的方程为 y ( 2) 记 C( a, ),圆 C 的半径 r= 由垂径定理知 |2 =2 =2 2=4 |定值 4 由 知, M( a 2, 0), N( a+2, 0), 第 16 页(共 20 页) | = , | = + = = = =2 =2 , 当 a=0 时, + =2 当 a 0 时, + =2 =2 2 =2 当且仅当 a= 2 时, + 有最大值为 2 , 此时圆 C 的方程为( x 2 ) 2+( y 2) 2=8 21设函数 f( x) =a, b R ( 1)若函数 f( x)在 x=1 处与直线 y= 相切; 求实数 a, b 的值; 求函数 f( x)在 , e上的最大值; 当 b=0 时,若不等式 f( x) m+x 对所有的 a 0, , x ( 1, 成立,求实数 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 求出函数的导数,根据切线方程,得到切线的斜率和切点,进而得到 a, b; 求出导数,求出极值和端点的函数值,比较即可得到最大值; 当 b=0 时,即有 m+x 对所有的 a 0, , x ( 1, 成立,即 m a 0, , x ( 1, 成立,令 h( a) =x,求出最小值,再求 x 的最小值即可 【解答】 解: 函数 f( x) =导数 f( x) = 2 由于函数 f( x)在 x=1 处与直线 y= 相切,则 a 2b=0, b= , 解得 a=1, b= ; f( x) =f( x) = x, f( x) =0,解得 x=1, 1 , e, 且 f( 1) = , f( ) = 1 , f( e) =1 第 17 页(共 20 页) 则函数 f( x)在 , e上的最大值为: f( 1) = ; 当 b=0 时,不等式 f( x) m+x 对所有的 a 0, , x ( 1, 成立, 则 m+x 对所有的 a 0, , x ( 1, 成立, 即 m x 对所有的 a 0, , x ( 1, 成立, 令 h( a) =x,则 h( a)为一次函数, 由于 x ( 1, 则 0,在 a 0, 上单调递增, 则 h( a) h( 0) = x,即有 m x 对所有的 x ( 1, 成立 则 m ( x) 即有实数 m 的取值范围是( , 请考生在第 22、 23、 24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分作答时请写清题号【选修 4何证明选讲】 22如图,已知圆 O 是 外接圆, C, 上的高, 圆 O 的直径过点 C 作圆 O 的切线交 延长线于点 F ( )求证: C=E; ( )若 , ,求 长 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 ( I)如图所示,连接 于 O 的直径,

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